第六章 向量代数与空间解析几何 第一节 空间直角坐标 第二节 矢量代数 第三节 空间中的平面和直线 第四节 二次曲面

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1 第六章 向量代数与空间解析几何 第一节 空间直角坐标 第二节 矢量代数 第三节 空间中的平面和直线 第四节 二次曲面
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2 第一节 空间直角坐标 数学与计算机科学学院高数教研室

3 §6.1.1 空间点的直角坐标 三个坐标轴的正方向符合右手系.
横轴 纵轴 竖轴 定点 三个坐标轴的正方向符合右手系. 即以右手握住z轴, 当右手的四个手指从x 轴的正向转向y轴正向时, 大拇指所指的方向就是z轴的正向. 数学与计算机科学学院高数教研室

4 Ⅲ 面 面 Ⅱ Ⅳ Ⅰ 面 Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ 空间直角坐标系共有八个卦限 数学与计算机科学学院高数教研室

5 空间的点 有序数组 特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R. 坐标面上的点 A, B, C, 数学与计算机科学学院高数教研室

6 如下图, 设 M1(x1, y1, z1)、M2(x2, y2, z2) 为空间两点.
§6.1.2 两点间的距离 如下图, 设 M1(x1, y1, z1)、M2(x2, y2, z2) 为空间两点. 数学与计算机科学学院高数教研室

7 例1 求证以M1(4, 3, 1)、M2(7, 1, 2)、M3(5, 2, 3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
特殊地：若两点分别为M(x, y, z), O(0, 0, 0) . 例1 求证以M1(4, 3, 1)、M2(7, 1, 2)、M3(5, 2, 3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解 原结论成立. 数学与计算机科学学院高数教研室

8 例2设P在x轴上, 它到点 的距离为到点P2(0, 1, -1)的距离的两倍, 求点P的坐标.
解 设P点坐标为(x, 0, 0). 所求点为 数学与计算机科学学院高数教研室

9 例3 在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限？
例3 在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限？ 答 A: Ⅳ; B: Ⅴ; C: Ⅷ; D: Ⅲ; 数学与计算机科学学院高数教研室

10 第二节 矢量代数 数学与计算机科学学院高数教研室

11 | | 相关概念 向量: 既有大小又有方向的量. 向量表示: 或 向量的模: 向量的大小. 或 单位向量: 模长为1的向量. 或 零向量:
| | 向量的模: 向量的大小. 或 单位向量: 模长为1的向量. 或 零向量: 模长为0的向量. 数学与计算机科学学院高数教研室

12 自由向量: 不考虑起点位置的向量. 相等向量: 大小相等且方向相同的向量. 负向量: 大小相等但方向相反的向量. 向径:
空间直角坐标系中任一点M 原点构成的向量. 数学与计算机科学学院高数教研室

13 §6.2.1 矢量运算 1. 矢量的加法： 平行四边形法则 平行四边形法则有时也称为三角形法则 特殊地: 若 ‖ 分为同向和反向
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14 矢量的加法符合下列运算规律： (1) 交换律: (2) 结合律: (3) 2. 矢量的 减法 数学与计算机科学学院高数教研室

15 3. 数量与矢量的乘法： 设λ是一个数, 向量 与λ的乘积 规定为 与 同向, 与 反向, 数学与计算机科学学院高数教研室

16 数与向量的乘积符合下列运算规律: （1）结合律: （2）分配律: 两个向量的平行关系 定理 存在唯一的实数λ, 使
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17 证 充分性显然； 必要性 ‖ 两式相减，得 数学与计算机科学学院高数教研室

18 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.
长度为1的矢量称为单位矢量. 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 例1 化简 解 数学与计算机科学学院高数教研室

19 例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 证 与 平行且相等, 结论得证. 数学与计算机科学学院高数教研室

20 设A, B, C 是 u 轴上任意三点, 不论这三点的相互位置如何
4. 矢量的射影 设有一轴 u, AB是轴 u上的有向线段. 如果数λ满足|λ| = |AB|, 且当 AB与u 轴同向时是正的, 当 AB与u轴反向时是负的, 那未数λ叫做轴u上有向线段 AB 的投影, 记作AB, 即 AB =λ 设A, B, C 是 u 轴上任意三点, 不论这三点的相互位置如何 数学与计算机科学学院高数教研室

21 例1 在u轴上取一点0作为坐标原点, 设 A, B是u 轴上坐标依次是u1, u2的两个点, e是与u轴同方向的单位矢量, 证明AB = (u1-u2)e.
故 同理 于是 数学与计算机科学学院高数教研室

22 特殊地, 当两个向量中有一个零向量时, 规定它们的夹角可在0与π之间任意取值.
空间两向量的夹角的概念： 类似地, 可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地, 当两个向量中有一个零向量时, 规定它们的夹角可在0与π之间任意取值. 数学与计算机科学学院高数教研室

23 空间一点在轴上的投影 过点A作轴u的垂直平面, 交点 即为点A在轴u上的投影. 数学与计算机科学学院高数教研室

24 空间一向量在轴上的投影 已知向量的起点A和终点B在轴u上的投影分别为 那么轴u上的有向线段 的值, 称为向量在轴u上的投影.
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25 向量AB在轴 u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余 :
关于向量的投影定理 1 向量AB在轴 u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余 : 证 数学与计算机科学学院高数教研室

