王志刚工作室 义务教育教科书·沪科版 数学（八年级）介绍 新时代数学编写组 2016 ·7 广西.

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1 王志刚工作室 义务教育教科书·沪科版 数学（八年级）介绍 新时代数学编写组 2016 ·7 广西

2 内 容 一、八年级教学内容及课时安排建议 二、《课标（2011年版）》对八年级内容的教学要求（简要介绍） 三、各章教学内容概述及教学建议
王志刚工作室 用理论指导实践 内 容 一、八年级教学内容及课时安排建议 二、《课标（2011年版）》对八年级内容的教学要求（简要介绍） 三、各章教学内容概述及教学建议 四、教学中应该注意的问题

3 一、教学内容及课时安排建议 八年级上册共5章 第１１章 平面直角坐标系（数与代数） 第１２章 一次函数（数与代数）
王志刚工作室 用理论指导实践 一、教学内容及课时安排建议 八年级上册共5章 第１１章　平面直角坐标系（数与代数） 第１２章　一次函数（数与代数） 第１３章　三角形中的边角关系、命题与证明（图形与几何） 第１４章　全等三角形（图形与几何） 第１５章　轴对称图形与等腰三角形 （ 图形与几何）

4 一、教学内容及课时安排建议 八年级下册共5章 第１ 6章 二次根式（数与代数） 第１ 7章 一元二次方程（数与代数）
王志刚工作室 用理论指导实践 一、教学内容及课时安排建议 八年级下册共5章 第１ 6章　二次根式（数与代数） 第１ 7章　一元二次方程（数与代数） 第１ 8章　勾股定理（图形与几何） 第１ 9章　四边形（图形与几何） 第 2 0章　数据的初步分析（统计与概率）

5 统计与概率 综合与实践 约10课时 王志刚工作室 第１１章 第１２章 第１ 6章 第１ 7 共55课时 第20章 共14课时
用理论指导实践 数与代数 第１１章 第１２章 第１ 6章　 第１ 7 共55课时　 图形与几何 第１３章　 第１４章　 第１５章 第１ 8章 第１ 9章 共63课时　 统计与概率 第20章 共14课时 综合与实践 贯穿在每一章节中 约10课时

6 第１１章 平面直角坐标系（约6课时） １１．１ 平面内点的坐标 （约３课时） 阅读与思考 确定台风中心位置 数学史话 笛卡儿
王志刚工作室 用理论指导实践 第１１章 平面直角坐标系（约6课时） １１．１　平面内点的坐标 （约３课时） 阅读与思考　确定台风中心位置 数学史话　笛卡儿 １１．２　图形在坐标系中的平移（约２课时） 小结·评价（约１课时） 复习题（A、B、C三组）

7 第１２章 一次函数（约21课时） １２．１ 函数（约６课时） １２．２ 一次函数（约８课时） １２．３ 一次函数与二元一次方程（约３课时）
王志刚工作室 用理论指导实践 第１２章　一次函数（约21课时） １２．１　函数（约６课时） 阅读与思考 输入量与输出量间的函数关系 １２．２　一次函数（约８课时） １２．３　一次函数与二元一次方程（约３课时） 信息技术应用 用《几何画板》求二元一次方程组的近似解 １２．４　综合与实践　一次函数模型的应用（约２课时） 小结·评价（约２课时） 复习题（A、B、C三组）

8 第１３章 三角形中的边角关系、命题与证明（约10课时）
王志刚工作室 用理论指导实践 第１３章　三角形中的边角关系、命题与证明（约10课时） １３．１　三角形中的边角关系（约３课时） １３．２　命题与证明（约５课时） 信息技术应用　用《几何画板》验证三角形外角和 小结·评价（约２课时） 复习题（A、B、C三组） 教学建议

9 第１４章 全等三角形（约１０课时） １４．１ 全等三角形（约1课时） １４．２ 三角形全等的判定（约７课时） 小结·评价（约２课时）
用理论指导实践 王志刚工作室 第１４章　全等三角形（约１０课时） １４．１　全等三角形（约1课时） １４．２　三角形全等的判定（约７课时） 小结·评价（约２课时） 复习题（A、B、C三组）

10 第１５章 轴对称图形与等腰三角 （约15课时） １５．１ 轴对称图形（约３课时） １５．２ 线段的垂直平分线（约２课时）
王志刚工作室 用理论指导实践 第１５章　轴对称图形与等腰三角 （约15课时） １５．１　轴对称图形（约３课时） １５．２　线段的垂直平分线（约２课时） １５．３　等腰三角形（约５课时） １５．４　角的平分线（约３课时） 数学活动　剪纸 小结·评价（约２课时） 复习题（A、B、C三组）

11 第１６章 二次根式（约10课时） １６．１ 二次根式（约２课时） １６．２ 二次根式的运算（约６课时） 阅读与思考 海伦—秦九韶公式
王志刚工作室 用理论指导实践 第１６章　二次根式（约10课时） １６．１　二次根式（约２课时） １６．２　二次根式的运算（约６课时） 阅读与思考　海伦—秦九韶公式 小结·评价（约２课时）　 复习题（A、B、C三组）

12 第１７章 一元二次方程（约18课时） 复习题（A、B、C三组） １７．１ 一元二次方程（约２课时） １７．２ 一元二次方程的解法（约6课时）
王志刚工作室 用理论指导实践 第１７章　一元二次方程（约18课时） １７．１　一元二次方程（约２课时） １７．２　一元二次方程的解法（约6课时） 数学活动　挪球游戏 １７．３　一元二次方程根的判别式（约1课时） １７．４　一元二次方程的根与系数的关系（约２课时） １７．５　一元二次方程的应用（约5课时） 数学史话　一元高次方程 小结·评价（约２课时） 复习题（A、B、C三组）

13 第１８章 勾股定理（约８课时） １８．１ 勾股定理（约３课时） １８．２ 勾股定理的逆定理（约３课时） 阅读与思考 两点之间的距离公式
王志刚工作室 用理论指导实践 第１８章　勾股定理（约８课时） １８．１　勾股定理（约３课时） １８．２　勾股定理的逆定理（约３课时） 阅读与思考　两点之间的距离公式 数学史话　勾股定理 小结·评价（约2课时） 复习题（A、B、C三组）

14 第１９章 四边形（约２０课时） １９．１ 多边形内角和（约3课时） １９．２ 平行四边形（约6课时） 阅读与思考 三角形的重心
王志刚工作室 用理论指导实践 第１９章　四边形（约２０课时） １９．１　多边形内角和（约3课时） １９．２　平行四边形（约6课时） 阅读与思考　三角形的重心 １９．３　矩形、菱形、正方形（约7课时） 阅读与欣赏　完美矩形与完美正方形 阅读与思考　梯形 １９．４　综合与实践　多边形的镶嵌（约2课时） 数学史话　几何定理的机器证明 小结·评价（约2课时） 复习题（A、B、C三组）

15 第２０章 数据的初步分析（约14课时） ２０．１ 数据的频数分布（约3课时） 数学活动 对课外作业时间的统计分析 阅读与欣赏 风向频率玫瑰图
王志刚工作室 用理论指导实践 第２０章　数据的初步分析（约14课时） ２０．１　数据的频数分布（约3课时） 数学活动　对课外作业时间的统计分析 阅读与欣赏　风向频率玫瑰图 ２０．２　数据的集中趋势与离散程度（约8课时） 信息技术应用　用Ｅｘｃｅｌ求方差 ２０．３　综合与实践　体重指数（约１课时） 小结·评价（约2课时） 复习题（A、B、C三组）

16 二、《课标》（２０１１年版）对本册内容的教学要求（简称课程目标）
王志刚工作室 用理论指导实践 二、《课标》（２０１１年版）对本册内容的教学要求（简称课程目标） １．坐标与图形位置 （１）结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置． （２）理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标． （３）在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置． （４）对给定的正方形，会选择合适的直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形．

17 ２．坐标与图形运动 （１）在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系.
王志刚工作室 用理论指导实践 二、《课标》（２０１１年版）对本册内容的 教学要求（课程目标） ２．坐标与图形运动 （１）在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系. （２）在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化．

18 ３．函数（概念） （１）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义．（常量、变量）
王志刚工作室 用理论指导实践 （课程目标） ３．函数（概念） （１）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义．（常量、变量） （２）结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例．（概念、表示法） （３）能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析．（性质） （４）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值．（定义域、值域） （５）能用适当的函数模型刻画简单实际问题中变量之间的关系．（确定关系） （６）结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论．（模型思想）

19 ４．一次函数 （１）结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式．(未知是一次函数）
用理论指导实践 （课程目标） ４．一次函数 （１）结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式．(未知是一次函数） （２）会利用待定系数法确定一次函数的表达式．（已知是一次函数） （３）能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式y＝kx＋b（k≠０）探索并理解k＞０和k＜０时，图象的变化情况．（数形结合、直观感知——单调性） （４）理解正比例函数（特殊到一般）． （５）体会一次函数与二元一次方程的关系．（转化与化归） （６）能用一次函数解决简单实际问题．（模型思想——应用） 王志刚工作室

20 ５．三角形 王志刚工作室 （课程目标） （１）理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性．
用理论指导实践 ５．三角形 （课程目标） （１）理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性． （２）探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．证明三角形的任意两边之和大于第三边． （３）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角． （４）掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． （５）掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． （６）掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等． （７）证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等． （８）探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到.角两边距离相等的点在角的平分线上.

