常用逻辑用语、框图（文）、不等式选讲 教学指导意见解读

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1 常用逻辑用语、框图（文）、不等式选讲 教学指导意见解读
常用逻辑用语、框图（文）、不等式选讲 教学指导意见解读 象山三中 胡庆彪

2 一.《常用逻辑用语》 (一)教育价值 逻辑规矩有方圆, 当且仅当令如山, 或者婉言容选择, 充分游刃天地宽.
数学内容表达，命题之间关系，命题成立条件，都离不开逻辑用语。 日常生活中，为使表达更加准确、清楚、简捷，要用一些逻辑用语 。 学习逻辑用语，体会在表述和论证中的作用，从而更好地进行交流。 逻辑规矩有方圆, 当且仅当令如山, 或者婉言容选择, 充分游刃天地宽.

3 (二)内容设计要求与依据 《大纲》里讲的是简易逻辑，是简易数理逻辑。 《标准》所讲的是一种常用的逻辑语言及应用。
学习逻辑用语的目的不是学习数理逻辑的有关知识。 学习逻辑用语： 掌握常用逻辑用语的用法； 纠正出现的逻辑错误； 体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性； 应避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释； 不要求使用真值表。

4 (三)课时安排（8课时） 1.1 命题及其关系（2课时） 1.2 充分条件与必要条件（2课时） 1.3 简单的逻辑联结词（1课时）
1.1 命题及其关系（2课时） 1.2 充分条件与必要条件（2课时） 1.3 简单的逻辑联结词（1课时） 1.4 全称量词与存在量词（2课时） 小结 （ 1课时）

5 (四)教学说明 1.1 命题及其关系（2课时） 重点：了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，理解四种命题之间的相互关系。
1.1 命题及其关系（2课时） 重点：了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，理解四种命题之间的相互关系。 难点：四种命题的转化，利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假。 本节教学应强调的几个问题： 1.对“命题”的要求 (1)命题是能够判别真假的陈述句; (2)只讨论明确地给出条件和结论的命题。 2.对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”的要求 (1)对概念只作一般性的了解。 (2)重点关注四种命题之间的相互关系。 (3)举例时宜举一些学生学过的熟悉的命题. (4)只有“若…则…”形式的命题才能有四种命题. (5)不必涉及复杂的命题转写逆命题、否命题及逆否命题的问题。 (6)应理解互为逆否命题的两个命题等价.

6 1.2 充分条件与必要条件（2课时） 重点：理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，结合具体命题，掌握判断必要条件、充分条件与充要条件。
1.2 充分条件与必要条件（2课时） 重点：理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，结合具体命题，掌握判断必要条件、充分条件与充要条件。 难点：三种条件的判别与证明。 本节教学应强调的几个问题： (1)对学生的要求有一个逐步提高的过程; (2) p是q的充分条件表明有p必有q，但没有p也有可能有q; (3) q是p的必要条件表明没有q就没有p，但有q未必有p; (4) p是q的充要条件表明p对于q而言，充分性和必要性同时成立; (5)应多举实例充分说明必要条件、充分条件、充要条件的判别。 (6)关于充要条件的证明只要求对一些简单命题举例说明。

7 1.3 简单的逻辑联结词（1课时） 重点：了解简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义并用其正确表述数学内容。
1.3 简单的逻辑联结词（1课时） 重点：了解简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义并用其正确表述数学内容。 难点：正确地用逻辑联结词表达数学内容。 本节教学应强调的几个问题: (1) 可联系串联、并联电路，帮助学生理解“且”、 “或” ； (2)两个命题可以通过“或”或“且”连接起来，得到一个新命题； 在一个命题前加“非”，得到的又是一个新命题; (3)作为逻辑联结词的“或”与作为一般连词的“或”有区别; (4)命题”若p则q”中的p,q与命题”p且q”、”p或q”、”非p”中的p,q有时不同; (5)命题的否定与否命题不同. (6)对含有逻辑联结词的命题的否定不作要求 (7)本模块要求的是常用逻辑用语，不是简易数理逻辑。 (8)本节主要是让学生学会用这些逻辑联结词有效地表达相关的数学内容。 (9)通过阅读材料认识“且”、“或”、“非”与集合的“交”、“并”、“补”的关系。