26 定理的说明： 投影为正； 投影为负； 投影为零； (4) 相等向量在同一轴上投影相等； 数学与计算机科学学院高数教研室

27 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和. (可推广到有限多个)
关于向量的投影定理 2 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和. (可推广到有限多个) 数学与计算机科学学院高数教研室

28 设 M1M2为一向量, u为一条数轴上点M1, M2 在轴 u上的投影分别为 P1, P2 .
5. 矢量的分解与矢量的坐标 设 M1M2为一向量, u为一条数轴上点M1, M2 在轴 u上的投影分别为 P1, P2 . 又设 P1, P2 在轴 u上的坐标依次为 u1, u2. 数学与计算机科学学院高数教研室

29 设 是以 M1(x1, y1, z1)为起点、M2(x2, y2, z2)为终点的向量,
如果 是与u轴正向一致的单位向量, 由例1知: 设 是以 M1(x1, y1, z1)为起点、M2(x2, y2, z2)为终点的向量, 过 M1、M2各作垂直于三个坐标轴的平面, 这六个平面围成一个以线段 M1M2为对角线的长方体. 数学与计算机科学学院高数教研室

30 以 分别表示沿 x, y, z 轴正向的单位向量. 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影
向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影 数学与计算机科学学院高数教研室

31 按基本单位向量的坐标分解式: 在三个坐标轴上的分向量: 向量的坐标: 向量的坐标表达式: 特殊地: 数学与计算机科学学院高数教研室

32 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式:
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33 可以写成 或 例3 设A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)为两已知点, 而在AB直线上的点M分有向线段AB为两部分AM, MB,使它们的值的比等于某数λ(λ≠-1),即 , 求分点的坐标. 解 设M(x, y, z)为直线上的点, 数学与计算机科学学院高数教研室

34 由题意知： 数学与计算机科学学院高数教研室

35 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 非零向量 的方向角 (
6. 矢量的模、方向余弦、方向数 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 非零向量 的方向角 ( 由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦: 向量的模: 数学与计算机科学学院高数教研室

36 向量方向余弦的坐标表示式 当 时: 方向余弦的特征: 数学与计算机科学学院高数教研室

37 例4 求平行于向量 的单位向量的分解式. 解 所求向量有两个, 一个与 同向, 一个反向. 或 数学与计算机科学学院高数教研室

38 y 轴的夹角分别为 和 , 如果P1的坐标为(1, 0, 3),求P2的坐标.
例5 设有向量 , 已知 , 它与 x 轴和 y 轴的夹角分别为 和 , 如果P1的坐标为(1, 0, 3),求P2的坐标. 解 设向量 的方向角为 设P2的坐标为(x, y, z) 数学与计算机科学学院高数教研室

39 设P2的坐标为 数学与计算机科学学院高数教研室

40 例6 设 , , ,求向量 在x 轴上的投影及在 y 轴上的分向量
解 所以, 在x轴上的投影为 在y轴上的分量为 . 数学与计算机科学学院高数教研室

41 §6.2.2 两矢量的数量积 实例 一物体在常力 作用下沿直线从点M1移动到点M2, 以 表示位移,则力 所作的功为
(其中θ为 与 的夹角) 启示 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义 向量 与 的数量积(也称点积或内积). 记为 (其中θ为 与 的夹角) 数学与计算机科学学院高数教研室

42 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. 数量积也称为“点积”、“内积”. 数学与计算机科学学院高数教研室

43 关于数量积的说明: 证 证 数学与计算机科学学院高数教研室

44 数量积符合下列运算规律: (1) 交换律: (2) 分配律: (3) 若λ,μ为数: 设 数量积的坐标表达式 数学与计算机科学学院高数教研室

45 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 数学与计算机科学学院高数教研室

46 例1 已知 , 求(1) ; (2) 与 的夹角; (3) 在 上的投影.
例1 已知 , 求(1) ; (2) 与 的夹角; (3) 在 上的投影. 解 数学与计算机科学学院高数教研室

47 例2 证明向量 与向量 垂直. 证 数学与计算机科学学院高数教研室

48 3 设三角形ABC, 三边长分别为a, b, c, 求证余弦定理.
课堂练习 1 已知 求 的模. 2 证明 3 设三角形ABC, 三边长分别为a, b, c, 求证余弦定理. 4 设 与 垂直, 与 垂直, 求非零向量 与 的夹角. 数学与计算机科学学院高数教研室

49 §6.2.3 两矢量的矢量积 实例 设O为一根杠杆L的支点, 有一力 作用于这杠杆上P点处, 力 与OP的夹角为θ, 力对支点O的力矩是一向量 , 它的模: 的方向垂直于OP与 所决定的平面, 指向符合右手系. 数学与计算机科学学院高数教研室

50 的大小为 方向既垂直于 , 又垂直于 , 指向符合右手系 (其中θ为 与 的夹角) .
定义 向量 与 的向量积为 的大小为 方向既垂直于 , 又垂直于 , 指向符合右手系 (其中θ为 与 的夹角) . 向量积也称为“叉积”、“外积”. 关于向量积的说明： // 数学与计算机科学学院高数教研室

51 证 // // 向量积符合下列运算规律: (1) (2) 分配律: (3) 若λ为数: 数学与计算机科学学院高数教研室

52 设 向量积的坐标表达式 数学与计算机科学学院高数教研室

53 bx、by、bz 不能同时为零, 但允许两个为零,
向量积还可用三阶行列式表示 由上式可推出 // bx、by、bz 不能同时为零, 但允许两个为零, 例如: 数学与计算机科学学院高数教研室