21 王志刚工作室 用理论指导实践 ５．三角形 （课程目标） （９）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． （１０）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合．探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于６０°．探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是６０°的等腰三角形）是等边三角形． （１１）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形． （１２）探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理． （１３）了解三角形重心的概念．  B A

22 ６．尺规作图 （１）作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．（三条线）
王志刚工作室 用理论指导实践 ６．尺规作图 （课程目标） （１）作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．（三条线） （２）会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形．（5个三角形） （３）在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法．

23 尺规作图 尺规作图要求了解尺规作图的道理 王志刚工作室
用理论指导实践 尺规作图 尺规作图要求了解尺规作图的道理 1、尺规作图不能仅仅看成是操作，实际上它是在某些条件下图形是否存在（可用作出——存在性）、是否唯一(可以确定——唯一性）的命题。 2、尺规作图与图形的性质的证明以及某些计算问题有着内在的联系。 3、比如：已知两角夹边、两边夹角、三边可以作出唯一的确定的三角形，这与判断两个三角形的全等的“ASA、SAS、SSS”在本质上是一致的。 “了解作图道理”实质就是知道如何“证明”所作的图形符合要求。事实上，有些不同类型的尺规作图，其“道理”可能是相同的，例如：作一个角的平分线、过一个已知点作已知直线的垂线、作一条线段的垂直平分线作图的本质都是：作图过程都是构造等腰三角形，道理都是线段垂直平分线的判断或等腰三角形的性质。

24 ７．定义、命题、定理 （１）通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义．
王志刚工作室 用理论指导实践 （课程目标） ７．定义、命题、定理 （１）通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义． （２）结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念．会识别 两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立． （３）知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式． （４）了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．

25 ８．图形的轴对称 （１）通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．
王志刚工作室 用理论指导实践 ８．图形的轴对称 （课程目标） （１）通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分． （２）能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形． （３）了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质． （４）认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形． （５）在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系．

26 9．二次根式 了解二次根式、最简二次根式的概念， 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则， 会用它们进行有关的简单四则运算．
王志刚工作室 用理论指导实践 （课程目标） 9．二次根式 了解二次根式、最简二次根式的概念， 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则， 会用它们进行有关的简单四则运算．

27 10．方程 （１）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．
王志刚工作室 用理论指导实践 10．方程 （课程目标） （１）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程． （２）会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等． （３）了解一元二次方程的根与系数的关系． （４）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．

28 王志刚工作室 用理论指导实践 （课程目标） 11．三角形（勾股定理） 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题．

29 12．四边形 （１）了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和与外角和公式．
王志刚工作室 用理论指导实践 12．四边形 （课程目标） （１）了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和与外角和公式． （２）理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性． （３）探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．

30 12．四边形 （４）了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离．
王志刚工作室 用理论指导实践 12．四边形 （课程目标） （４）了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离． （５）探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四条边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．正方形具有矩形和菱形的一切性质． （６）探索并证明三角形的中位线定理．

31 13．数据分析 （１）理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述．
王志刚工作室 用理论指导实践 13．数据分析 （课程目标） （１）理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述． （２）体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差． （３）通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴含的信息． （４）体会样本与总体的关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数和总体方差． （５）能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流． （６）通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势．

32 王志刚工作室 用理论指导实践 三、各章教学内容概述

33 第１１章 平面直角坐标系 函数需要画图，因此需要先介绍平面直角坐标系。 在这里讲平面直角坐标系，是为下章讲函数做准备。 王志刚工作室
用理论指导实践 第１１章　平面直角坐标系 函数需要画图，因此需要先介绍平面直角坐标系。 在这里讲平面直角坐标系，是为下章讲函数做准备。

34 帮助学生认识由形到数、又由数到形的知识结合．
王志刚工作室 用理论指导实践 结合确定点的位置的方法和学生在教室的座位实例入手，观察并比较了在直线上和在平面上确定物体位置的方法的异同． 类比在直线上确定点的位置的方法而引进了平面直角坐标系的概念，接着设置了操作、交流及例1、2体现课标的要求。 帮助学生认识由形到数、又由数到形的知识结合．

35 １１．１平面内点的坐标 在平面内确定点的位置，除利用平面直角坐标系外，还有其他方法，如极坐标、球面坐标．
王志刚工作室 用理论指导实践 １１．１平面内点的坐标 在平面内确定点的位置，除利用平面直角坐标系外，还有其他方法，如极坐标、球面坐标． 所以在“阅读与思考”栏中以确定台风中心位置给予说明，让学生有所了解．

36 在第１0章相交线中学习了平移的概念； 实例说明
王志刚工作室 用理论指导实践 在第１0章相交线中学习了平移的概念； 实例说明 在坐标系内作平移，就是把图形上点的横、纵坐标加、减一个数即可。 在学习函数图象之前，让学生体会到引入坐标系的作用———它可以使几何变换归结为点的坐标的变换，从而简化了平移．

37 平移是可以“合成的”，为以后学习向量、矩阵的运算做好必要的准备。
王志刚工作室 用理论指导实践 设计数学园地告诉同学们： 平移是可以“合成的”，为以后学习向量、矩阵的运算做好必要的准备。

38 ①图形的概念与性质；②图形的变换；③图形与坐标．
王志刚工作室 用理论指导实践 编者的话 “图形与几何”中有三方面内容： ①图形的概念与性质；②图形的变换；③图形与坐标． 本套教材为充分展现数学知识的内在联系，发挥每部分内容在整体中的作用，认真地组织了这三方面的内容． 把“图形的变换”中的平移、轴对称、中心对称、旋转、位似分别安排在七至九年级各相关章节中介绍，每讲解一个变化后，就安排相应的图形在平面坐标系中的变化． 图形的平移是本套教材中介绍的第一个图形的变化．安排在七年级下册在“相交线与平行线”中，在本章的就安排了“图形在坐标系中的平移”． 这不仅充分发挥坐标作用，更重要的是把图形的变化归结为坐标变化，体现了转化、数形结合的思想方法，同时为高中学习向量、矩阵做好必要的准备．

39 第１１章的重点和难点 本章的重点是平面直角坐标系的基础知识；
王志刚工作室 用理论指导实践 第１１章的重点和难点 本章的重点是平面直角坐标系的基础知识； 难点是对平面直角坐标系上点的坐标有序性的理解，对同一平面直角坐标系中图形平移前、后点的坐标的变化规律的理解．

40 函数是中学数学的重要内容，是中学数学中一类重要的数学模型； 它不仅是后继学习数学的基础，也是学习物理、化学等自然科学的基础．
王志刚工作室 用理论指导实践 函数是中学数学的重要内容，是中学数学中一类重要的数学模型； 它不仅是后继学习数学的基础，也是学习物理、化学等自然科学的基础． 在解决生产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建立模型的基本工具． 本章主要内容包括：函数的概念、常量与变量的意义、一次函数的概念、图象、性质及其应用，一次函数与一次方程（不等式）的关系，一次函数与二元一次方程的关系，以及一次函数模型的应用实例．

41 函数 概念的教学 教学中务必让学生实际操作，从而有较深刻的印象。 王志刚工作室 用理论指导实践
函数概念比较抽象，运用大量的实际情景，从不同的侧面展示实际问题中的常量与变量、自变量与函数以及它们之间互相转化、相互依存的关系，让学生从生活实例中感受常量、变量与函数的基本概念； 再从描述变量之间对应关系的方法刻画了一般函数的基本特征，从而初步建立函数的概念及函数的三种表示方法———图象法、列表法、解析法． 阅读与思考的本质是函数的集合观点下的映射定义。 教学中务必让学生实际操作，从而有较深刻的印象。

42 １２．２ 一次函数 这是全章的重点内容． 首先：概念的处理采用了归纳与概括的思想方法
王志刚工作室 用理论指导实践 １２．２　一次函数 这是全章的重点内容． 首先：概念的处理采用了归纳与概括的思想方法 教材紧密联系１２．１节中已学习过的现实生活生产中的一类形如y＝kx＋b函数的实例 （5个），而引出一次函数的模型； 介绍一次函数中的特殊一类———正比例函数．

43 画图 识图 用图 １２．２ 一次函数 列表、描点、连线 归纳、概括 观察、分析 一次函数图像与性质的处理 采用从特殊到一般的方法
王志刚工作室 用理论指导实践 １２．２　一次函数 一次函数图像与性质的处理 采用从特殊到一般的方法 画图 列表、描点、连线 识图 观察、分析 归纳、概括 用图 解决数学问题 解决实际问题

44 王志刚工作室 用理论指导实践 １２．２　一次函数 具体地讲 画过的函数y＝1/2x，y＝－x，y＝±3x的图象基础上，直观得出的正比例函数y＝kx的图象是过原点的一条直线。在进一步分析常数k对图像的影响，得到正比例函数的性质。 然后通过在同一坐标系中画出y＝２x，y＝２x+3得到y＝kx+b是一条平行于y=kx的直线。 编者的话 此处没有给出证明，原因是九年级上册第２３章解直角三角形一章我们学过相似形和解直角三角形后可给予说理解释，因为对一次函数的图象及性质的研究都是以y＝kx为前提通过平移得出的．

45 编者的话 １２．２ 一次函数 1、列表取点问题——x不一定非要取整数； 2、一次函数的图像也可以运用列表、标点、连线的方式得到。
王志刚工作室 用理论指导实践 １２．２　一次函数 编者的话 1、列表取点问题——x不一定非要取整数； 2、一次函数的图像也可以运用列表、标点、连线的方式得到。

