Keller: Stats for Mgmt & Econ, 7th Ed 變異數分析

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1 Keller: Stats for Mgmt & Econ, 7th Ed 變異數分析
2017年3月3日星期五 第 14 章 變異數分析 Copyright © 2006 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc.

2 變異數分析 統計實作人員比較兩個或更多個區間資料的母體， 這個方法稱為變異數分析(analysis of variance)。 變異數分析：
 極為有用和普及的程序  決定母體平均數之間是否存在著差異  這個程序的運作是藉由分析樣本的變異數 第14章 變異數分析 第532頁

3 一因子變異數分析 下圖說明獨立樣本的抽樣過程： 注意：這些母體被稱為處理平均數，並非n1 = n2 = … = nk的必要條件。
第14章 變異數分析 第533頁 圖4.1

4 一因子變異數分析 新的專有名詞： 變數X 稱為反應變數，其數值稱為反應值。 xij = 第j 個樣本的第i 個觀測值
= 所有觀測值的總平均數= ，其中n = n1 + n2 +…+ nk 且 k 為母體的個數。 第14章 變異數分析 第534頁

5 一因子變異數分析 新的專有名詞： 用來區分母體的標準差稱為因子(factor)。
每一個母體皆稱為一個因子水準(factor level) 。 第14章 變異數分析 第535頁

6 範例14.1 在過去10 年間，證券經紀商做生意的方法已經有了極大的改變。 這些改變產生哪些影響？
為了協助回答此問題，一位財務分析師隨機抽樣366 個美國家庭，並且要求每一個家庭報告家中戶長的年齡以及他們的金融資產投資在股票市場的比例。 第14章 變異數分析 第533頁

7 範例14.1 年齡的類別為 該分析師特別感興趣的是決定股票的擁有是否因年齡而異。Xm14-01
年輕人(35 歲以下) 中年初期(35 到49 歲) 中年後期(50 到65 歲) 年長者(65 歲以上) 該分析師特別感興趣的是決定股票的擁有是否因年齡而異。Xm14-01 這些資料是否允許分析師決定股票的擁有在四個年齡群之間存有差異？ 第14章 變異數分析 第533頁

8 範例14.1 專有名詞 總資產投資於股市的百分比稱為反應變數；實際百分比稱為反應值。 用來區分母體的標準差稱為因子(factor)。
年齡類別是我們感興趣的，這是需要考慮的唯一類別 (因此， 有“一因子”變異數分析的名稱)。 每一個母體皆稱為一個因子水準。 在本範例中有四個因子水準：年輕人、中年初期、中年後期與年長者。 第14章 變異數分析 第 頁

9 範例14.1 虛無假設： H0:µ1 = µ2 = µ3 = µ4 這些母體平均數之間沒有差異。 對立假設： H1: 至少兩個平均數不等
辨識方法 範例14.1 虛無假設： H0:µ1 = µ2 = µ3 = µ4 這些母體平均數之間沒有差異。 對立假設： H1: 至少兩個平均數不等 下一個步驟是決定統計檢定量。 第14章 變異數分析 第534頁

10 檢定統計量 因為µ1 = µ2 = µ3 = µ4 是我們所感興趣的假設, 因此各樣本平均數之間近似性的測量我們也會感興趣。
因為µ1 = µ2 = µ3 = µ4 是我們所感興趣的假設, 因此各樣本平均數之間近似性的測量我們也會感興趣。 測量樣本平均數之間彼此近似程度的統計量被稱為處理間變異(between-treatments variation) ，以SST表示，其代表處理平方和(sum of squares for treatments)。表示為： 所有觀測值的總平均數 母體的個數 假如樣本平均數之問存在著大的差異，至少有一些樣本平均數與總平均數非常的不同， 產生一個大的 SST 數值。則拒絕虛無假設，傾向對立假設是合理的。 第14章 變異數分析 第 頁

11 檢定統計量 我們利用在13章討論過的方法，來估計母體變異數是相等的情況 其中 分子測量樣本平均數之間的差異，分母測量樣本之間的變異。
第14章 變異數分析 第537頁

12 檢定統計量 處理間變異(between-treatments variation) 以SST表示，
處理內差異(within-treatments variation)記作SSE。 誤差平方和： 從第二個公式可以很輕易地看出，它提供了一個處 理平方和，讓我們可以預期已經觀察到的隨機變量。 第14章 變異數分析 第 頁

13 在這個檢定中（如同在其他所有統計檢定中）要回答的關鍵問題是，檢定統計量必須多大，我們才能判定拒絕虛無假設？
計算 範例14.1 根據： 如果： 則 SST = 0 值支持虛無假設。 在這個檢定中（如同在其他所有統計檢定中）要回答的關鍵問題是，檢定統計量必須多大，我們才能判定拒絕虛無假設？ 第14章 變異數分析 第 頁