54 补充 表示以 和 为邻边的平行四边形的面积. 数学与计算机科学学院高数教研室

55 例7 求与 都垂直的单位向量. 解 数学与计算机科学学院高数教研室

56 例8 在顶点为A(1, -1, 2), B(5, -6, 2), C(1, 3, -1)的三角形中, 求AC边上的高BD.
解 三角形ABC的面积为 数学与计算机科学学院高数教研室

57 例9 设向量 两两垂直, 符合右手规则,且 , 计算 解 依题意知 与 同向. 数学与计算机科学学院高数教研室

58 例11. 已知向量 , 问满足方程 的未知向量 是否存在? 为何? 当 , 时, 求满足方程的向量 , 并求使得模最小的向量 .
课堂练习 1 判断下列命题是否正确,并说明理由. (1) 若 , 且 , 则 (2) 若 , 且 , 则 (3) 若 , 且 , 则 例11. 已知向量 , 问满足方程 的未知向量 是否存在? 为何? 当 , 时, 求满足方程的向量 , 并求使得模最小的向量 . 数学与计算机科学学院高数教研室

59 §6.2.4 矢量的混合积 定义 设已知三个向量度 , 数量 称为这三个向量的混合积, 记为 设 混合积的坐标表达式
定义 设已知三个向量度 , 数量 称为这三个向量的混合积, 记为 设 混合积的坐标表达式 数学与计算机科学学院高数教研室

60 向量的混合积 , 是这样的一个数, 它的绝对值表示以向量 为棱的平行六面体的体积.
关于混合积的说明: (1) 向量混合积的几何意义: 向量的混合积 , 是这样的一个数, 它的绝对值表示以向量 为棱的平行六面体的体积. (3) 三个向量 共面 数学与计算机科学学院高数教研室

61 例12 已知 , 求 解 数学与计算机科学学院高数教研室

62 例13 已知空间内不在一平面上的四点, A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3), D(x4, y4, z4), 求四面体的体积.
解 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致. 数学与计算机科学学院高数教研室

63 小 结 向量的概念 向量的加减法 向量与数的乘法 向量在轴上的投影与投影定理. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.
小 结 向量的概念 （注意与标量的区别） 向量的加减法 （平行四边形法则） 向量与数的乘法 （注意数乘后的方向） 向量在轴上的投影与投影定理. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标. （注意分向量与向量的坐标的区别） 向量的模与方向余弦的坐标表示式. 数学与计算机科学学院高数教研室

64 , 试用 表示平行四边形四边上对应的向量. 例1. 已知平行四边形ABCD的对角线 解 数学与计算机科学学院高数教研室

65 例2. 设 , 求以向量 为边的平行四边形的对角线的长度.
例2. 设 , 求以向量 为边的平行四边形的对角线的长度. 解 对角线的长为 平行四边形的对角线的长度各为 数学与计算机科学学院高数教研室

66 小 结 向量的数量积 向量的向量积 向量的混合积 （结果是一个数量） （结果是一个向量） （结果是一个数量） （注意共线、共面的条件）
小 结 向量的数量积 （结果是一个数量） 向量的向量积 （结果是一个向量） 向量的混合积 （结果是一个数量） （注意共线、共面的条件） 数学与计算机科学学院高数教研室

67 例14 已知向量 , , 证明 证明 数学与计算机科学学院高数教研室

68 第三节 空间中的平面和直线 数学与计算机科学学院高数教研室

69 §6.3.1 空间平面 1.平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于一平面, 这向量就叫做该平面的法向量． 法线向量的特征:
§ 空间平面 1.平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于一平面, 这向量就叫做该平面的法向量． 法线向量的特征: 垂直于平面内的任一向量． 已知 设平面上的任一点为M(x, y, z), 必有 数学与计算机科学学院高数教研室

70 平面上的点都满足上述方程, 不在平面上的点都不满足上述方程,上述方程称为平面的方程, 平面称为上述方程的图形．
平面的点法式方程 其中法向量 已知点 平面上的点都满足上述方程, 不在平面上的点都不满足上述方程,上述方程称为平面的方程, 平面称为上述方程的图形． 数学与计算机科学学院高数教研室

71 例1 求过三点A(2, -1, 4), B(-1, 3, -2)和C(0, 2, 3)的平面方程.
解 取 所求平面方程为 化简得 数学与计算机科学学院高数教研室

72 例2 求过点(1, 1, 1), 且垂直于平面 x – y + z = 7和3x + 2y -12z + 5 = 0 的平面方程.
解 取法向量 所求平面方程为 化简得 数学与计算机科学学院高数教研室

73 2.平面的一般方程 由平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 数学与计算机科学学院高数教研室

74 平面一般方程的几种特殊情况: (1) D = 0, 平面通过坐标原点； 平面通过 x 轴； (2) A = 0, 平面平行于 x 轴；
类似地可讨论 B = 0, C = 0 情形. (3) A = B = 0, 平面平行于 xoy 坐标面； 类似地可讨论 A = C = 0, B = C = 0 情形. 数学与计算机科学学院高数教研室

75 例3 设平面过原点及点(6, -3, 2), 且与平面 4x –y + 2z = 8 垂直, 求此平面方程.
解 设平面为 由平面过原点知 由平面过点(6, -3, 2)知 所求平面方程为 数学与计算机科学学院高数教研室