46 １２．２ 一次函数 一次函数的图像和性质的运用 分四个层面来逐步展开的 第一个层次
王志刚工作室 用理论指导实践 １２．２　一次函数 一次函数的图像和性质的运用 分四个层面来逐步展开的 第一个层次 是通过例５和例６以缴纳水费和组团旅游的现实生活实例，展示一次函数的应用和建立函数模型解决实际问题的过程，使学生初步体会建立一次函数模型解决实际问题的基本方法．

47 王志刚工作室 用理论指导实践 １２．２　一次函数 第二个层次 利用一次函数的图象与x轴的位置关系——x轴将一次函数图象分成三部分，它们分别是一元一次不等式kx＋b＞０，与kx＋b＜０的图象．和方程kx＋b＝０的零点位置。 编著的话 这样既能科学地揭示出一次函数与一元一次方程、一次不等式之间的联系，将一次方程与一次不等式的求解归结为一次函数的零点与非零点的问题，达到《课标（２０１１年版）》中要求的“借助几何直观把复杂的问题变得简明形象……”帮助学生直观地理解数学的目的，分解难点。 同时：用函数的观点统筹方程、不等式，整体把握学习内容。

48 １２．３ 一次函数与二元一次方程 第三个层面是运用一次函数 处理二元一次方程（组）的解的问题
王志刚工作室 用理论指导实践 １２．３　一次函数与二元一次方程 第三个层面是运用一次函数 处理二元一次方程（组）的解的问题 这一节原来叫做“二元一次方程组的图象解法”，改为“一次函数与二元一次方程”，突出函数与相应方程间的联系，淡化了利用图象解方程组的要求． 一次函数与已学习过的二元一次方程建立联系，从特殊的例子推广到：“一般地，一个二元一次方程ax＋by＋c＝０当，a、b均不为０时可以转化为一次函数y＝kx＋b（a，b为常数,且不同时为0，且k≠０）的形式，所以，这样的二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．”

49 １２．３ 一次函数与二元一次方程 也为高中学习平面区域奠定基础.
王志刚工作室 用理论指导实践 １２．３　一次函数与二元一次方程 这样通过把一次函数及其图象转化为方程与曲线间的关系，从而引入解析几何的思想方法。 这不仅解决了二元一次方程组的解是曲线交点坐标的问题，同时也表明，在一般情况下，方程ax＋by＋c＝０（其中，a，b中仅有一个为０）对应着平面直角坐标系中的一条直线．若b=0,既为x＝c，若a=0即为y＝c是直线．后面再y＝x２＋by＋c图象的对称轴x＝－b/２a时，说它是一条直线就很方便了． 也为高中学习平面区域奠定基础.

50 第四个层面是运用一次函数 模型解决实际问题
王志刚工作室 用理论指导实践 １２．４　综合与实践　一次函数模型的应用 第四个层面是运用一次函数 模型解决实际问题 《课标》（2011年版）指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。 “模型思想”是数学的核心素养之一！

51 发展“三用”目标 逐步学会用数学的眼光观察现实世界——发展数学抽象、直观想象素养； 用数学的思维分析世界——发展逻辑推理、数学运算素养；
王志刚工作室 用理论指导实践 发展“三用”目标 逐步学会用数学的眼光观察现实世界——发展数学抽象、直观想象素养； 用数学的思维分析世界——发展逻辑推理、数学运算素养； 用数学的语言表达世界——发展数学建模、数据分析素养。 增强创新意识和数学应用能力 。

52 王志刚工作室 用理论指导实践 教材设计了以预测奥运会游泳冠军的成绩为素材，展现建立函数模型解决实际问题的步骤和方法，使学生经过学习与实践，体会如何从现实情境中抽象出数学问题，并用数学符号建立函数来表示数学问题中的数量关系和变化规律，进而求出结果并讨论结果的意义，获得基本的建立一次函数模型解决问题的数学活动经验，发展学生应用数学知识解决现实问题的兴趣，形成良好的数学思维习惯和应用意识．

53 王志刚工作室 用理论指导实践 第１２章的重点和难点 本章的重点是函数的概念、函数的三种表示方法及一次函数的概念、图象与性质，运用待定系数法确定函数表达式，能够利用一次函数及其图象解决简单的实际问题，初步体会方程、不等式与函数的关系． 本章的难点是对函数概念的理解以及利用一次函数的图象及性质解决简单的实际问题（模型思想的渗透）．

54 三角形是最简单的多边形，是研究其他图形的基础．本章内容有两个方面：
王志刚工作室 用理论指导实践 第１3章 三角形中的边角关系、命题与证明 三角形是最简单的多边形，是研究其他图形的基础．本章内容有两个方面： 一是在学生已学过的一些三角形知识的基础上，进一步系统地研究它的概念、分类、性质和应用． 二是形式逻辑训练的开始，让学生学习：命题的概念与结构，命题的真假及判断，公理、定理和证明的意义以及简单证明．

55 １３．１ 三角形中的边角关系 主要内容是三角形的有关概念、分类、三边关系和三角形内角和定理．
王志刚工作室 用理论指导实践 １３．１　三角形中的边角关系 主要内容是三角形的有关概念、分类、三边关系和三角形内角和定理． 三角形中几个特殊线段———角平分线、中线、高线（高），这几个也是三角形中基本元素．对它们之间的位置关系（可交于一点）、数量关系（如何计算它的长度），在后面相关的内容与习题中，我们也做了一些安排．

56 王志刚工作室 用理论指导实践 １３．２　命题与证明 （六个环节来实现课程目标） 1、教材首先通过陈述，只凭剪拼的直观操作方法来说明三角形内角和是１８０°这个结论是难以使人信服的，从而说明了推理证明的必要性． 2、证明的有关概念：命题、真命题、假命题的意义，说明命题由题设和结论两部分组成；介绍了原命题、逆命题和反例的意义， 3、利用反例可以说明一个命题是假命题．

57 １３．２ 命题与证明 4、然后教材给出了基本事实、定理、证明的概念，随后以“内错角相等，两直线平行”为例说明了什么是证明．
王志刚工作室 用理论指导实践 １３．２　命题与证明 4、然后教材给出了基本事实、定理、证明的概念，随后以“内错角相等，两直线平行”为例说明了什么是证明． 5、通过例３到例５让学生了解证明的过程，熟悉推理过程和每步的依据． 6、通过“三角形内角和定理”的证明，说明添加辅助线的作用，了解证明一个文字表述的几何命题的完整过程．

58 王志刚工作室 用理论指导实践 编著的话 1、体会——完整演绎推理的过程 在证明命题时，要分清楚命题的题设的条件和结论，如果问题与图形有关，首先根据条件画出图形，并在图形上标出有关字母与符号 ； 再结合图形，写出已知、求证； 然后分析因果关系，找出证明途径； 最后有条理地写出证明工程。

59 王志刚工作室 用理论指导实践 编著的话 注意：对于77面；例1中：“两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行”的处理。

60 王志刚工作室 用理论指导实践 编著的话 2、通过三角形内角和定理的证明积累添加辅助线的活动经验。 3、一个好的例子胜过千言万语。

61 本章的重点和难点 重点是三角形的边角关系，区分一个命题的题设和结论，综合法证明一个几何命题的方法和步骤．
王志刚工作室 用理论指导实践 本章的重点和难点 重点是三角形的边角关系，区分一个命题的题设和结论，综合法证明一个几何命题的方法和步骤． 难点是区分命题的条件和结论，简单反例的构造，一个几何命题综合法证明思路的分析和证明过程的规范表述．

62 第１４章 全等三角形 全等三角形是研究平面几何图形的基础．
王志刚工作室 用理论指导实践 第１４章 全等三角形 全等三角形是研究平面几何图形的基础． 本章是在学生小学已学过的一些三角形的知识及第１３章“三角形中的边角关系”的基础上，进一步研究全等三角形的概念、性质、判定和应用．

63 １４．１ 全等三角形 本节主要是全等三角形的概念和性质，这些是学习判定两个三角形全等及全等三角形应用的基础．
王志刚工作室 用理论指导实践 １４．１　全等三角形 本节主要是全等三角形的概念和性质，这些是学习判定两个三角形全等及全等三角形应用的基础． 叠合法——“能够完全重合的两个图形”．这在《几何原本》中是作为公理给定的．因此要说明两个图形是否全等，采用叠合的办法． 全等之后——对应元素！ 关注几个基本事实的表述方法； 性质——边、角； 书写格式。

64 １４．２ 全等三角形的判定 主要内容是判定两个三角形全等（包括判定两个直角三角形全等）的方法及应用尺规作图作三角形的方法．
王志刚工作室 用理论指导实践 １４．２　全等三角形的判定 主要内容是判定两个三角形全等（包括判定两个直角三角形全等）的方法及应用尺规作图作三角形的方法． 教材设计操作活动，引导学生从三角形的六个基本元素出发，探究判定三角形全等的条件．从而得出，确定一个三角形的形状和大小至少需要有三个元素（其中至少有一边），得到SAS、ASA、SSS、AAS的判定方法和判定两个直角三角形全等的条件．