14 計算 範例14.1 我們計算樣本平均數與總平均數為： 第14章 變異數分析 第 頁

15 範例14.1 因此，代表處理平方和的處理間變異為： SST = 3,738.8這個值是不是夠大去指出母體平均數不同？ 計算
第14章 變異數分析 第536頁

16 範例14.1 我們計算樣本變異數如下： 因此，誤差平方和為： 我們需要檢定統計量來證明SST和SSE的相關性。 計算
第14章 變異數分析 第537頁

17 均方 處理的均方： 誤差的均方： 檢定統計量： 在反應變數是常態分配的條件下，檢定統計量服從自由度為 k-1 和 n-k 的F 分配。
第14章 變異數分析 第538頁

18 計算 範例14.1 在我們的範例中，可發現 F = 2.79 是否在拒絕域中? p- 值是多少? 第14章 變異數分析 第539頁

19 範例14.1 計算 F- 統計量(F-statistic)的目的是決定SST的值是否夠大去拒絕虛無假設。假如SST是大的，F 將會很大。
詮釋 範例14.1 計算 F- 統計量(F-statistic)的目的是決定SST的值是否夠大去拒絕虛無假設。假如SST是大的，F 將會很大。 p- 值 = P(F > Fstat) 第14章 變異數分析 第539頁

20 計算 範例14.1 點選Data、Data Analysis，與Anova: Single Factor。 第14章 變異數分析

21 計算 範例14.1 第14章 變異數分析 第541頁

22 詮釋 範例14.1 p- 值為.0405 夠小的，所以我們拒絕虛無假設 (H0:µ1 = µ2 = µ3 = µ4) 偏好對立假設 (H1: 至少兩個母體平均數不同) 。 意即存在著證據可以推論總資產投資於股票的百分比至少在兩個年齡類別是不等的。 第14章 變異數分析 第541頁

23 變異數分析(ANOVA) 表 變異數分析(ANOVA) 表(analysis of variance) 。 F- 統計量=MST/MSE
第14章 變異數分析 第 頁

24 檢查必要的條件 變異數分析的F- 檢定要求隨機變數是具有相等變異數的常態分配。只要對每一個樣本繪製直方圖，就可以容易地用圖形檢查常態性的條件。 變異數的同質性可由列印樣本標準差或變異數檢視之。樣本變異數的相似性讓我們能夠假設母體變異數是相等的。 第14章 變異數分析 第542頁

25 必要條件的違背 假如資料不是呈常態分配，我們能夠以等同於一因子變異數分析的無母數方法取代，它是Kruskal-Wallis 檢定。
假如母體變異數不相等，我們能夠使用幾種方法去校正這個問題。 但是，這些校正的測量方法超出本書的程度範圍。 第14章 變異數分析 第542頁

26 辨識因素 辨識一因子變異數分析的因素 問題目的：比較兩個或更多個母體。 資料類型：區間。 實驗設計：獨立樣本。
第14章 變異數分析 第546頁

27 多重比較 我們從一因子變異數分析得到結論：至少有兩個處理平均數不同，我們經常需要知道哪幾個處理平均數造成這些差異性。
我們將會提出三種方法來決定哪些母體平均數是不同的： • Fisher的最小顯著法 • Bonferroni 校正 • Tukey的多重比較方法 第14章 變異數分析 第 頁

28 多重比較 兩個平均數被認為是不同的，假設它們樣本平均數間的差異是大於一個臨界值。對此，一般的通式是, 假設 然後我們推斷 和 不同。
然後我們推斷 和 不同。 我們相信較大的樣本平均數差與一個較大的母體平均數差是有關聯的。 第14章 變異數分析 第頁

29 Fisher 的最小顯著法 什麼是關鍵數字 NCritical ? 在第13章，我們介紹信賴區間估計量是：
假設區間不包括 0 ，我們可以推斷母體平均數不同。所以另一個引導雙尾檢定的方式為測定是否 大於 第14章 變異數分析 第551頁

30 Fisher 的最小顯著法 因為MSE 將會是一個比sp2 更佳的估計量。因此，以MSE 取代前述的檢定統計量和信賴區間估計量公式中的sp2 。因此我們定義最小顯著差異(least significant difference, LSD) 為一個決定每一對母體平均數間是否存在著差異的簡單辦法，是將兩樣本平均數間差異的絕對值與LSD 做比較： 如果所有k 個樣本大小皆相等，則LSD 對所有成對的平均數都是相同的。如果有一些樣本大小不同，對每一個組合都必須計算LSD。 自由度是v = n - k 第14章 變異數分析 第 頁

31 範例14.2 因為外國的競爭，北美汽車製造商已經變得更關心品質。
品質的一個面向是因意外所造成損毀的修復成本。一位製造商考慮數種新型的保險桿。 為了測試他們對低速撞擊的反應，四種不同類型、每種各10個保險桿分別被裝置在中型汽車上，然後以每小時5哩的速度撞擊牆壁。 第14章 變異數分析 第549頁