76 3.平面的截距式方程 设平面与 x, y, z 三轴分别交于P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), C(0, 0, C), 其中 a ≠ 0, b≠ 0, c ≠ 0, 求此平面方程.　 设平面为 将三点坐标代入得 代入所设方程得 平面的截距式方程 z 轴上截距 x 轴上截距 y 轴上截距 数学与计算机科学学院高数教研室

77 例5 求平行于平面 6x + y + 6z + 5 = 0 而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解 设平面为 由所求平面与已知平面平行得 (向量平行的充要条件) 数学与计算机科学学院高数教研室

78 化简得 令 代入体积式 所求平面方程为 数学与计算机科学学院高数教研室

79 定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角(通常取锐角).
4. 两平面的夹角 定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角(通常取锐角). 数学与计算机科学学院高数教研室

80 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征: // 数学与计算机科学学院高数教研室

81 例6 研究以下各组里两平面的位置关系： 解 (1) 两平面相交, 夹角 数学与计算机科学学院高数教研室

82 (2) 两平面平行 两平面平行但不重合． (2) 两平面平行 两平面重合. 数学与计算机科学学院高数教研室

83 例7 设P0(x0, y0, z0)是平面 Ax + By + Cz + D = 0外一点, 求P0到平面的距离.
5.点到平面的距离 例7 设P0(x0, y0, z0)是平面 Ax + By + Cz + D = 0外一点, 求P0到平面的距离. 解 数学与计算机科学学院高数教研室

84 点到平面距离公式 数学与计算机科学学院高数教研室

85 交于一直线L, 过L可以作无穷多个平面, 所有这些平面构成一个平面束, 此平面束的方程为
6.平面束 设平面π1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0, π2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 交于一直线L, 过L可以作无穷多个平面, 所有这些平面构成一个平面束, 此平面束的方程为 数学与计算机科学学院高数教研室

86 例8 求三平面交于一点的条件. 解 设 三平面交于一点, 即上述方程组有唯一解. 故充要条件是 数学与计算机科学学院高数教研室

87 课堂练习 1. 证明三平面 共线. 2.求两平面 的分角面方程. 数学与计算机科学学院高数教研室

88 小 结 点法式方程. 一般方程. 平面的方程 截距式方程. （熟记平面的几种特殊位置的方程） （注意两平面的位置特征） 两平面的夹角.
小 结 点法式方程. 一般方程. 平面的方程 截距式方程. （熟记平面的几种特殊位置的方程） 两平面的夹角. （注意两平面的位置特征） 点到平面的距离公式. 平面束. 数学与计算机科学学院高数教研室

89 思考题 1 若平面 与平面 的夹角为 , 求 k = ? 解 数学与计算机科学学院高数教研室

90 §6.3.2 空间直线 1.直线的一般方程 定义 空间直线可看成两平面的交线. 空间直线的一般方程 注意: 空间直线的一般方程不唯一.
§ 空间直线 1.直线的一般方程 定义 空间直线可看成两平面的交线. 空间直线的一般方程 注意: 空间直线的一般方程不唯一. 数学与计算机科学学院高数教研室

91 // 2.空间直线的标准方程和参数方程 方向向量的定义： 如果一非零向量平行于一条已知直线, 这个向量称为这条直线的方向向量．
求过点 以 为方向向量的空间直线方程 // 由 得 数学与计算机科学学院高数教研室

92 此为直线的标准方程或对称式方程. 令 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为直线的方向余弦. 直线的参数方程 数学与计算机科学学院高数教研室

93 例1 设直线 L过点 M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), 求它的方程.
解 直线的一组方向向量为. 设 M(x, y, z)为直线上任一点, 那未 得直线方程为 直线的两点式方程. 数学与计算机科学学院高数教研室

94 例2 用对称式方程及参数方程表示直线 解 在直线上任取一点 取 解得 点坐标 数学与计算机科学学院高数教研室

95 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 对称式方程 参数方程 数学与计算机科学学院高数教研室

96 例3 一直线过点 A(2, -3, 4), 且和 y 轴垂直相交,求其方程.
解 因为直线和y轴垂直相交 所以交点为 取 所求直线方程 数学与计算机科学学院高数教研室

97 例4 求过点(-3, 2, 5)且与两平面 2x – y - 5z = 1和x - 4z = 3 的交线平行的直线方程.
解 所求直线应与两平面的法向量同时垂直 可取 故直线的标准方程为 数学与计算机科学学院高数教研室

98 ^ 3.两直线的夹角 定义 两直线的方向向量的夹角称之.(锐角) 直线 L1: 直线 L2: 两直线的夹角公式
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99 两直线的位置关系: // 直线 L1: 例如: 直线 L2: 数学与计算机科学学院高数教研室

100 例6 求过点 M(2, 1, 3) 且与直线垂直相交的直线方程.
解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面Π 再求已知直线与该平面的交点N, 令 代入平面方程得 , 交点 取所求直线的方向向量为 数学与计算机科学学院高数教研室

101 所求直线方程为 例7求过线 ,且与直线 平行的平面方程. 解 因平面经过直线 L1,可设平面方程为: 其中λ,μ是待定常数.
例7求过线 ,且与直线 平行的平面方程. 解 因平面经过直线 L1,可设平面方程为: 其中λ,μ是待定常数. 由于直线 L2与平面平行, 故有 整理得 代入得 数学与计算机科学学院高数教研室