8 1.4 全称量词与存在量词（2课时） 重点：理解全称量词与存在量词的意义并用其符号准确表示有关数学内容。会判断全称命题和特称命题的真假。
1.4 全称量词与存在量词（2课时） 重点：理解全称量词与存在量词的意义并用其符号准确表示有关数学内容。会判断全称命题和特称命题的真假。 难点：能正确对含有一个量词的命题进行否定。 本节教学应强调的几个问题： (1)只要是表示全体的量词，不管怎么叙述，都是全称量词; (2)只要是表示存在的量词，不管程度多大，都是存在量词; (3)同一个数学关系式前冠以不同的量词，命题的属性也随之不同; (4)要通过实例，掌握判定全称命题与特称(存在性)命题真假的方法; (5)应形式化地把握”对含有一个量词的命题进行否定”的特征: “∀x∈M,p(x)”的否定为 “∃x∈M,¬p(x)” (6)有些命题从表面上看不含有量词，应挖掘其隐含的量词.

9 常用的正面词语与它的否定词语 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 都不是 否定 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 至少有一是 至多有一
任意的 所有的 至多有n个 任意两个 至少有两个 一个也没有 某个 某些 至少有n+1个 某两个

10 二.《框图》 (一)教育价值 纸上谈兵岂必输，瞻前顾后免莽鲁。 欲兴土木先放样，未动笔墨已成竹。 流程通达多胜算，结构井然不糊涂。
框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示。 框图的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系。 框图已经广泛应用于算法、计算机程序设计、工序流程的表述、设计方案的比较等方面。 框图是表示数学计算与证明过程中主要逻辑步骤的工具，并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方式。 纸上谈兵岂必输，瞻前顾后免莽鲁。 欲兴土木先放样，未动笔墨已成竹。 流程通达多胜算，结构井然不糊涂。 小事大事天下事，若要了然画一图。

11 (二)课时分配 《标准》中的框图内容主要包括“流程图”和“结构图”。 课时分配：(共6个课时) 流程图 约3课时 结构图 约2课时
流程图 约3课时 结构图 约2课时 小结 约1课时

12 (三)教学说明 4.1 流程图 重点：学会绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用。 难点：绘制简单实际问题的流程图。
4.1 流程图 重点：学会绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用。 难点：绘制简单实际问题的流程图。 本节教学可分为两步实现： 一是通过读图，认识流程图； 二是结合简单的具体问题学会绘制流程图。 大致过程： 1.联系算法，复习旧知，引出概念； 2.通过读图，体会优越，揭示特征 ； 3.尝试用图，组织交流，学会绘制。 4. 问题探究，解法流程，了解建模 。

13 4.2 结构图 重点：运用结构图梳理已学习过的知识、整理收集到的资料信息，体会结构图在揭示事物联系中的作用。
4.2 结构图 重点：运用结构图梳理已学习过的知识、整理收集到的资料信息，体会结构图在揭示事物联系中的作用。 难点：运用结构图梳理已学习过的知识、整理收集到的资料信息。 本节教学分二步完成： 一是通过读图，认识结构图， 二是联系实际，学会绘制结构图. 结构图与流程图之比较 1.流程图可以用来表示具有时间特征的动态过程； 2.结构图可以描述系统或组织的结构。 3.流程图通常会有一个“起点”，一个或多个终点，其基本单元之间由流程给予连接； 4.结构图更多地表现为“树”形结构，其基本要素之间一般为概念上的从属或逻辑上的先后关系。 5.两者都是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它们能够表达比较复杂的系统各部分之间的关系，是表达和交流的有力工具。

