第七章 空间解析几何与向量代数简介 空间直角坐标系 向量 空间直线及其方程 空间平面及其方程 常见曲面及其方程.

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1 第七章 空间解析几何与向量代数简介 空间直角坐标系 向量 空间直线及其方程 空间平面及其方程 常见曲面及其方程

2 第七章 空间解析几何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 —
第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法

3 第一节 向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
第七章 第一节 向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影

4 一、向量的概念 或 a , 向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量). 表示法: 有向线段 M1 M2 , 向量的模 :
向量的大小, 向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,

5 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .

6 二、向量的线性运算 1. 向量的加法 平行四边形法则: 三角形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 .

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8 2. 向量的减法 三角不等式

9 3. 向量与数的乘法  是一个数 ,  与 a 的乘积是一个新向量, 记作 规定 : 可见 总之: 运算律 : 结合律 分配律 因此

10 定理1. 设 a 为非零向量 , 则 ( 为唯一实数) a∥b 证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± , a , b 同向时 取正号, 反向时取负号, 则 b 与  a 同向, 且 再证数  的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则

11 则 “ ” 已知 b＝ a , b＝0 a , b 同向 a∥b a , b 反向 例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点, 解:

12 三、空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点
z 轴(竖轴) Ⅱ 坐标原点 Ⅲ 坐标轴 Ⅳ Ⅰ 坐标面 zox面 卦限(八个) y轴(纵轴) Ⅶ Ⅵ Ⅴ Ⅷ x轴(横轴)

13 在直角坐标系下 点 M 有序数组 向径 (称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C

14 坐标轴 : 坐标面 :

15 2. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 设点 M 的坐标为 则 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 沿三个坐标轴方向的分向量.

16 四、利用坐标作向量的线性运算 设 则 平行向量对应坐标成比例:

17 例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 ① ② 解: 2×① －3×② , 得 代入②得

18 例3. 已知两点 及实数 在AB直线上求一点 M , 使 解: 设 M 的坐标为 如图所示 得 即

19 说明: 由 得定比分点公式: 点 M 为 AB 的中点 , 于是得 中点公式:

20 五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 对两点 与 因 得两点间的距离公式:

21 例4. 求证以 为顶点 的三角形是等腰三角形 . 证: 即 为等腰三角形 .

22 例5. 在 z 轴上求与两点 及 等距 离的点 . 解: 设该点为 故所求点为 解得 思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?

23 提示: (1) 设动点为 利用 得 且 (2) 设动点为 利用 得 例6. 已知两点 和 求 解:

24 2. 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点 O , 称  =∠AOB (0≤ ≤  ) 为向量 的夹角. 记作 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 ,  ,  为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦.

25 方向余弦的性质:

26 例7. 已知两点 和 计算向量 的模 、方向余弦和方向角 . 解:

27 作业 P300 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19 例8. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
角依次为 求点 A 的坐标 . 解: 已知 则 因点 A 在第一卦限 , 故 于是 故点 A 的坐标为 作业 P , 5, 13, 14, 15, 18, 19

28 第七章 第二节 数量积 向量积 *混合积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积

29 一、两向量的数量积 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为 的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为 1. 定义 设向量
的夹角为 , 称 记作 数量积 (点积) .

30 记作 故 2. 性质 为两个非零向量, 则有 

31 3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 事实上, 当 时, 显然成立 ;

32 例1. 证明三角形余弦定理 证: 如图 . 设 则

33 4. 数量积的坐标表示 设 则 两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于 , 得

34 例2. 已知三点 求  AMB . 解: 则 故

35 例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 且 与该平面域的单位垂直向量 的夹角为 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度 为  ) . 解: 为单位向量 单位时间内流过的体积

36 二、两向量的向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力
矩是一个向量 M : 符合右手规则

37 1. 定义 定义 方向 :   且符合右手规则 向量 模 : 称 向量积 , 记作 (叉积) 引例中的力矩 思考: 右图三角形面积 S＝

38 2. 性质 为非零向量, 则 ∥ 证明: ∥ 3. 运算律 (2) 分配律 (证明略) (3) 结合律

39 4. 向量积的坐标表示式 设 则

40 向量积的行列式计算法 ( 行列式计算见 P339～P342 )

41 例4. 已知三点 求三 角形 ABC 的面积 解: 如图所示,

42 例5. 设刚体以等角速度  绕 l 轴旋转, 导出刚体上 一点 M 的线速度 的表示式 . 解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 使 其 方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作 则 向径 它与 的夹角为 , 点 M离开转轴的距离 且 符合右手法则

