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7.8 机械能守恒定律
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考点知识梳理
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“只有重力和弹力做功”这一条件可理解为包含下列两种情况；①只受重力或弹力；②除重力和弹力外，其它力不做功（或其它力做功的代数和为零）。
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(3)对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等问题，除非题目特别说明，机械能必定不守恒，完全非弹性碰撞过程机械能也不守恒。
5．判断机械能是否守恒的方法 (1)用做功来判断：分析物体或物体受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其它力做功的代数和为零，则机械能守恒。 (2)用能量转化来判定：若物体系中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其它形式的能的转化，则物体系统机械能守恒。 (3)对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等问题，除非题目特别说明，机械能必定不守恒，完全非弹性碰撞过程机械能也不守恒。
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基本思路如下： (1)选取研究对象——物体系或物体 (2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力和做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初末态时的机械能。 (4)根据机械能守恒定律列方程，进行求解。
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典型例题解析
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练习、一质量为m的木块放在地面上，用一根轻弹簧连着木块，如图示，用恒力F拉弹簧，使木块离开地面，如果力F的作用点向上移动的距离为h，则（ ）
A. 木块的重力势能增加了Fh B. 木块的机械能增加了Fh C. 拉力做的功为Fh D. 木块的动能增加了Fh C F m
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B C D D 二.机械能守恒定律的理解及应用 例2. 一个物体在平衡力的作用下运动,则在该物体的运动过程中, 物体的 ( )
例2. 一个物体在平衡力的作用下运动,则在该物体的运动过程中, 物体的 ( ) A. 机械能一定保持不变 B. 动能一定保持不变 C. 动能保持不变, 而重力势能可能变化 D. 若重力势能发生了变化, 则机械能一定发生变化 B C D 练习1.下列运动物体，机械能守恒的有( ) A.物体沿斜面匀速下滑 B.物体沿竖直平面内的圆形轨道做匀速圆周运动 C.跳伞运动员在空中匀速下落 D.沿光滑曲面自由下滑的木块 D
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D 练习2.下列关于机械能守恒的说法中正确的是 A.做匀速运动的物体,其机械能一定守恒 ( ) B.做匀加速运动的物体,其机械能一定不守恒
C.做匀速圆周运动的物体,其机械能一定守恒 D.以上说法都不正确 D 练习3、 以下说法正确的是（ ） （A）系统受到合外力为零时，系统的机械能和总动量都守恒 （B）一个物体做匀速运动，它的机械能一定守恒 （C）一个物体所受的合外力不为零，它的机械能可能守恒 （D） 一个物体所受合外力的功为零，它一定保持静止或匀速直线运动 C
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练习4. 下列说法中错误的是（ ） （A）物体的机械能守恒时，一定只受到重力和 弹力的作用 （B）物体处于平衡状态时机械能一定守恒 （C）在重力势能和动能的转化中，物体除受重 力外还受其他力时，其机械能可以守恒 （D）物体重力势能和动能之和增大时，必定是 有重力以外的力对它做了功 A B
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例3、如下图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧 上，在将弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量 的叙述中正确的是
（ ） （A）重力势能和动能之和总保持不变 （B）重力势能和弹性势能之和总保持不变 （C）动能和弹性势能之和总保持不变 （D）重力势能、弹性势能和动能 之和总保持不变 D
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【例4】一条长为L的均匀链条，放在光滑水平桌面上，链条的一半垂于桌边，如图所示现由静止开始使链条自由滑落，当它全部脱离桌面时的速度为多大?
【解析】因桌面光滑，链条虽受桌面的支持力，但支持力对链条不做功，在链条下滑过程中只有重力对链条做功，故链条下滑过程中机械能守恒 设链条总质量为ｍ，由于链条均匀，因此对链条所研究部分可认为其重心在它的几何中心，选取桌面为零势能面，则初、末状态的机械能分别为： 初态： 末态：
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练习.长为L质量分布均匀的绳子，对称地悬挂在轻小的定滑轮上，如图所示.轻轻地推动一下，让绳子滑下，那么当绳子离开滑轮的瞬间，绳子的速度为 .
解：由机械能守恒定律，取小滑轮处为零势能面.