14 三.不等式选讲 天不均匀地不平，风云变幻大江东。 方法荟萃凭君选，实际应用造化功。 柯西排序贝努利，无愧经典堪绝伦。
从头细说不等式，几何背景助入门。

15 第一讲 不等式和绝对值不等式 重点：不等式的基本性质、基本不等式及其应用、绝对值三角不等式。
第一讲 不等式和绝对值不等式 重点：不等式的基本性质、基本不等式及其应用、绝对值三角不等式。 难点：三个正数的算术—几何平均不等式及其应用，绝对值不等式的解法。 课时分配（4课时）: 一 . 不等式( 2课时)； 二 . 绝对值不等式(2课时)。 本讲教学应强调的几个问题: 1.第一部分（不等式的性质和基本不等式）应以复习为主 。 (1) 要让学生会用自己的语言叙述“不等式的基本性质” ； (2)对基本不等式的研究，可以进一步介绍它的几何解释并把它推广(三维）； (3)对于一般形式的均值不等式，只需作简单介绍。 2.第二部分(绝对值不等式)应充分利用绝对值的几何意义。 (1)利用数形结合引导学生多角度认识三角不等式，逐步深化对它的理解 ； (2)会利用绝对值不等式解决形如y=｜x-a｜+｜x-b｜的函数的极值问题； (3)对解含绝对值的不等式，主要讨论以下类型: ｜ax+b｜≤c或｜ax+b｜≥c; ｜x-a｜+｜x-b｜ ≤c或｜x-a｜+｜x-b｜ ≥c. (4)通过上述两类不等式的解法的教学，使学生能掌握解含有绝对值的不等式 的一般思想和方法.

16 第二讲 证明不等式的基本方法 重点：用比较法、分析法、综合法证明不等式。 难点：用反证法、放缩法证明不等式的思考过程。 课时分配（5课时）
一、比较法 课时 二、综合法与分析法 课时 三、反证法与放缩法 课时 本讲教学应强调的几个问题: 1.本节教学重在理解这些不等式证明的数学思想与使用策略。 2. 比较法教学中，应让学生理解“作差比较”和“作商比较”的联系和区别。. 3.综合法与分析法教学中，应使学生理解两法之间的区别和联系。 4.反证法教学中，要让学生明白为什么要用反证法，假设命题不成立的意义是什么，如何寻找矛盾。 5.放缩法教学中可以增加一些简单的可利用放缩证明的不等式，让学生慢慢体会放缩法的价值，并悟出一些基本的放缩原则，逐步掌握放缩法。 6.不对恒等变换的难度特别是一些技巧作更多的要求。 第二讲 证明不等式的基本方法

17 第三讲 柯西不等式与排序不等式 重点：理解柯西不等式和排序不等式的数学意义、几何背景及其在不等式证明中的简单应用。
第三讲 柯西不等式与排序不等式 重点：理解柯西不等式和排序不等式的数学意义、几何背景及其在不等式证明中的简单应用。 难点：如何构建这两个不等式的模型来证明其它不等式。 课时分配：一、柯西不等式 （2课时）；二、排序不等式（ 2课时）。 本讲教学应强调的几个问题: 1.本节诸多不等式呈现次序是: 二维形式的柯西不等式→向量形式的柯西不等式→二维形式的三角不等式→柯西不等式的一般形式→一般形式的三角不等式;排序不等式。 2.证法有：配方法; 向量法；几何（三角形）法。 3. 柯西不等式应用要突出观察模型、构造模型。 4. 排序不等式的教学时，可展示 “探究—猜想—证明—应用”的研究过程。 5.一些重要的不等式可以借助排序不等式得到简洁的证明。 6.柯西不等式和排序不等式是新增内容，在教学中一定要控制好难度。

18 第四讲 数学归纳法证明不等式 重点：理解数学归纳法的意义，掌握用数学归纳法证明的基本步骤，能利用数学归纳法证明简单的不等式和其它和自然数有关的命题。 难点：用数学归纳法证明不等式。 课时分配 一、数学归纳法 ( 2课时); 二、用数学归纳法证明不等式(2课时) ; 三、学习总结报告( 1课时) 本讲教学应强调的几个问题: 1. 先让学生感觉寻找一种“用有限的步骤处理无限多个对象的方法”之必要; 2.通过实例，直观感受数学归纳法的模型，再明确提出数学归纳法的意义。 3.通过例题的教学，明确方法、基本结构和应注意的问题。 4.通过例题的教学，进一步明确证明的思路和基本步骤。 5.通过例题的教学，使学生体会到数学归纳法也是证明不等式的重要方法 。 6.贝努利不等式是一个重要的不等式，在教学中应对它进行必要的说明。 7不要选择那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题。