102 ^ ^ 4.直线与平面的夹角 定义:直线和它在平面上的投影直线的夹角φ称为直线与平面的夹角 直线与平面的夹角公式
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103 直线与平面的位置关系: // 思考题: 直线与直线重合的充要条件? 直线在平面上的充要条件? 数学与计算机科学学院高数教研室

104 例8 设直线 L: , 平面Π: x – y + 2z = 3, 求直线与平面的夹角. 解 为所求夹角. 数学与计算机科学学院高数教研室

105 设 P0(x, y, z)为直线外一点, 过P0作 L 的垂线,垂足为Q, P0到L的距离为d, 则
5.点到直线的距离 设直线L经过点 M0(x0, y0, z0), 其方向向量为 设 P0(x, y, z)为直线外一点, 过P0作 L 的垂线,垂足为Q, P0到L的距离为d, 则 练习：设有 试求原点到直线的距离. 数学与计算机科学学院高数教研室

106 小 结 ★ 空间直线的一般方程. ★ 空间直线的对称式方程与参数方程. ★ 两直线的夹角. (注意两直线的位置关系) ★ 直线与平面的夹角.
小 结 ★ 空间直线的一般方程. ★ 空间直线的对称式方程与参数方程. ★ 两直线的夹角. (注意两直线的位置关系) ★ 直线与平面的夹角. (注意直线与平面的位置关系) ★ 点到直线的距离. 数学与计算机科学学院高数教研室

107 思考题1: 在直线方程 中, m, n, P 各怎 样取值时, 直线与坐标面xoy , yoz都平行. 解 且有 故当 时结论成立.
故当 时结论成立. 数学与计算机科学学院高数教研室

108 思考题2: 两直线共面的充要条件是什么? 异面直线间的距离如何求? 数学与计算机科学学院高数教研室

109 第四节 二次曲面 数学与计算机科学学院高数教研室

110 §6.4.1 常见的二次曲面 曲面的实例: 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.
§ 常见的二次曲面 曲面的实例: 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹. 定义: 如果曲面 S 与三元方程 F(x, y, z) = 0 有下述关系: (1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程; (2) 不在S上的点的坐标都不满足方程; 那么, 方程 F(x, y, z) = 0 就叫做曲面 S 的一般方程. 数学与计算机科学学院高数教研室

111 若曲面上的点(x, y, z)的坐标可表示为两个变量u, v 的函数, 即
研究空间曲面有两个基本问题: (1) 已知曲面作为点的轨迹时, 求曲面方程． (讨论旋转曲面) (2) 已知坐标间的关系式，研究曲面形状. (讨论柱面、二次曲面) 数学与计算机科学学院高数教研室

112 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面的全貌．
三元二次方程所表示的曲面, 叫做二次曲面. 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法: 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面. 数学与计算机科学学院高数教研室

113 空间中与一个定点有等距离的点的集合叫做球面, 定点叫做球心. 定距离叫做半径.
1. 球面 空间中与一个定点有等距离的点的集合叫做球面, 定点叫做球心. 定距离叫做半径. 球心在点 M0(x0, y0, z0), 半径为R的球面方程为 特殊地: 球心在原点时方程为 反过来, 形如 的方程, 经过配方后均可化成 当 时, 表示一个球面. 数学与计算机科学学院高数教研室

114 例1 求与原点O及M0(2, 3, 4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程.
解 设 M(x, y, z)为曲面上任一点. 根据题意有 所求方程为 数学与计算机科学学院高数教研室

115 例2 已知 A(1, 2, 3), B(2, -1, 4), 求线段AB的垂直平分面的方程.
解 设 M(x, y, z)为所求平面上任一点. 根据题意有 化简得所求方程 数学与计算机科学学院高数教研室

116 当z = c上下移动时,得到一系列圆, 圆心在(1, 2, c), 半径为
例3 方程 的图形是怎样的? 解 根据题意有 用平面 z = c 去截图形得圆: 当z = c上下移动时,得到一系列圆, 圆心在(1, 2, c), 半径为 半径随c的增大而增大, 图形上不封顶, 下封底. 数学与计算机科学学院高数教研室

117 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线.
2.柱面 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线. 观察柱面的形成过程 数学与计算机科学学院高数教研室

118 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线.
2.柱面 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线. 观察柱面的形成过程 数学与计算机科学学院高数教研室

119 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线.
2.柱面 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线. 观察柱面的形成过程 数学与计算机科学学院高数教研室

120 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线.
2.柱面 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线. 观察柱面的形成过程 数学与计算机科学学院高数教研室

121 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线.
2.柱面 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线. 观察柱面的形成过程 数学与计算机科学学院高数教研室

122 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线.
2.柱面 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线. 观察柱面的形成过程 数学与计算机科学学院高数教研室

123 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线.
2.柱面 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线. 观察柱面的形成过程 数学与计算机科学学院高数教研室

124 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线.
2.柱面 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线. 观察柱面的形成过程 数学与计算机科学学院高数教研室

125 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线.
2.柱面 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线. 观察柱面的形成过程 数学与计算机科学学院高数教研室

126 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线.
2.柱面 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线. 观察柱面的形成过程 数学与计算机科学学院高数教研室

127 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线.
2.柱面 定义: 动直线 L 沿着定曲线 C 作平行移动所形成的空间曲面称为柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线;动直线 L 叫做柱面的母线. 观察柱面的形成过程 数学与计算机科学学院高数教研室

