第五章 积分论 第三节 Lesbesgue积分的极限定理.

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1 第五章 积分论 第三节 Lesbesgue积分的极限定理

2 1.Levi逐项积分定理 若fn(x)为E上非负可测函数列， f(x) 说明：小于等于显然成立， 因为fn(x)总在f(x)的下方,
cf(x) 只要证明大于等于，但一般而 言fn(x)不会跑到f(x)上方,所以 我们有必要先把f(x)下移一点。 注意：当fn(x)一致收敛f(x)时， fn(x)才会整体跑到f(x)上方。

3 证明：由条件知fn(x)为E上非负可测函数递增列，
Levi逐项积分定理的证明 证明：由条件知fn(x)为E上非负可测函数递增列， 有定义，且从函数列的渐升性知道 下证大于等于号 引理1：设{En}是递增集列， 是Rn上的非负可测简单 函数，则 引理2：设f(x)是E上的非负可测函数，A是E中可测子集，则

4 证明：令c满足0<c<1， 是Rn上的非负可测 简单函数，且
Levi逐项积分定理的证明 证明：令c满足0<c<1， 是Rn上的非负可测 简单函数，且 f(x) fn(x) 则{En}是递增集列， φ(x) cφ(x) 由引理1知

5 Levi逐项积分定理的证明 于是从（应用引理2） f(x) φ(x) cφ(x) fn(x) 再由的积分定义知

6 若fn(x)为E上非负可测函数列， f(x) fn+1(x) 积分的几何意义（函数非负）： fn(x) 单调增集列测度的性质
对Levi逐项积分定理的说明 若fn(x)为E上非负可测函数列， f(x) fn+1(x) 积分的几何意义（函数非负）： fn(x) 单调增集列测度的性质

7 2.Lebesgue逐项积分定理（级数形式）
若fn(x)为E上非负可测函数列， 则 对比:积分的线性 (有限个函数作和) 然后利用Levi逐项 积分定理即可 对应于测度的可数可加性

8 例 试求 为非负连续函数，当然为非负可测函数， 定理：若f(x)在[a,b]上Riemann可积，则f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，且

9 例 则 为非负连续函数，当然为可测函数， 从而由Lebesgue逐项积分定理知： 从而结论成立

10 3.积分的可数可加性 若f(x)在 （En可测且两两不交） 上非负可测或可积，则 逐项积分定理即可 对应于测度的可数可加性
Lebesgue逐项积分定理是关于被积函数 积分的可数可加性是关于积分区域 若f(x)在 （En可测且两两不交） 上非负可测或可积，则 然后利用Lebesgue 逐项积分定理即可 对应于测度的可数可加性

11 推论：在一零测度集上改变函数的取值，不影响其可积性且积分值不变
注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性 即： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可积，则g(x)在E上也可积且 证明：令E 1= E[f≠g]， E 2= E[f=g]，则m E1=0 从而

12 解：令Gn为Cantor集P的余集中长度为1/3n的构成区间的并，由条件知f(x)是[0,1]上的非负可测函数，根据积分的可数可加性知
例 设[0,1]上的函数f(x)在Cantor集P上定义为0，在Cantor集余集中长度为1/3n的构成区间上定义为n(n=1,2,3，…) ，求f(x)在[0,1]上的Lebesgue积分值 解：令Gn为Cantor集P的余集中长度为1/3n的构成区间的并，由条件知f(x)是[0,1]上的非负可测函数，根据积分的可数可加性知

13 4.Fatou引理 若fn(x)为E上非负可测函数列，则 积分定理即可 若fn(x)为E上非负可测函数列， 然后利用Levi逐项

14 注：fn(x)为E上非负可测函数列且一致收敛到0.
注：严格不等号可能成立 1/n n 注：fn(x)为E上非负可测函数列且一致收敛到0.

15 5.Lebesgue控制收敛定理 设fn(x)为E上可测函数列， a.e.于E， 且存在非负可积函数F(x)，使得|fn(x)| ≤F(x) a.e. 于E， 则f(x)在E上可积且 证明：显然f(x)为E上可测函数 （可测函数列的极限函数是可测函数） 且由|fn(x)| ≤F(x) a.e.于E，知|f(x)| ≤F(x) a.e.于E， 所以fn(x)， f(x)都为E上可积函数

16 知F(x)±fn(x)≥ 0 a.e.于E，由Fatou引理知
Lebesgue控制收敛定理的证明 由|fn(x)| ≤F(x) a.e.于E， 知F(x)±fn(x)≥ 0 a.e.于E，由Fatou引理知 又F(x)可积，从而

17 例 试求 则fn(x)为可测函数且 从而Lebesgue控制收敛定理知：