43 *三、向量的混合积 1. 定义 已知三向量 称数量 记作 混合积 . 几何意义 为棱作平行六面体, 则其 高 底面积 故平行六面体体积为

44 2. 混合积的坐标表示 设

45 3. 性质 (1) 三个非零向量 共面的充要条件是 (2) 轮换对称性 : (可用三阶行列式推出)

46 例6. 已知一四面体的顶点 4 ) , 求该四面体体积 . 解: 已知四面体的体积等于以向量 为棱的平行六面体体积的 故

47 例7. 证明四点 共面 . 解: 因 故 A , B , C , D 四点共面 .

48 内容小结 设 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: L.P204~P206 叉积:

49 混合积: 2. 向量关系:

50 思考与练习 计算 并求 1. 设 夹角 的正弦与余弦 . 答案: 2. 用向量方法证明正弦定理: 2000年考题

51 证: 由三角形面积公式 因 所以

52 第六节 第七章 空间直线及其方程 一、空间直线方程 二、线面间的位置关系

53 一、空间直线方程 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， 因此其一般式方程 (不唯一)

54 2. 对称式方程 已知直线上一点 和它的方向向量 设直线上的动点为 则 故有 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. 例如, 当 直线方程为

55 3. 参数式方程 设 得参数式方程 :

56 例1.用对称式及参数式表示直线 解:先在直线上找一点. ,得 令 x = 1, 解方程组 是直线上一点 . 再求直线的方向向量 交已知直线的两平面的法向量为

57 故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量.

58 二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 设直线 的方向向量分别为 则两直线夹角  满足

59 特别有:

60 例2. 求以下两直线的夹角 解: 直线 的方向向量为 直线 的方向向量为 二直线夹角 的余弦为 从而 (参考P332 例2 )

61 ︿ 2. 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;
当直线与平面垂直时,规定其夹角  设直线 L 的方向向量为 平面  的法向量为 则直线与平面夹角  满足 ︿

62 特别有: 例3. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面 垂 直的直线方程. 解: 取已知平面的法向量 为所求直线的方向向量. 则直线的对称式方程为

63 内容小结 1. 空间直线方程 一般式 对称式 参数式

64 2. 线与线的关系 直线 直线 夹角公式:

65 3. 面与线间的关系 平面  : 直线 L : L⊥ L //  夹角公式：

66 思考与练习 P 题2, 10 作业 P ，4，5，7，9

67 备用题 一直线过点 且垂直于直线 又和直线 相交,求此直线方程 . 解： 方法1 利用叉积. 的方向向量为 过 A 点及 面的法向量为
方法1 利用叉积. 的方向向量为 过 A 点及 面的法向量为 则所求直线的方向向量 所以

68 待求直线的方向向量 故所求直线方程为 方法2 利用所求直线与L2 的交点 . 设所求直线与 的交点为 则有 即

69 而 代入上式 , 得 由点法式得所求直线方程

70 第七章 第四节 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 P411

71 一、空间曲线的一般方程 其一般方程为方程组 空间曲线可视为两曲面的交线, 例如,方程组 C P411 表示圆柱面与平面的交线 C.

72 又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C.

73 二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线
称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线 的参数方程为 P411 上升高度 , 称为螺距 .

74 例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为 (2) 将第二方程变形为 故所求为 P411

75 例2. 求空间曲线 : 绕 z 轴旋转 时的旋转曲面方程 . 解: 点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 则
P411 这就是旋转曲面满足的参数方程 .

76 例如, 直线 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和  , 得旋转曲面方程为 P411

77 又如, xoz 面上的半圆周 绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为 说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如 P411

78 三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 P414 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程

79 例如, 在xoy 面上的投影曲线方程为

80 又如, 上半球面 和锥面 二者交线在 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线 在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域:

81 内容小结 空间曲线 三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线) 求投影曲线 思考与练习 P324 题 1，2，7（展示空间图形）

82 答案: P324 题1 (2) (1)

83 (3)

84 P324 题2 (1)

85 P324 题2(2) 思考: 交线情况如何? 交线情况如何?

86 P325 题 7

87 作业 P ，4，5，6, 8

88 备用题 求曲线 绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 解： 旋转曲面方程为 ,它与所给平面的 交线为

89 第五节 第七章 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角

90 一、平面的点法式方程 则有 故 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 量 求该平面的方程. ① 称①式为平面的点法式方程, 法向量.
P417 ① 称①式为平面的点法式方程, 法向量.