65 王志刚工作室 用理论指导实践 编著的话 把探究的过程和权利真正地还给学生！

66 王志刚工作室 用理论指导实践 编著的话 尺规作三角形是《课标（２０１１年版）》要求的．教科书根据SAS，ASA，SSSS分别作出三角形，再用叠合法证明全等，既教学了尺规作图，又使这三个判定全等的命题得以直观的感知． 在直观感知、操作确认的基础上，再进行说理，让学生体验证明的必要性和证明的过程，逐步提高推理论证能力．

67 编著的话 教材把用尺规作三角形放在这里，因为课标上有这个要求．
王志刚工作室 用理论指导实践 编著的话 教材把用尺规作三角形放在这里，因为课标上有这个要求． 通过作出符合条件的三角形，可供叠合，才能判断是否全等．教科书在按SAS，ASA作出三角形后，明确提出“将所作△A′B′C′与△ABC叠一叠，看它们能否完全重合”，正是这个意思． 作三角形用到作线段和角，叠三角形用到叠线段和角，这些在七年级上册教科书中早已为这作了准备，至于按SSS条件作三角形是可以的，但要按上述方法叠合比较困难，教科书在作出图形后，没有提出叠合的要求，待到学过等腰三角形后，这个定理可以证明．

68 王志刚工作室 用理论指导实践 第14章的重点和难点 重点是：全等三角形的判定方法．由于全等三角形是研究图形中线段相等或角相等的基础，学生只有掌握了全等三角形的判定方法，并能灵活地运用它们，才能学好后面的知识． 难点是：探索三角形全等的条件和运用它们进行说理，以及应用全等三角形解决实际问题．

69 第15章 轴对称与等腰三角形 本章的主要内容为图形的轴对称、线段的垂直平分线、等腰三角形、角的平分线．
王志刚工作室 用理论指导实践 第15章 轴对称与等腰三角形 本章的主要内容为图形的轴对称、线段的垂直平分线、等腰三角形、角的平分线． 本章所研究的轴对称变换是基本的几何变换，后面三节内容“线段的垂直平分线”“等腰三角形”“角的平分线”的研究和学习，都是以轴对称变换为工具，围绕图形的轴对称性的研究展开的． 线段的垂直平分线、角的平分线、等腰三角形的性质和判定是证明线段和角相等的重要依据，应用十分广泛．

70 王志刚工作室 用理论指导实践 １５．１　轴对称图形 教材立足于学生的生活经验和数学活动经验，从观察现实生活中的对称现象开始，给出了轴对称图形和轴对称的概念，并结合对称轴对称的两个图形上对称点关系的研究，给出了线段的垂直平分线的概念，归纳出轴对称的性质． 随后通过观察和思考，讨论了坐标平面内关于x轴和y轴对称的点的坐标的关系．

71 １５．２ 线段的垂直平分线 教科书通过探索一条已知线段的垂直平分线的作法(3种方法），介绍了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，
王志刚工作室 用理论指导实践 １５．２　线段的垂直平分线 教科书通过探索一条已知线段的垂直平分线的作法(3种方法），介绍了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理， 最后利用性质定理及其逆定理证明了“三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等”——三角形外心的概念及性质．

72 王志刚工作室 用理论指导实践 １５．３　等腰三角形 教材首先利用叠合操作的方法研究了等腰三角形的轴对称性，给出了等腰三角形的性质１及其证明，进而给出了等腰三角形的其他性质（三线合一）． 证明了判定两个直角三角形全等的 “HL”定理，研究了等腰三角形的判定定理及其推论，得到了“直角三角形中３０°锐角所对边等于斜边的一半”这一性质．

73 １５．４ 角的平分线 本节通过探索一个已知角的平分线的作法，介绍了角的平分线的性质定理及其逆定理；
王志刚工作室 用理论指导实践 １５．４　角的平分线 本节通过探索一个已知角的平分线的作法，介绍了角的平分线的性质定理及其逆定理； 利用性质定理及其逆定理证明了“三角形三个内角的平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等”——三角形的内心的概念和性质． 在作角平分线基础上，完成“过一点作直线垂直已知直线”的尺规作图．

74 本章的重点和难点 重点是：轴对称的性质、线段的垂直平分线、角的平分线、等腰三角形的性质和判定．
王志刚工作室 用理论指导实践 本章的重点和难点 重点是：轴对称的性质、线段的垂直平分线、角的平分线、等腰三角形的性质和判定． 难点是：轴对称和轴对称图形的区别和联系，线段的垂直平分线、角的平分线尺规作法的正确性的证明，线段的垂直平分线、角的平分线、等腰三角形的性质和判定的综合运用．

75 王志刚工作室 用理论指导实践 第１６章 内容有两个部分： 二次根式的有关概念、性质（4条）； 二次根式的四则运算．

76 王志刚工作室 用理论指导实践 １６．１　二次根式 这部分内容从复习七年级学习的数的开平方开始，引入二次根式的概念，接着根据定义（要求学生观察），顺理成章地导出二次根式的两条性质： 性质 （一个正数可以写成平方形式）； 性质2 准确读出以上两个式子

77 强调公式的可逆性 这部分内容首先利用学生已学过的求算术平方根的方法，通过具体例子，让学生通过观察、讨论、计算等活动，再学习性质③，④
王志刚工作室 用理论指导实践 这部分内容首先利用学生已学过的求算术平方根的方法，通过具体例子，让学生通过观察、讨论、计算等活动，再学习性质③，④ 并会根据根式性质进行简单的二次根式化简及四则运算． 强调公式的可逆性

78 在进行上两节教学时，要注意 ①逻辑推理 二次根式中，四则运算法则是根据四条性质推导出的．
王志刚工作室 用理论指导实践 在进行上两节教学时，要注意 ①逻辑推理 二次根式中，四则运算法则是根据四条性质推导出的． 教材对这四条性质按算术平方根的意义给予证明，目的是突出它的重要性，让学生理解，从而有助于掌握算法，并进一步说明，逻辑推理不只在几何中要注意，在代数中同样要重视．（B组题地7题）

79 王志刚工作室 用理论指导实践 在进行上两节教学时，要注意 ②知识的连接 在七年级下册，通过求方根，引进了无理数（研究不可公度线段的比同样可发现无理数），从而把有理数集扩充为实数集．当时虽然交代了“有理数的运算法则和运算律对于实数集仍然适用”，但对于由开方出现的无理数如何运算当时也只能说，当求它们近似值时，可以用它们的近似有理数值代替． 第１６章内容解决了以根号形式出现的实数运算问题． 由于有了第１６章内容，使得可以解一元二次方程．推导一元二次方程的求根公式，也是由开方求解推导的． 勾股定理的计算，也要用到根式，这为九年级上册解直角三角形做了准备．

80 在进行上两节教学时，要注意 ③适度 根式运算，课标在它的附录的例４８中，特别标明：“不要求进行根号下含字母的二次根式的四则运算”
王志刚工作室 用理论指导实践 在进行上两节教学时，要注意 ③适度 根式运算，课标在它的附录的例４８中，特别标明：“不要求进行根号下含字母的二次根式的四则运算”

81 本章的重点和难点 重点是：二次根式的概念、四条性质以及二次根式的四则运算法则． 难点：对四条运算性质的理解和掌握． 王志刚工作室
用理论指导实践 本章的重点和难点 重点是：二次根式的概念、四条性质以及二次根式的四则运算法则． 难点：对四条运算性质的理解和掌握．

82 本章主要内容有：一元二次方程的基本概念、解法，一元二次方程根的性质及应用．
王志刚工作室 用理论指导实践 这一章是在学生掌握了一元一次方程、二元一次方程组、代数式的运算和因式分解的基础上学习的，是初中阶段代数方程知识的进一步拓展．学习本章内容既是对以前所学的代数式、因式分解、方程、平方根和二次根式知识的强化与巩固，又是为以后学习二次函数、二次不等式做好铺垫． 本章主要内容有：一元二次方程的基本概念、解法，一元二次方程根的性质及应用．

83 １７．１ 一元二次方程 王志刚工作室 七年级讲的一次方程（组），在根式后，介绍二次方程．
用理论指导实践 １７．１　一元二次方程 七年级讲的一次方程（组），在根式后，介绍二次方程． 这节通过实际问题，建立一元二次方程，体现方程是刻画现实世界的有效数学模型． 建立方程解决实际问题，是初中代数的重要内容． 第１７章，在一元二次方程的引入（１７．１）与应用（１７．５）中分别从不同类型的问题列出方程．（蔬菜平均增长率、面积、体积、桌子摆放、贺卡、握手、药品降价、出油率、春游、自由落体、数字问题、植树） 目的：是继续培养学生发现问题、提出问题分析问题、解决问题的能力． 因为列方程（组）解决实际问题，都是教学中的难点，一般学生限于对实际问题的背景材料与对文字题的理解，都觉得较难接受．

84 王志刚工作室 用理论指导实践 １７．２　一元二次方程的解法 解法是通过思考、交流、探究等学习活动，运用转化的思想，讨论一元二次方程的几种解法（配方法、公式法、因式分解法）． 一元二次方程解法过程中，配方的思想是很重要的．不仅因为通过配方推导出求根公式，为研究根的判别式、根与系数关系提供条件，而且也为九年级讲二次函数时，将一般形式转化为标准形式做了准备． 例4、例5的处理方法要灵活多样。