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例5：将细绳绕过两个定滑轮A和B．绳的两端各系一个质量为m的砝码。A、B间的中点C挂一质量为M的小球，M<2m，A、B间距离为l，开始用手托住M使它们都保持静止，如图所示。放手后M和2个m开始运动。求(1)小球下落的最大位移H是多少？(2)小球的平衡位置距C点距离h是多少？
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解：(1)如答案图(a)所示，M下降到最底端时速度为零，此时两m速度也为零，M损失的重力势能等于两m增加的重力势能(机械能守恒)
解得
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(2)如答案图(b)所示，当M处于平衡位置时，合力为零，T=mg，则
Mg-2mgsinα=0
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机械能守恒定律与圆周运动结合 例6.如图所示．一根长L的细绳，固定在O点，绳另一端系一条质量为m的小球．起初将小球拉至水平于A点．求 （1）小球从A点由静止释放后到达最低点C时的速度．（2）小球摆到最低点时细绳的拉力。 解（1）由机械能守恒有：mgl=½mvC2 (2) 在最低点，由向心力公式有T－mg=mv2/L T=3mg;
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C．初速度v0与小球质量m、轨道半径R无关 D.小球质量m和轨道半径R同时增大，有可能不用增大初速度v0
【练习1】如图所示，一个光滑的水平轨道AB与光滑的圆轨道BCD连接，其中图轨道在竖直平面内，半径为R，B为最低点，D为最高点．一个质量为m的小球以初速度v0沿AB运动，刚好能通过最高点D，则（ ） B A．小球质量越大，所需初速度v0越大 B．圆轨道半径越大，所需初速度v0越大 C．初速度v0与小球质量m、轨道半径R无关 D.小球质量m和轨道半径R同时增大，有可能不用增大初速度v0 解析：球通过最高点的最小速度为v，有mg=mv2/R，v= 这是刚好通过最高点的条件，根据机械能守恒，在最低点的速度v0应满足 ½m v02=mg2R＋½mv2，v0=
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练习2. 一根内壁光滑的细圆管，形状如下图所示，放在竖直平面内，一个小球自A口的正上方高h处自由落下，第一次小球恰能抵达B点；第二次落入A口后，自B口射出，恰能再进入A口，则两次小球下落的高度之比h1：h2= ______ 4：5 解：第一次恰能抵达B点，不难看出 v B1=0 由机械能守恒定律 mg h1 =mgR+1/2·mvB12 h A B O ∴h1 =R 第二次从B点平抛 R=vB2t R=1/2·gt 2 mg h2 =mgR+1/2·mvB22 h2 =5R/4 h1 ：h2 = 4：5
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练习3.如图所示，在一根长为L的轻杆上的B点和末端C各固定一个质量为m的小球，杆可以在竖直面上绕定点A转动，BC=L/3,现将杆拉到水平位置从静止释放，求末端小球C摆到最低点时速度的大小和这一过程中BC端对C球所做的功。（杆的质量和摩擦不计） 解析：B、C两球系统在下摆的过程中只有重力做功，系统机械能守恒。 由于B、C角速度相同，
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解得： 对于C球,由动能定理得 解得杆BC段对C球做功
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练习4.一轻绳两端各系一小物体A和B，且 mA>mB ，跨放在一个光滑的半圆柱体上，半圆柱体的半径为R，A、B刚好贴在圆柱体的截面水平直径两端，如下图所示，今让两球由静止释放，当B到达圆柱体的最高点时，刚好脱离圆柱体，试求：(1)B到最高点的速度。(2) mA和mB的比值。
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例7.如图所示，一对杂技演员（都视为质点）乘秋千（秋千绳处于水平位置）从A点由静止出发绕O点下摆，当摆到最低点B时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自已刚好能回到高处A 。已知男演员质量和女演员质量之比m1: m2 =2:1,秋千的质量不计，秋千的摆长为R , C 点比O 点低5R。 求男演员落地点C 与O 点的水平距离S。 A B C s 5R O R
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(m1+m2)gR=½ (m1+m2)v02 (m1+m2)v0=m1v1－m2v2
解：设分离前男女演员在秋千最低点B 的速度为v0，由机械能守恒定律 (m1+m2)gR=½ (m1+m2)v02 设刚分离时男演员速度的大小为v1,方向与v0相同；女演员速度的大小为v2，方向与v0相反，由动量守恒 (m1+m2)v0=m1v1－m2v2 分离后，男演员做平抛运动，设男演员从被推出到落在C点所需的时间为t ，根据题给条件，由运动学规律4R=gt2 s=v1t 根据题给条件，女演员刚好回到A点，由机械能守恒定律,m2gR=m2v22 已知m1/m2=2,由以上各式可得 s=8R
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例7.如图 所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球．支架悬挂在0点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动．开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是 A. A球到达最低点时速度为零 B. A球机械能减少量等于B球机械能增加量 C. B球向左摆动所能达到的最高位置 应高于A球开始运动时的高度 D.当支架从左向右回摆时，A球 一定能回到起始高度 BCD
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