91 例1.求过三点 的平面  的方程. 解: 取该平面 的法向量为 利用点法式得平面  的方程 即

92 说明: 此平面的三点式方程也可写成 一般情况 : 过三点 的平面方程为 见L.P207

93 特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 时, 平面方程为 此式称为平面的截距式方程. 分析:利用三点式 按第一行展开得 即

94 二、平面的一般方程 设有三元一次方程 ② 任取一组满足上述方程的数 则 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 显然方程②与此点法式方程等价,
P418 显然方程②与此点法式方程等价, 因此方程②的图形是 法向量为 的平面, 此方程称为平面的一般 方程.

95 特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面;
• 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; P419 • C z + D = 0 表示 平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示 平行于 zox 面 的平面.

96 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.
例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简,得所求平面方程 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. (P327 例4 , 自己练习)

97 三、两平面的夹角 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 即

98 特别有下列结论：

99 故 因此有 例4. 一平面通过两点 和 且 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 . 解: 设所求平面的法向量为
则所求平面 方程为 即 的法向量 故 因此有 约去C , 得 即

100 是平面 例5. 设 外一点,求 到平面的距离d . 解:设平面法向量为 在平面上取一点 ,则P0 到平面的距离为 (点到平面的距离公式)

101 例6. 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 四面体的球面方程. 解: 设球心为 则它位于第一卦限,且 从而 因此所求球面方程为

102 内容小结 1.平面基本方程: 一般式 点法式 截距式 三点式

103 2.平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直: 平行: 夹角公式:

104 思考与练习 P330 题4 , 5, 8 作业 P , 6 , 7 , 9

105 备用题 求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程. 解: 已知二平面的法向量为 取所求平面的法向量 则所求平面方程为 化简得

106 第三节 第七章 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 P403 四、二次曲面

107 一、曲面方程的概念 引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程. 解:设轨迹上的动点为 即 化简得
P403 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.

108 定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).

109 例1. 求动点到定点 距离为 R 的轨迹 方程. 解: 设轨迹上动点为 依题意 即 故所求方程为 特别,当M0在原点时,球面方程为 表示上(下)球面 .

110 例2. 研究方程 表示怎样 的曲面. 解: 配方得 此方程表示: 球心为 半径为 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.

111 二、旋转曲面 定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 . 例如 :

112 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
若点 则有 当绕 z 轴旋转时, 该点转到 则有 故旋转曲面方程为

113 思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？

114 例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 两边平方

115 例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为 绕 z 轴旋转 所成曲面方程为 这两种曲面都叫做旋转双曲面.

116 三、柱面 引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 解:在 xoy 面上， 表示圆C, 在圆C上任取一点 过此点作 平行 z 轴的直线 l ,
的坐标也满足方程 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间 表示圆柱面

117 定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.  表示抛物柱面, 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线.  表示母线平行于 z 轴的椭圆柱面.  表示母线平行于 z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)

118 一般地,在三维空间 柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1. 柱面, 母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2. 柱面, 母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.

119 四、二次曲面 三元二次方程 (二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法

120 1. 椭球面 (1)范围： (2)与坐标面的交线：椭圆

121 为正数) (3) 截痕: 与 的交线为椭圆： 同样 及 的截痕 也为椭圆. (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.

122 2. 抛物面 (1) 椭圆抛物面 ( p , q 同号) 特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） ( p , q 同号)

123 3. 双曲面 (1)单叶双曲面 椭圆. 平面 上的截痕情况: 时, 截痕为 双曲线: (实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）

124 时, 截痕为 相交直线: 时, 截痕为 双曲线: (实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴）

125 (2) 双叶双曲面 双曲线 双曲线 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 单叶双曲面 图形 双叶双曲面

126 4. 椭圆锥面 椭圆 ① 在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . 可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到, 见书 P316 )

127 内容小结 1. 空间曲面 三元方程 球面 旋转曲面 如, 曲线 绕 z 轴的旋转曲面: 柱面 如,曲面 表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .

128 2. 二次曲面 三元二次方程 椭球面 抛物面: 椭圆抛物面 双曲抛物面 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面:
运行时, 点击“椭球面”,“抛物面”, “双曲面”, “椭圆锥面” 可显示有关内容. 椭圆锥面:

129 思考与练习 1. 指出下列方程的图形: 方 程 平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 yoz 面的平面 平行于 y 轴的直线
方 程 平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 yoz 面的平面 平行于 y 轴的直线 圆心在(0,0) 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面