85 由特殊到一般，然后得出一个普遍性规律，这个数学思想是极为有益的．
王志刚工作室 用理论指导实践 １７．３　一元二次方程根的判别式 求根公式是针对一般形式得出的，而且不论a，b，c是实数或复数也都成立．Δ＝b２－４ac＜０，用公式求得的根不是实数，而不是公式不能用． 根与系数关系，对一切实数、复数也都成立． 由特殊到一般，然后得出一个普遍性规律，这个数学思想是极为有益的．

86 王志刚工作室 用理论指导实践 １７．４　一元二次方程的根与系数的关系 关注：高初中课程标准不衔接造成的麻烦 《课标（２０１１年版）》中，对韦达定理的要求是“了解一元二次方程的根与系数的关系”，说明这个内容为“选学内容，不作考试（中考）要求”． 一元二次方程的根与系数的关系是高一起始教学中常用的结论，教材安排了2课时来学习，建议教学时通过学生主动探究得到结论，并进行简单的运用。

87 １７．５ 一元二次方程的应用 本节运用一元二次方程解决实际问题，强化建模思想，展现运用方程解决实际问题的一般过程．
王志刚工作室 用理论指导实践 １７．５　一元二次方程的应用 本节运用一元二次方程解决实际问题，强化建模思想，展现运用方程解决实际问题的一般过程． 同时，结合应用问题介绍可化为一元二次方程的分式方程的解法．

88 王志刚工作室 用理论指导实践 数学活动和数学史话

89 本章的重点和难点 重点使：一元二次方程的解法、根的性质及其应用．
王志刚工作室 用理论指导实践 本章的重点和难点 重点使：一元二次方程的解法、根的性质及其应用． 难点有两个：一是配方法．熟练地解一元二次方程，关键在于让学生理解转化思想，设法将方程中的“二次”降为“一次”．配方法就是把“一般”形式的一元二次方程转化为“特殊”（可直接用开平方法解）的一元二次方程．通过这种思想方法的学习，学生可以运用旧知识来解决新问题，由“不会”转变为“会”． 另一个难点：建立一元二次方程或分式方程模型解决实际问题．尽管已经有了运用一次方程（组）解应用问题的经验，但由于实际问题涉及的内容广泛，有的背景学生不熟悉，有的问题数量关系复杂，不易找出等量关系．同时，还要根据实际问题的意义检验求得的结果是否合理．

90 直角三角形是一种特殊的三角形，勾股定理反映的是直角三角形三边的关系，它是平面几何中的一个重要定理．
王志刚工作室 用理论指导实践 直角三角形是一种特殊的三角形，勾股定理反映的是直角三角形三边的关系，它是平面几何中的一个重要定理． 在第１８章之前，学生已学习了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的部分性质和一个三角形是直角三角形的条件．在此基础上，本章学习的主要内容是关于直角三角形的勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用． 本章主要内容有两个部分：勾股定理的发现与证明，运用勾股定理解决简单的实际问题；勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形．

91 １８．１ 勾股定理 利用史实进行了爱国主义教育，培养学生爱国主义情感。
王志刚工作室 用理论指导实践 １８．１　勾股定理 利用学生熟悉的方格网为背景，通过观察、分析、一般化等思维活动，引导学生得到猜想———勾股定理，再利用面积计算、数形结合的方法证明勾股定理． 利用史实进行了爱国主义教育，培养学生爱国主义情感。

92 应用勾股定理解决了两个简单的实际问题．

93 １８．２ 勾股定理的逆定理 注意：逆定理没有给出证明！
王志刚工作室 用理论指导实践 １８．２　勾股定理的逆定理 利用两个情景提出了逆命题（逆定理）的概念，提出了一个定理的逆命题是否成立的问题，并应用实例展现利用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形． 注意：逆定理没有给出证明！

94 王志刚工作室 用理论指导实践 编著的话 勾股定理的应用是广泛的．这个定理本身的证明，长期以来引起多方关注，证法据说有几百种，教科书在介绍我国历史上一种证明外，在数学史话、习题中还介绍了几种，到九年级上册相似形中再次作了几处介绍． 这些应告诉学生，一个命题的证明由于我们掌握的知识不同，应有多种方法．因此在指导学生学习时，不要只让学生记住课本上的方法，而应首先引导学生分析条件，研究结论，再思考解决方法． 对于勾股定理的逆定理，本套教科书在实验阶段曾给出证明，这次修订时，审查委员认为同一法较难，不必对所有学生要求．

95 本章的重点和难点 重点是：勾股定理、勾股定理的逆定理的内容及其应用； 难点是：勾股定理的发现过程中所体现的数学思想． 王志刚工作室
用理论指导实践 本章的重点和难点 重点是：勾股定理、勾股定理的逆定理的内容及其应用； 难点是：勾股定理的发现过程中所体现的数学思想．

96 这一章内容的推导依据平行线、三角形的基础知识．
王志刚工作室 用理论指导实践 对四边形的研究，是学习三角形的继续． 这一章内容的推导依据平行线、三角形的基础知识． 反过来，利用四边形的一些性质，也推导出平行线（等分线段）、三角形（三角形中位线、三条中线交于一点、直角三角形斜边上中线）的一些新的性质．

97 到九年级上册相似形一章要引出平行线分线段成比例时，把前者作为特例，较易直观地提出猜想（因为这里不要求证明）而给出结论．
王志刚工作室 用理论指导实践 本章中介绍平行线等分线段的性质（81面例6） 到九年级上册相似形一章要引出平行线分线段成比例时，把前者作为特例，较易直观地提出猜想（因为这里不要求证明）而给出结论．

98 编著的话 这章内容给我们深入学习逻辑推理提供了很好的素材．
王志刚工作室 用理论指导实践 编著的话 这章内容给我们深入学习逻辑推理提供了很好的素材． 比如，平行四边形、矩形、菱形，这些图形如何给出它们的定义比较合理？这就涉及种概念及属概念． 又比如这些四边形性质的研究是以前面的平行线、三角形知识为基础，但反过来又为平行线与三角形的一些性质推导提供了可能． 在这章教学时，应继续巩固和提高学生们的逻辑论证能力．

99 王志刚工作室 用理论指导实践 １９．１　多边形的内角和 教材首先从多边形的概念（多边形、多边形的边、多边形的顶点、多边形的内角、多边形的外角、多边形的对角线、凸多边形等等）着手，研究多边形的内角和与外角和，并介绍了正多边形的概念和四边形的不稳定性。 教学时建议：让学生动手画出图形，对照图形去标注各个概念，也可借助信息技术呈现图形的多样性，增加直观感知。

100 本章中的四边形包括：平行四边形与特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）之间的共性与特殊性以及它们之间的从属关系。
王志刚工作室 用理论指导实践 １９．２　平行四边形 １９．３　矩形、菱形、正方形 本章中的四边形包括：平行四边形与特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）之间的共性与特殊性以及它们之间的从属关系。 涉及概念的内涵与外延、分类思想、逻辑思维等方面的知识，这对培养和发展学生的逻辑思维能力提供了很好的素材．

101 王志刚工作室 用理论指导实践 教学内容的编写特点 关注学生已有的认识基础：学生在小学就已经学过部分四边形和平行四边形的有关知识，进中学后又学过平行线和三角形等知识，这一切为四边形的学习不仅做了知识上的良好铺垫，而且奠定了思想方法、逻辑推理等方面的基础． 注重学生独立思考：教材直接给出平行四边形的概念，并通过学生自己的观察与思考得出平行四边形的性质定理，然后从平移和作图研究平行四边形的判定定理． 体现研究问题的一般思路：分别从平行四边形在角、边、对角线等方面的特殊性引入矩形、菱形的概念、性质和判定，继而从矩形、菱形的综合特殊性得出正方形的概念及性质． 重视转化思想：把四边形的问题转化为三角形问题来解决，因而需要反复地运用到平行线和三角形的有关知识，这也体现一种转化思想． 因此，教学中应当注意循序渐进、螺旋上升，切实为学生打牢基础．

102 １９．４ 综合与实践 多边形的镶嵌 这部分内容应组织学生交流讨论，不要由老师讲解．
王志刚工作室 用理论指导实践 １９．４　综合与实践　 多边形的镶嵌 这部分内容应组织学生交流讨论，不要由老师讲解． 让学生课前去广泛收集素材，在学生交流、讨论过程中，教师参与并适时作一些必要的引导．

103 王志刚工作室 用理论指导实践 本章的重点和难点 重点是平行四边形的性质和判定．四边形的有关概念以及四边形的内角和与外角和为平行四边形的学习做了必要的铺垫．矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的概念、性质以及判定都是建立在平行四边形的基础之上的． 本章的关键是要求学生掌握平行四边形的概念、性质和判定，并能熟练地应用这些知识解决问题． 本章的难点是各种特殊四边形之间的联系和区别．平行四边形与各种特殊平行四边形之间的关系，蕴含了分类思想，又是相近概念的集中与交错，不容易被学生所掌握，“张冠李戴”的现象时有发生． 教学中要多用“集合”思想，结合关系图或分类表，让学生分清这些概念的从属关系，突破这些概念教学的难点．

104 七年级上册中，我们研究了数据的收集与整理． 这一章，包括收集数据、整理数据、统计推断． 统计方法的核心是通过对“部分”的研究推断“总体”．
王志刚工作室 用理论指导实践 七年级上册中，我们研究了数据的收集与整理． 这一章，包括收集数据、整理数据、统计推断． 统计方法的核心是通过对“部分”的研究推断“总体”． 这一章的“数据分析”实际就是：①依据样本的频数分布去推断总体的分布；②依据样本的统计量，去推断总体的相关量。