128 柱面举例 (准线为坐标面上的曲线, 母线平行 于坐标轴)
平面 抛物柱面 数学与计算机科学学院高数教研室

129 只含x, y而缺 z的方程 F(x, y) = 0, 在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面, 其准线为 xoy平面上的曲线 C.
从柱面方程看柱面的特征: 只含x, y而缺 z的方程 F(x, y) = 0, 在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面, 其准线为 xoy平面上的曲线 C. 实 例 椭圆柱面 // x 轴 双曲柱面 // z 轴 抛物柱面 // y 轴 数学与计算机科学学院高数教研室

130 例1 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴半顶角为α的圆锥面方程.
3. 锥面 设 L为一条已知平面曲线, B为 L 所在平面外的一个固定点, 过点 B 引直线 b 与 L 相交, 直线 b 绕点B 沿 L 移动所构成的曲面叫做锥面, 点 B 称作顶点, 动直线叫做锥面的母线, L叫做准线. 例1 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴半顶角为α的圆锥面方程. 解 yoz面上的直线方程为: 圆锥面方程为 数学与计算机科学学院高数教研室

131 解 设P(x, y, z)为锥面上任一点, PB的连线与准线的交点为C, 并设C(x1, y1, 0).
例2 设 AOB为一直角三角形, O为直角顶点, 以OB为轴将斜边 AB绕 z 轴旋转, 则可得到以B为顶点的一个正圆锥面, 设OB = b, OA=R, 求此正圆锥面的方程. 解 设P(x, y, z)为锥面上任一点, PB的连线与准线的交点为C, 并设C(x1, y1, 0). 据 , 有 将 代入化简得 即 所求圆锥面的方程. 数学与计算机科学学院高数教研室

132 (2) 用平行于 xoy 的平面 z = h (h 0时为坐标面 xoy) 截曲面, 截痕为一椭圆.
下面讨论方程 所确定的空间曲面. 特点: (1) 曲面过原点, 且若 M0(x0, y0, z0) 在曲面上, (x0, y0, z0)也在曲面上. 即此曲面由一系列的通过原点的直线构成. (2) 用平行于 xoy 的平面 z = h (h 0时为坐标面 xoy) 截曲面, 截痕为一椭圆. 数学与计算机科学学院高数教研室

133 半轴为 中心在 z 轴上, 半轴随|h|的增大而增大.
一般地, 方程 Ax2 + By2 + Cz2 = 0 代表一个顶点在坐标原点的锥面; A, B, C同号时, 代表一个点; A, B, C 中两个同号一个异号时, 代表一个椭圆锥面. 数学与计算机科学学院高数教研室

134 例3 一正圆锥面以原点为顶点, 并包含三条坐标轴, 求它的方程.
例3 一正圆锥面以原点为顶点, 并包含三条坐标轴, 求它的方程. 据题意, A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)三点都在此圆锥面上, 过三点的平面 x + y + z = 1与正圆锥面的交线必为圆, 这个圆在以原点为球心, 过A, B, C 三点的球面 x2 + y2 + z2 =1 上. 此圆为锥面的一条准线, 其方程为 解 设 M(x, y, z)为锥面上任一点, O、M的连线与准线的交点为 M0(x0, y0, z0), 则 数学与计算机科学学院高数教研室

135 即 因为M0在圆上, 所以点M0的坐标满足准线方程. 化简得 或 这就是所求正圆锥面的方程. 数学与计算机科学学院高数教研室

136 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
4 旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴． 播放 数学与计算机科学学院高数教研室

137 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
4 旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴． 数学与计算机科学学院高数教研室

138 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
4 旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴． 数学与计算机科学学院高数教研室

139 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
4 旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴． 数学与计算机科学学院高数教研室

140 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
4 旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴． 数学与计算机科学学院高数教研室

141 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
4 旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴． 数学与计算机科学学院高数教研室

142 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
4 旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴． 数学与计算机科学学院高数教研室

143 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
4 旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴． 数学与计算机科学学院高数教研室

144 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
4 旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴． 数学与计算机科学学院高数教研室

145 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
4 旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴． 数学与计算机科学学院高数教研室

146 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
4 旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴． 数学与计算机科学学院高数教研室

147 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
4 旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴． 数学与计算机科学学院高数教研室

148 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
4 旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴． 数学与计算机科学学院高数教研室

149 一旋转曲面. 如图: 设M(x, y, z)由曲线上 M1(0, y1, z1)点旋转而得. 则
设曲线 , 将曲线 c 绕 z 轴旋转一周得 一旋转曲面. 如图: 设M(x, y, z)由曲线上 M1(0, y1, z1)点旋转而得. 则 z = z1, 代入 得方程 此为 yoz 坐标面上的曲线 f(y, z) = 0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程. 同理 yoz 坐标面上的曲线 f(y ,z) = 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为 数学与计算机科学学院高数教研室

150 例9 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周, 求生成的旋转曲面的方程．
例9 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周, 求生成的旋转曲面的方程． (1) 双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴. 旋转双曲面 绕x轴旋转 绕z轴旋转 数学与计算机科学学院高数教研室

151 (2) 椭圆 分别绕 y 轴和 z 轴旋转. 旋转椭球面 绕y轴旋转 绕z轴旋转 (3) 抛物线 绕z轴旋转. 旋转抛物面
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152 5.椭球面 由方程 , 所 确定的空间曲面称为椭球面. 与三个坐标面的交线: 数学与计算机科学学院高数教研室

