第六章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 一、空间直角坐标系 二、向量与向量的线性运算 三、向量的坐标表示式

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1 第六章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 一、空间直角坐标系 二、向量与向量的线性运算 三、向量的坐标表示式
第一节 向量及其线性运算 一、空间直角坐标系 二、向量与向量的线性运算 三、向量的坐标表示式 四、用坐标表示向量的模和方向余弦

2 一、空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系. z o y x 空间直角坐标系

3 Ⅲ 面 面 Ⅱ Ⅳ Ⅰ 面 Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ 空间直角坐标系共有八个卦限

4 空间的点 有序数组 特殊点的表示: 坐标轴上的点 坐标面上的点

5 两点间的距离公式

6 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为

7 同理可得，点 到 轴和 轴的距离分别为 其中 分别是点 在 轴和 轴上的投影。

8 例 2 在 轴上求与点 等距离的点。 解 因为所求的点在 轴上，故可以设它为 依题意有 即有 解得 因此，所求的点为

9 二、向量与向量的线性运算 1、向量的概念 向量： 既有大小又有方向的量. 向量表示： 或 向量的模： 向量的大小. 或 单位向量：
模长为1的向量. 或 零向量： 模长为0的向量.

10 自由向量： 不考虑起点位置的向量. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量. 负向量： 大小相等但方向相反的向量.

11 2、向量的线性运算 1、向量的加减法 [1] 加法： （平行四边形法则） （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 特殊地：若 ‖
分为同向和反向

12 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3） [2] 减法

13 向量与数的乘法

14 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律： 两个向量的平行关系

15 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.

16 例3 已知平行四边形ABCD的对角线向量为 ， ,试用向量a和b表示向量
解 设 的交点为O（图），由于平 行四边形对角线互相平分，故

17

18 三、向量的坐标表示式 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式

19 向量的坐标表示 如图所示：

20 四、用坐标表示向量的模和方向余弦 1、向量的模 设向量 向量模长的坐标表示式

21 2、方向余弦 空间两向量的夹角的概念： 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.

22 非零向量 的方向角： 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.

23 由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向.

24 向量方向余弦的坐标表示式 当 时，

25 方向余弦的和 特殊地：单位向量的方向余弦为

26 例4 已知点 求向量 的模、方向余弦及与 方向相同的 单位向量. 解 由（2）式和（3）式，得 故

27 由（11）式知，向量 是与a方向 相同的单位向量，所以与 方向相同的单位 向量为

28 例5 设向量 的方向角 为锐角， 且 求 向量的坐标表示式 解 因为 于是有 故

29 所以，向量 的坐标表示式为 例6 设向量 解 因为 ,故由（8）式，得 即 所以

30 练 习 题

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32 练习题答案