105 王志刚工作室 用理论指导实践 ２０．１　数据的频数分布 通过实例引入如何制作频数分布直方图，并给出频数（频率）的概念．

106 王志刚工作室 用理论指导实践 ２０．２　数据的集中趋势与离散程度 研究集中趋势的统计量时，首先是“平均”．通过实际情景，提出用平均数刻画一组数据的必要性，引入平均数的计算公式，接着由平均数计算的局限性提出加权平均数的必要性，引入加权平均数的计算公式．现实生活中的数据往往是比较繁杂的，为了计算的方便与快捷，介绍了用计算器计算平均数． 接着介绍“中位数与众数”．通过一个有争议的实际问题，引发学生对平均数应用的局限性产生认识冲突，从而引入中位数、众数的概念，引导学生逐步了解平均数、中位数、众数之间的差别，初步体会它们在不同情景中的应用特征．

107 王志刚工作室 用理论指导实践 ２０．２　数据的集中趋势与离散程度 研究离散程度统计量时，重点只介绍方差．通过实际问题的情景，让学生感受到：虽然两组数据的“平均水平”相近，但在实际问题中的具体意义有着千差万别．通过对数据差异的分析，逐步抽象出刻画数据离散程度的特征量———方差． 现代信息技术是处理统计数据的重要手段，为此教科书安排了用Ｅｘｃｅｌ求方差的选学内容．用计算器求数据的方差的方法，大大提高了计算速度，增强了学生学习的兴趣．

108 王志刚工作室 用理论指导实践 ２０．３综合与实践 通过实际问题情景，让学生体会用样本去估计总体的统计思想．

109 本章的重点和难点 重点： ①能根据所提供或收集的信息，熟练求出一组数据的频数分布及平均数（中位数、众数，理解并会计算加权平均数）；
王志刚工作室 用理论指导实践 本章的重点和难点 重点： ①能根据所提供或收集的信息，熟练求出一组数据的频数分布及平均数（中位数、众数，理解并会计算加权平均数）； ②熟练求出方差； ③会用样本去估计总． 难点：体会用样本去估计总体的统计思想。

110 王志刚工作室 用理论指导实践 　四、本册教学中应注意的问题

111 （一）准确把握课程标准的要求， 理解数学实质
王志刚工作室 用理论指导实践 （一）准确把握课程标准的要求， 理解数学实质 以函数为例加以说明

112 《课标（２０１１年版）》对“函数”概念的教学要求
王志刚工作室 用理论指导实践 《课标（２０１１年版）》对“函数”概念的教学要求 ①了解常量、变量的意义； ②了解函数的三种表示法； ③利用图象进行分析； ④函数的自变量取值范围； ⑤能用适当的表示法刻画简单变量间的关系； ⑥能用函数关系分析变量变化情况。

113 促进学生对函数概念本质的理解 突出函数是刻画现实世界变化规律的基本模型
王志刚工作室 用理论指导实践 促进学生对函数概念本质的理解 突出函数是刻画现实世界变化规律的基本模型 教材的编写意图之所在

114 王志刚工作室 用理论指导实践 教学中要有效利用教科书中学生熟悉的实例（必要时增加实例），用列表、图象、解析式等方式组织材料，引导学生归纳相关结论，使学生建立起对变量之间变化情况的直观感受，同时非常自然地认识到对于变量之间变化的三种表示形式． 让学生经历函数概念的“发生发展过程”，为学生提供独立概括概念的机会，归纳出函数概念“单值对应”的内涵．在此基础上，再“举一反三”，用得到的函数概念检验其他的对应问题是不是“单值对应”．

115 同时，需要的时候恰当使用反例，巩固学生对函数概念的理解．
王志刚工作室 用理论指导实践 同时，需要的时候恰当使用反例，巩固学生对函数概念的理解． 常量是相对于某一过程或另一个变量而言的，要帮助学生认识常量与变量这一辩证关系．最好举出各种实例，但是随着二次函数和高中函数内容的学习，学生会加深理解，对这一问题，教学中不可提出过高要求． 《课标（２０１１年版）》对函数概念的教学要求中，同时也提出克服这一学习难点的方法，如在第③项中，提出“用图象分析”变量间的变化情况．可见“数形结合”的思想方法是教学内容，也是分析函数的工具． 教学中要注意有效运用这种方法，分析变量间的变化情况和函数的性质，化解学习难点，还能积累学生解决问题的方法策略的数学学习经验．

116 王志刚工作室 用理论指导实践 教科书上给出的函数的三种表示方式各有其特长：解析式能准确地揭示函数的对应关系，表格能直接得到对应的数据，而图象能直观地表达函数的性质和变化趋势． 通常，在学生的头脑中，函数的表示主要使用表达式，但实际上各种表示（语言的、图象的、表格的、符号的）之间的相互转换，可以加深学生对函数概念的理解． 教科书上给出一次函数的图象、分段函数的图象以及无法写出表达式的函数图象；当给出列表数据或是给出表达式时，能够比较准确地画出图象，包括实际问题中的函数图象，这些对于学生形成正确的函数概念具有相当重要的意义．

117 在一次函数中，一次方程和一次不等式分别是函数的零点和非零点．教科书中介绍这部
王志刚工作室 用理论指导实践 在一次函数中，一次方程和一次不等式分别是函数的零点和非零点．教科书中介绍这部 分内容，展现了从函数图象入手进行分析的方法．直线（y=kx＋b的图象）被x轴分成三部分，这三部分图象的代数表示分别是相应的一元一次方程（kx＋b＝０）和一元一次不等式（kx＋b＞０或kx＋b＜０），教学中重点在于这种分析方法的展现和分析结论的得出，用图象法得出相应的方程的解和不等式的解仅是它的副产品．

118 王志刚工作室 用理论指导实践 教材１２．３中将一次函数与二元一次方程建立联系．教学的重点在于通过“数形结合”的方式，概括出一次函数y＝kx＋b（k≠０）与相应的二元一次方程kx－y＝－b是一回事，从而，正确落实了《课标（２０１１年版）》中“体会一次函数与二元一次方程的关系”这一教学要求． 教学中通过恰当的归纳和示范，使学生理解知识，掌握技能，积累经验，感悟思想．用图象法解二元一次方程组只是它的副产品，因此“二元一次方程组的图象解法”的重要性就次之了． 教科书对演绎推理能力的培养的设计是针对学生的知识水平和思维水平的阶段性特点，分阶段、分层次逐步深入和完成的，教学中一定要把握要求，不能不分层次一步到位．

119 （二）．以联系为纽带，注重学生对基础知识与基本技能的理解与掌握
王志刚工作室 用理论指导实践 （二）．以联系为纽带，注重学生对基础知识与基本技能的理解与掌握

120 数学知识的教学、学习，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，注意知识的结构体系和知识间的联系，搭建有利于学生学习新知的“阶”．
王志刚工作室 用理论指导实践 数学知识的教学、学习，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，注意知识的结构体系和知识间的联系，搭建有利于学生学习新知的“阶”． 如“平面直角坐标系”的引入类比“数轴”； 在“三角形边角关系”的学习中，先搭建三角形的基本元素（角，边），进而分别从边、角的角度研究它的图形性质，得出对三角形的分类，再看三个角是否有数量关系，最后综合边和角的研究，得角的大小与对应的边的大小的关系． 理解知识的系统和知识间的联系，教学时就能设置恰时恰点的问题，引导学生自然进入探究新知的情境中，学生带着兴趣和好奇主动去学习，其效果将大大提高．

121 学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，在知识的应用中不断巩固和深化．
王志刚工作室 用理论指导实践 学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，在知识的应用中不断巩固和深化． 教学中，教师应注重教学知识与学生的生活经验的联系，组织学生开展画图、剪拼、叠合等操作活动，引导学生观察、分析、抽象概括、运用知识进行判断 ．如“全等三角形”的几个判定定理的猜想，轴对称图形的性质，等腰三角形、线段垂直平分线、角平分线性质的得出，要引导学生经历操作、比较、猜想、抽象与概括的过程，既理解知识，又感悟探究数学问题的一般程序和方法．

122 王志刚工作室 用理论指导实践 “几何直观”

123 “几何证明” 本册教科书从第１３章开始对“几何证明”提出正式明确的要求，关注证明基本方法和要求的教学．
王志刚工作室 用理论指导实践 “几何证明” 本册教科书从第１３章开始对“几何证明”提出正式明确的要求，关注证明基本方法和要求的教学． 要让学生明白，证明一个几何命题，首先要明确其条件和结论，能够根据题意画出图形，用数学语言正确地写出已知、求证；证明过程中每一步推理都要有根据，不能“想当然”，推理证明的根据，可以是已知条件，也可以是定理、公理和已经证明的定理； 推理的过程应该逻辑有序，简洁流畅，层次分明．

124 王志刚工作室 用理论指导实践 “几何证明” 突出对证明思路分析的教学．对于简单的几何命题，证明思路往往比较直接，只要学生能够根据证明步骤和格式写出证明过程即可．而对于一些涉及辅助线和需要通过转化实现目的的证明题来说，则需要加强对证明思路和方法的分析，帮助学生分析辅助线添加的方法，探究转化的途径，并且通过一些典型问题，逐步培养学生的分析探索能力． 数学需要证明，养成对客观事物和结论追根究源的习惯有助于我们深刻地了解事物本质，这也是几何教学的目标之一． 教学中，我们要培养学生推理证明的意识．一方面我们看学生对错误的结论是否有通过举反例说明其不正确的意识，另一方面我们看学生在证明一个正确命题（公理除外）时，证明过程是否严格规范、步步有据．