153 椭球面与平面 z = z1的交线为椭圆 同理与平面 z = z1和 y = y1的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
数学与计算机科学学院高数教研室

154 椭球面的几种特殊情况: (1) a = b, 旋转椭球面 由椭圆 绕 z 轴旋转而成． 方程可写为 旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 的交线为圆. 数学与计算机科学学院高数教研室

155 截面上圆的方程 (2) a = b = c, 球面 方程可写为 数学与计算机科学学院高数教研室

156 (2) 用坐标面 xoz与曲面相截, 截痕为双曲线
6. 单叶双曲面 由方程 或 所确定的空间曲面叫做单叶双曲面. 下面讨论单叶双曲面 的图形特性. (1) 曲面与z = z1的交线为椭圆 (2) 用坐标面 xoz与曲面相截, 截痕为双曲线 实轴与 x 轴重合, 虚轴与 z 相合. 数学与计算机科学学院高数教研室

157 与平面 y = y1( y1=±b) 的交线为双曲线. 双曲线的中心都在 y 轴上. 实轴与x轴平行,虚轴与z轴平行.
实轴与z轴平行,虚轴与x轴平行. 截痕为一对相交于点(0, b, 0)的直线. 数学与计算机科学学院高数教研室

158 (3) 用坐标面 yoz (x = 0)与 x = x1曲面相截均可得双曲线. z 平面 x =±a 的截痕是两对相交直线.
截痕为一对相交于点(0, -b, 0)的直线. (3) 用坐标面 yoz (x = 0)与 x = x1曲面相截均可得双曲线. x y o z 平面 x =±a 的截痕是两对相交直线. 单叶双曲面图形 数学与计算机科学学院高数教研室

159 (1) 它对于坐标平面, 坐标轴和原点都是对称的,它与xoz面和yoz面的交线都是双曲线.
7. 双叶双曲面 由方程 确定的曲面叫做双叶双曲面. 下面讨论 的图形特点. (1) 它对于坐标平面, 坐标轴和原点都是对称的,它与xoz面和yoz面的交线都是双曲线. 和 数学与计算机科学学院高数教研室

160 (2) 用一组平行于xoy面的平面 z = h(|h|≥c)去截它, 截痕是一个椭圆
它的半轴随|h|的增大而增大. 当 |h|<c时, 没有交点. 当|h| = c 时, 截痕是一个点. 数学与计算机科学学院高数教研室

161 8. 椭圆抛物面 椭圆抛物面 (1) 它对于坐标面 xoz 和 yoz 对称, 对于 z 轴也是对称的, 但无对称中心;它与对称轴的交点叫椭圆抛物面的顶点. 整个曲面在xoy平面的上方.它与坐标面xoz, yoz的交线都是抛物线. 和 数学与计算机科学学院高数教研室

162 (2) 用平行于坐标面 xoy 的平面 z = h(h > 0)与曲面相截, 截痕为一椭圆
椭圆抛物面的图形如下: z x y o x y z o 数学与计算机科学学院高数教研室

163 由 xoz 面上的抛物线 x2 = a2z 绕它的轴旋转而成的.
特别地: 当 a = b 时, 方程变为 旋转抛物面 由 xoz 面上的抛物线 x2 = a2z 绕它的轴旋转而成的. 与平面 z = h 的交线为圆. 当 h 变动时, 这种圆的中心都在 z 轴上. 数学与计算机科学学院高数教研室

164 (1) 它对于坐标面对称, 对于 z 轴也是对称的, 但无对称中心; 它与 xoz 和 yoz 的截痕都是抛物线.
9. 双曲抛物面 由方程 所确定的空间曲面叫做双曲 抛物面. (1) 它对于坐标面对称, 对于 z 轴也是对称的, 但无对称中心; 它与 xoz 和 yoz 的截痕都是抛物线. 和 这两条抛物线有共同的顶点和对称轴,但对称轴的方向相反. 数学与计算机科学学院高数教研室

165 (2) 用平行于xoy面的平面 z = h 去截它, 截痕是
当 h≠0 时, 截痕是双曲线: h > 0 时, 双曲线实轴平行于 y 轴. h < 0 时, 双曲线实轴平行于 x 轴. 当 h = 0 时, 截痕是两条相交直线. x y z o 数学与计算机科学学院高数教研室

166 §6.4.2 空间曲线 1.空间曲线的一般方程 空间曲线 C 可看作空间两曲面的交线. 空间曲线的一般方程
§ 空间曲线 1.空间曲线的一般方程 空间曲线 C 可看作空间两曲面的交线. 空间曲线的一般方程 特点: 曲线上的点都满足方程, 满足方程的点都在曲线上, 不在曲线上的点不能同时满足两个方程. 数学与计算机科学学院高数教研室

167 例5 方程组 表示怎样的曲线? 解 表示圆柱面. 表示平面. 交线为椭圆. 数学与计算机科学学院高数教研室

168 例6 方程组 表示怎样的曲线? 解 上半球面, 圆柱面, 交线如图. 数学与计算机科学学院高数教研室

169 若曲线上的点 (x, y, z) 的坐标可以表示为变量 t 的函数, 即
2.空间曲线的参数方程 若曲线上的点 (x, y, z) 的坐标可以表示为变量 t 的函数, 即 这就是空间曲线的参数方程. 当给定 t = t1时, 就得到曲线上的一个点(x1, y1, z1), 随着参数的变化可得到曲线上的全部点. 数学与计算机科学学院高数教研室