125 （三）．利用教科书素材，培养学生应用数学知识解决问题的意识和实践能力
王志刚工作室 用理论指导实践 （三）．利用教科书素材，培养学生应用数学知识解决问题的意识和实践能力

126 王志刚工作室 用理论指导实践 知识的应用就是运用所学知识解决问题。函数是解决现实世界问题的基本模型，教学中要充分挖掘教材中提供的素材的应用背景，有意识地引导学生在运用函数知识解决相关问题的过程中，养成提出问题、发现问题、分析问题和解决问题的意识，并提高学生的数学创造力。

127 王志刚工作室 用理论指导实践 为了拓展学生的视野、拓宽学生的思路和培养学生的创新意识和实践能力，教科书还设置了“阅读与思考”“综合与实践”等内容，提供给学生阅读、实践操作、抽象出数学问题、用数学符号表示而建立数学模型后，再回到实践去检验，确认模型的正确性．学生在不断经历和体验这一系列数学活动过程中，积累数学活动经验．

128 例如：综合与实践“一次函数模型的应用” 学习一次函数内容后，设计了综合与实践“一次函数模型的应用”．
王志刚工作室 用理论指导实践 例如：综合与实践“一次函数模型的应用” 学习一次函数内容后，设计了综合与实践“一次函数模型的应用”． 教材选取了学生感兴趣的素材———奥运会男子４００米自由泳比赛成绩，提供了１９８０年至２００８年连续８届奥运会此项目的冠军成绩，要求学生根据资料估计２０１２年伦敦奥运会时该项目的冠军成绩． 这是学生第一次接触用数据模拟函数的方法来进行估计和预测，其学习难度是比较大的．

129 王志刚工作室 用理论指导实践 例如：综合与实践“一次函数模型的应用” 教学时，教师可以先引导学生观察表格，随着年份的增长，冠军成绩的变化情况———成绩在不断提高（即：数据越来越小）． 据此，学生可以估计２００８年的成绩，但是各人估计的结果不同． 寻找更合理的估计值和估计方法———这是这个活动的重点． 那么如何更加直观描述这种变化趋势呢？除了表格法外还学过哪些方式可以用来描述两个变量之间的关呢？

130 王志刚工作室 用理论指导实践 例如：综合与实践“一次函数模型的应用” 引导学生联想刚学习过的解析法或图象法．由于图象的直观性，可以用图象法来试一试，这时教师可放手让学生自己去建立合适的平面直角坐标系，尝试将每一对数据（“年份”与“成绩”）作为点的坐标描出对应点． 进一步引导学生思考能否用函数表达式来近似地描述狓与狔之间的关系．在学生观察所描点的分布情况，发现图象非常接近一条直线后，可启发学生用一次函数来近似地描述“年份”与“成绩”这两个变量之间的关系．

131 例如：综合与实践“一次函数模型的应用” 在这里是非常规的（因为不是已知两点求直线表达式）确定一次函数表达式，如何选择两点的坐标？
王志刚工作室 用理论指导实践 例如：综合与实践“一次函数模型的应用” 在这里是非常规的（因为不是已知两点求直线表达式）确定一次函数表达式，如何选择两点的坐标？ 课堂上可通过小组合作交流讨论选用哪两点更合理（近似程度更高），并根据讨论结果计算出函数表达式，然后根据建立的模型，估计２０１２年伦敦奥运会该项目的冠军成绩． 有兴趣的同学还可以上网查询２０１２年该项目冠军的实际成绩，来检验用模拟函数的办法估计该项目的成绩是否更接近也更合理，从而确认模型的正确性．

132 例如：综合与实践“一次函数模型的应用” 最后与学生共同回顾整个数学活动过程，总结出通过函数模型解决实际问题的一般步骤．
王志刚工作室 用理论指导实践 例如：综合与实践“一次函数模型的应用” 最后与学生共同回顾整个数学活动过程，总结出通过函数模型解决实际问题的一般步骤． 学生完整地经历由现实情境产生问题，寻找解决问题的步骤和合适的方法等一系列富有挑战性的活动，既巩固知识，又学习建模的思想方法和积累数学活动经验，达到提高应用数学知识解决问题的意识和实践能力的目的．——建模过程

133 函数建模的基本过程 使学生基本理解 画散点图 收集数据 选择函数模型 求解函数模型 检验模型 运用模型解释实际问题 王志刚工作室
用理论指导实践 使学生基本理解 函数建模的基本过程 画散点图 收集数据 选择函数模型 求解函数模型 检验模型 运用模型解释实际问题

134 王志刚工作室 用理论指导实践 （四）关注教材中的特色栏目 1、创设情境，提出问题

135 王志刚工作室 用理论指导实践 2、操作

136 王志刚工作室 用理论指导实践 3、交流

137 王志刚工作室 用理论指导实践 4、阅读与思考

138 王志刚工作室 用理论指导实践 5、数学史话

139 王志刚工作室 用理论指导实践 6、观察

140 王志刚工作室 用理论指导实践 7、思考

141 王志刚工作室 用理论指导实践 8、数学园地

142 王志刚工作室 用理论指导实践 9、探究

143 王志刚工作室 用理论指导实践 10、信息技术应用

144 王志刚工作室 用理论指导实践 11、综合与实践

145 （五）．注重信息技术的使用，改进教学方式和学习方式
王志刚工作室 用理论指导实践 （五）．注重信息技术的使用，改进教学方式和学习方式

146 案例：数据的初步分析 信息技术是一种有效的认知工具，能够为促进学生进行自助探究提供强有力的平台。
王志刚工作室 用理论指导实践 案例：数据的初步分析 信息技术是一种有效的认知工具，能够为促进学生进行自助探究提供强有力的平台。 通过使用信息技术，可以化抽象为直观、化静为动，可以避免繁琐的计算，呈现其他教学手段难以呈现的内容，并使教学对象得以多元化表示，使教师的教学方式和学生的学习方式得到改进，帮助学生更好地理解数学的本质，从而主动地探索和研究数学，培养学生学习数学的兴趣。

147 王志刚工作室 用理论指导实践 谢谢倾听！ 敬请指导！

148 六、关于三角形的教学 在把握三角形的教学问题上我们认为应该注意以下一些问题： 不要搞一步到位； 删减的内容不要随意补充；
王志刚工作室 用理论指导实践 六、关于三角形的教学 在把握三角形的教学问题上我们认为应该注意以下一些问题： 不要搞一步到位； 删减的内容不要随意补充； 内容顺序不要随意调整； 教辅材料不能作为教学的依据； 把更多的注意力放在核心概念、基本数学思想方法上； 注重通性通法，不追求特技。

149 课标（2011年版）提出的10个核心概念 数感、符号意识 空间观念、几何直观 数据分析观念、推理能力、运算能力 模型思想、应用意识、创新意识
王志刚工作室 用理论指导实践 课标（2011年版）提出的10个核心概念 数感、符号意识 空间观念、几何直观 数据分析观念、推理能力、运算能力 模型思想、应用意识、创新意识

150 王志刚工作室 用理论指导实践 如何提高学生的运算能力 运算能力主要是指能够根据法则和运算 律进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。 一是指运算；二是指运算能力。 运算能力不仅仅包括会算和算准确，还包括对运算本身要有理解，比如运算对象、运算的意义、算理等。

151 有一些保持了原有的名称，基本保持原有内涵
王志刚工作室 用理论指导实践 10个名称分三类 新增加的有 运算能力、模型思想、几何直观、创新意识 有一些是名称或内涵发生了变化 数感、符号意识、数据分析观念、 有一些保持了原有的名称，基本保持原有内涵 空间观念、推理能力、应用意识

152 王志刚工作室 用理论指导实践

153 王志刚工作室 用理论指导实践 分三个层次 一是体现某一内容领域 数与代数领域：数感、符号意识、运算能力 空间观念

154 图形与几何 主要内容 空间和平面基本图形的认识 图形的性质、分类、度量 图形的平移、旋转、轴对称、相似、投影 图形性质的证明
王志刚工作室 用理论指导实践 图形与几何 主要内容 空间和平面基本图形的认识 图形的性质、分类、度量 图形的平移、旋转、轴对称、相似、投影 图形性质的证明 运用坐标描述图形的位置和运动

155 王志刚工作室 用理论指导实践 主要特点 从生活到数学、从直观到抽象； 先认识图形的整体在认识图形的局部 三维、二维、一维交替出现

156 王志刚工作室 用理论指导实践 图形的度量 主要安排在第一、第二学段，包括测量或估测图形（物体）的长度、角度、面积、体积；规则图形的长度或面积的计算方法；测量单位的意义及相互之间的换算，体会建立统一度量单位的必要性。

157 王志刚工作室 用理论指导实践 图形的运动 第一、第二学段要求学生结合实例感受、辨认、初步认识图形的平移、旋转和轴对称；第三学段的图形的变化中除了进一步介绍轴对称、旋转、平移大的概念，探索它们的性质外，还包括图形的相似、位似，以及投影、视图等。

158 图形的性质 第一第二学段主要通过观察、操作、度量、实验探索发现图形的性质，图形性质的证明主要安排在第三学段。
王志刚工作室 用理论指导实践 图形的性质 第一第二学段主要通过观察、操作、度量、实验探索发现图形的性质，图形性质的证明主要安排在第三学段。 采用：探索并证明……的句式表述，以便更好地体现合情推理和演绎推理的有机结合、相辅相成。 图形性质证明的出发点是基本事实，《标准》中共列出9条基本事实，证明平行线、三角形、四边形约40个定理和推理。此外，把圆、相似形的一些定理作为选学内容。

159 王志刚工作室 用理论指导实践 图形与位置 第一学段用“上、下、左、右、前、后，东、西、南 北”等描述物体的相对位置；第二学段用方向和距离确定物体的位置，在方格纸上用数对表示位置；第三学段在“图形与坐标”中，通过建立直角坐标系，宅直角坐标系中确定图形的位置、图形经过平移、轴对称后的位置及对应顶点坐标之间的关系，用方位角和距离刻两个物体的相对位置。

160 1、充分考虑学生的认知基础，有适当关注数学自身体系和要求；
王志刚工作室 用理论指导实践 基本事实和证明 1、充分考虑学生的认知基础，有适当关注数学自身体系和要求； 2、知道证明的意义和必要性：本质是阐述的是合情推理和演绎推理的关系：合情推理可以发现结论，但结论不一定正确，通过演绎推理才能确认其正确与否，因而证明是必要的。 3、标准要求学生：知道证明的过程可以有不同的形式。证明图形性质时，常用的表达形式是简化的三段论，但它不是唯一的表达形式。比如用图形的运动的方法证实图形的性质，或用反证法证明命题，通常采用语言叙述的方式表达过程。

161 尺规作图与图形的性质的证明以及某些计算问题有着内在的联系。
王志刚工作室 用理论指导实践 尺规作图 内容增加，并要求了解尺规作图的道理。 尺规作图不能仅仅看成是操作，实际上它是在某些条件下图形是否存在（可用作出——存在性）、是否唯一(可以确定——唯一性）的命题。 尺规作图与图形的性质的证明以及某些计算问题有着内在的联系。 比如：已知两角夹边、两边夹角、三边可以作出唯一的确定的三角形，这与判断两个三角形的全等的“ASA、SAS、SSS”在本质上是一致的。 “了解作图道理”实质就是知道如何“证明”所作的图形符合要求。事实上，有些不同类型的尺规作图，其“道理”可能是相同的，例如：作一个角的平分线、过一个已知点作已知直线的垂线、作一条线段的垂直平分线作图的本质都是：作图过程都是构造等腰三角形，道理都是线段垂直平分线的判断或等腰三角形的性质。

162 直角坐标系 王志刚工作室 标准把有关直角坐标系的内容安排在”图形与坐标”里，这样设计能更好地体现“数”与“形”两者之间紧密的联系。
用理论指导实践 直角坐标系 标准把有关直角坐标系的内容安排在”图形与坐标”里，这样设计能更好地体现“数”与“形”两者之间紧密的联系。 标准在二学段要求“能在方格纸上用数对（限于正整数）表示位置，知道数对与方格纸上的点对应”；第三学段从“从结合实例进一步体会有序数对可以表示物体的位置”入手顺理成章地引入直角坐标系 并要求子给的的直角坐标系中“能根据坐标系描出点的位置、由点的位置写出它的坐标”，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置，进而在直角坐标系中运用坐标描述图形的运动。 比如：知道关于坐标轴对称的点的坐标之间的关系，有助于学生学习二次函数图形的画法，以及判断函数图形是否关于轴对称；又如：知道一个已知点沿坐标轴方向平移后的坐标，以及平移后前后两点坐标之间的关系，有助于学生掌握一次函数以及二次函数图形直接的关系。 锐角三角函数的内容安排在这里，因为总监三角型的边与边的比值，随锐角大小的变化而变化、确定而唯一，所以“利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数也顺理成章，这样安排可以降低学生学习的难度”‘

163 应当注重发展学生的空间观念、几何直观、推理能力、应用意识和创新意识。
王志刚工作室 用理论指导实践 课程实施的几点建议 应当注重发展学生的空间观念、几何直观、推理能力、应用意识和创新意识。 1、发展学生的空间观念要重视从实物到图形的抽象、二维平面与三维空间的转化；要重视“视图”、“图形的投影”、“直棱注、圆锥的侧面展开图”等课程内容的教学；要开展形式多样的教学活动（比如：交流生活经验、观察实物、动手操作、描述和表示图形、想象等）；要循序渐进、螺旋上升，在第一第二学段中，学生借助生活情境知道一些有关图形的知识，随着学生观察、操作、语言表述和探究能力的提高，第三学段应引导他们从现状、特征、方位、关系等多种角度，通过变换、运动等手段，更好地理解空间、把握空间。

164 王志刚工作室 用理论指导实践

165 借助几何直观研究问题的流程 抽象 转化 转化 王志刚工作室 用理论指导实践 研究对象 对象之间的关系 研究问题 图形 图形之间的关系
图形的数量或位置关系 抽象 转化 转化

166 王志刚工作室 用理论指导实践 案例 探索： “n个人中每两个人我一次手，一共我几次手”

167 归纳的方法 从特殊到一般 2个人——1次=1 3个人——3次=1+2 4个人——6次=1+2+3 5个人——10从=1+2+3+4 ……
王志刚工作室 用理论指导实践 归纳的方法 从特殊到一般 2个人——1次=1 3个人——3次=1+2 4个人——6次=1+2+3 5个人——10从= …… N个人——猜想=1+2+3+…+（n-1)

168 把“n个人”抽象成“n个点A1、A2、A3、…，An-1,An”，“每两人握一次手”抽象为“每两点之间连接一条线段”（以A1为例，如图）
王志刚工作室 用理论指导实践 利用图形与直观 把“n个人”抽象成“n个点A1、A2、A3、…，An-1,An”，“每两人握一次手”抽象为“每两点之间连接一条线段”（以A1为例，如图） A5 A4 An-1 A3 An A2 A1

169 推理能力 推理能力：合情推理、演绎推理推理能力的发展贯穿于整个数学学习的过程中。应当注重全面，协调地发展学生的推理能力。 王志刚工作室
用理论指导实践 推理能力 推理能力：合情推理、演绎推理推理能力的发展贯穿于整个数学学习的过程中。应当注重全面，协调地发展学生的推理能力。

170 建议 1、要自始至终重视运用合情推理的方法探索图形的性质。 和其他了是从已有的事实出发，借助经验和直觉，运用归纳和类比的方法探索、发现结论。
王志刚工作室 用理论指导实践 建议 1、要自始至终重视运用合情推理的方法探索图形的性质。 和其他了是从已有的事实出发，借助经验和直觉，运用归纳和类比的方法探索、发现结论。 从某种意义上将，“发现”是创造的前提，发现和提出问题是事物发展的原动力。在几何与图形的教学中注重引导学生通过合情推理探索、发现图形的性质，有助于增强学生发现和提出问题的能力。课标在图形的性质中较多地采用“探索与证明……定理”的句式表达，对此教学中应当认真落实，不应该削弱甚至取消探索活动，只重视演绎推理的证明。

171 王志刚工作室 2、在发展学生合情推理能力的同时，要遵循小步子、多层次的原则，由易到难地逐步发展学生的演绎推能力。
用理论指导实践 2、在发展学生合情推理能力的同时，要遵循小步子、多层次的原则，由易到难地逐步发展学生的演绎推能力。 在起始阶段可结合线段的中点、角平分线等概念，用“因为……所以……”的句式运用这些概念进行判断。 在探索发现“余角、补交、对顶角”的性质以及“直线平行的条件、平行线的性质”后，可以用“因为……所以……理由是…….”的表述方式进行简单推理，此时必须要求学生做到“言必有据”。 在开始学证明时，应当用实例说明合情推理得到的结论有时不是深入、不全面甚至是错误的，从而引导学生感悟“证明”的必要性；然后以典型定理（三角形内角和定理）的证明为例，完整地 呈现 形式化的三段论的全过程。此时应当要求学生知道：每个三段论证都应当包括因、果、有因到果的理由三个部分，以保证学生的思维有条有理，符合逻辑。

172 图形的全等的教学 可以从以下几个方面设计“证明”的教学 1、判断两个三角形全等，直接可用的条件由多到少； 论证由一次全等过渡到两次全等；
王志刚工作室 用理论指导实践 图形的全等的教学 可以从以下几个方面设计“证明”的教学 1、判断两个三角形全等，直接可用的条件由多到少； 论证由一次全等过渡到两次全等； 图形由简单到复杂； 论证的结论由全等递进到边或角相对，两线平行或垂直； 不需要添加辅助线过渡到需要添加常见辅助线； 从命题以图形符合语言形式给出到以文字语言给出。 这样就较为集中地进行演绎推理的教学，且层次分明、坡度平缓，就能引导学生“拾级而上”。 2、在四边形的教学中继续不断发展学生的演绎推理能力。

173 注重合情推理、演绎推理以及图形的运动有机结合
王志刚工作室 用理论指导实践 注重合情推理、演绎推理以及图形的运动有机结合

174 王志刚工作室 用理论指导实践 拓展学生的推理能力的领域和空间

175 王志刚工作室 用理论指导实践 把握好证明依据和要求

176 王志刚工作室 用理论指导实践 重视发展学生的应用意识和创新意识