170 例7 如果空间一点M在圆柱面 x2 + y2=a2上以角速度ω绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升, 那么点 M构成的图形叫做螺旋线, 试建立其参数方程.
解 取时间t为参数， 动点从A点出发, 经过 t 时间, 运动到M点 螺旋线的参数方程 数学与计算机科学学院高数教研室

171 螺旋线的参数方程还可以写为 螺旋线的重要性质： 上升的高度与转过的角度成正比.即 螺距 上升的高度 数学与计算机科学学院高数教研室

172 3.空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的一般方程: 消去变量z后得: 曲线关于 的投影柱面 投影柱面的特征:
曲线关于 的投影柱面 投影柱面的特征: 以此空间曲线为准线, 垂直于所投影的坐标面. 数学与计算机科学学院高数教研室

173 如图: 投影曲线的研究过程. 投影曲线 空间曲线 投影柱面 数学与计算机科学学院高数教研室

174 类似地: 可定义空间曲线在其它坐标面上的投影.
空间曲线在 面上的投影曲线 类似地: 可定义空间曲线在其它坐标面上的投影. 面上的投影曲线, 面上的投影曲线, 数学与计算机科学学院高数教研室

175 (2)因为曲线在平面 上, 所以在xoz面上的投影为线段.
例10 求曲线 在坐标面上的投影. 解 (1)消去变量z后得 在xoy 面上的投影为 (2)因为曲线在平面 上, 所以在xoz面上的投影为线段. 数学与计算机科学学院高数教研室

176 例11 求抛物面y2 + z2 = x与平面x + 2y – z = 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.
(3)同理在yoz面上的投影也为线段. 例11 求抛物面y2 + z2 = x与平面x + 2y – z = 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. 截线方程为 解 如图. 数学与计算机科学学院高数教研室

177 补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影. 空间立体 曲 面 数学与计算机科学学院高数教研室

178 例12 设一个立体,由上半球面 和 锥面所围成, 求它在xoy面上的投影. 解 半球面和锥面的交线为 消去 z 得投影柱面
例12 设一个立体,由上半球面 和 锥面所围成, 求它在xoy面上的投影. 解 半球面和锥面的交线为 消去 z 得投影柱面 则交线 C 在xoy面上的投影为 一个圆 所以, 所求立体在xoy面上的投影为 数学与计算机科学学院高数教研室

179 § 坐标轴的变换 1.坐标轴的平移 将坐标原点O移到 , 而三个坐标轴方向及单位长度都不变, 我们把 Ox, Oy, Oz 叫做旧坐标; 改变后的 叫做新坐标. 设 在旧坐标系下的坐标为(a, b, c), 间任一点P在新、旧坐标下的坐标分别为 和(x, y, z), 则 坐标平移时, 新、旧坐标的换算公式. 数学与计算机科学学院高数教研室

180 直角坐标系的坐标原点不变, 而坐标轴的方向改变的情形, 称为坐标轴的旋转.
2.坐标轴的旋转 直角坐标系的坐标原点不变, 而坐标轴的方向改变的情形, 称为坐标轴的旋转. 设Ox, Oy, Oz和 分别是新、旧坐标轴; 新、旧坐标轴间的夹角分别为 ： 空间中一点P在新、旧坐标下的坐标分别为 和(x, y, z), 则 数学与计算机科学学院高数教研室

181 i, j, k 与 别表示旧坐标与新坐标系下的单位矢量.则有
将(1)的 代入(2)式得 数学与计算机科学学院高数教研室

182 特别地, 若坐标轴旋转时, z 轴不动, 问题简化为平面上坐标轴的旋转, 新、旧坐标的换算公式成为
其中α是从旧轴Ox到新轴 的转角. 数学与计算机科学学院高数教研室

183 例1 化简方程 解 在yoz平面上旋转坐标轴, 使yz项消失. 因此 将上式代入原方程并整理得 数学与计算机科学学院高数教研室

184 将(b)式配方得: 作坐标轴平移, 在坐标系 下使新原点 的坐标为 于是 从而方程(c)变为 故知原方程为单叶双曲面.
作坐标轴平移, 在坐标系 下使新原点 的坐标为 于是 从而方程(c)变为 故知原方程为单叶双曲面. 数学与计算机科学学院高数教研室

185 小 结 曲面方程的概念 旋转曲面的概念及求法. 柱面的概念(母线、准线). 空间曲线的一般方程、参数方程． 空间曲线在坐标面上的投影
小 结 曲面方程的概念 旋转曲面的概念及求法. 柱面的概念(母线、准线). 空间曲线的一般方程、参数方程． 空间曲线在坐标面上的投影 数学与计算机科学学院高数教研室

186 例 求椭圆抛物面2y2 + x2 = z与抛物柱面2 - x2 = z的交线关于xoy面的投影柱面和在 xoy面上的投影曲线方程.
解 交线方程为 消去z得投影柱面 在xoy 面上的投影为 数学与计算机科学学院高数教研室

187 例2 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？
方 程 平面解析几何中 空间解析几何中 x = 2 平行于y轴的直线 平行于yoz面的平面 x2 + y2 = 4 圆心在(0,0),半径为2的圆 以z轴为中心轴的圆柱面. y = x +1 斜率为1的直线 平行于z轴的平面 数学与计算机科学学院高数教研室