32 範例14.2 每一個事件的修復成本被估價。Xm14-02 a.在5%的顯著水準下，是否有足夠的證據推論這些
保險桿對低速撞擊的反應是有差異的？ b .如果存在差異，哪些保險桿是不同的？ 第14章 變異數分析 第549頁

33 範例14.2 問題的目的是比較四個母體，資料是區間的，並且樣本是獨立的。正確的統計方法是一因子變異數分析。
檢定統計量為F ＝ 4.06 以及p- 值＝ .0139。有足夠的統計證據推論有些保險桿之間存在著差異。現在的問題是，哪些保險桿是不同的？ 第14章 變異數分析 第550頁

34 範例14.2 四個樣本平均數是 MSE = 12,399，因此 第14章 變異數分析 第553頁

35 範例14.2 我們計算平均數之間的差異絕對值並且將計算結果與LSD = 101.09相比較。
因此，µ1和 µ2、µ1和 µ3、µ2和 µ4、以及 µ3 和 µ4有差異。 其他兩對µ1和µ4以及µ2和 µ3 則沒有差異。 第14章 變異數分析 第553頁

36 範例14.2 點選Add-Ins、Data Analysis Plus，與Multiple Comparisons。 第14章 變異數分析

37 範例14.2 因此，µ1和 µ2、µ1和 µ3、µ2和 µ4、以及 µ3 和 µ4有差異。 其他兩對µ1和µ4以及µ2和 µ3 則沒有差異。
第14章 變異數分析 第 頁

38 LSD 方法的Bonferroni校正 LSD程序的缺點是我們加大了犯一個型 I 錯誤的機率。
Bonferroni校正(Bonferroni adjustment)修正了這個問題。 其中我們先前使用alpha( ) ，譬如說.05，現在我們將使用調整後的alpha： 其中 第14章 變異數分析 第552頁

39 範例14.2 假如我們執行LSD程序再加上Bonferroni校正，成對比較的組數是6（以 C = k(k − 1)/2 = 4(3)/2計算得到）。 我們設α = .05/6 = .0083。因此，tα/2,n-k = tα/2,36 = 2.794（可由Excel得到，用手算近似則較困難）且 第14章 變異數分析 第553頁

40 範例14.2 點選Add-Ins、Data Analysis Plus，與 Multiple Comparisons。 第14章 變異數分析

41 範例14.2 現在並非六對樣本平均數皆不同。 第14章 變異數分析 第556頁

42 Tukey 的多重比較方法 一如往常，我們尋找關鍵數字NCritical ，以比較樣本平均數之間的差異。在此案例中它是：
注意：ω為希臘字母omega，不是 “w” 。 學生化全距的臨界值 在k個樣本中每一個樣本的觀測值個數 第14章 變異數分析 第554頁

43 範例14.2 k = 處理的個數 n = 觀測值的個數 ( n = n1+ n2 + . . . + nk )
ν = 與MSE相關的自由度(v = n - k) ng = 在k 個樣本中每一個樣本的觀測值個數 α = 顯著水準 = 學生化全距的臨界值 第14章 變異數分析 第554頁

44 範例14.2 因此， 第14章 變異數分析 第555頁

45 範例14.1－Tukey 的多重比較方法 因此我們結論 µ2 和 µ4，以及 µ3 和µ4 不同。 第14章 變異數分析 第555頁

46 該使用哪一個多重比較方法？ 假如你在執行變異數分析之前已經辨識到你想要進行的兩或三個成對比較，使用Bonferroni 方法。
假如你計畫比較所有可能的組合，使用Tukey 方法。 第14章 變異數分析 第556頁

47 變異數分析的實驗設計 實驗設計已經成為我們決定使用哪一種方法的因素之一。
在範例14.1 描述的實驗是一個單因子設計，因為我們只有一個處理──家庭戶長的年齡。 一因子變異數分析僅僅是變異數分析許多不同實驗設計中的一種。 第14章 變異數分析 第 頁

48 變異數分析的實驗設計 一個多因子實驗(multifactor experiment) 是以兩個或多個因子定義處理(treatments)。
假如在另一個研究中，我們也能夠觀察家庭戶長的性別。我們將發展兩因子變異數分析。 其中第一個因子──年齡，有四個水準；而第二個因子──性別，有兩個水準。 第14章 變異數分析 第558頁

49 獨立樣本和區集 在13.3 節，我們介紹解決配對實驗資料的統計方法。這類的實驗設計降低樣本內的變異性，使得偵查母體間的差異更加地容易。當問題的目的是比較兩個以上的母體，與配對實驗等同的實驗設計被稱為隨機化區集設計(randomized block design)。 區集(block)這個名詞指的是一個來自每一個母體觀測值的配對群組。 我們也能夠對每一個處理使用相同的物件( 人、工廠和商店) 來執行區集實驗。如此的實驗被稱為重複量測(repeated measures) 設計。 第14章 變異數分析 第558頁

50 獨立樣本和區集 隨機區集實驗也被稱為二因子變異數分析(two-way analysis
of variance), 不要與二因子變異數分析(two-factor analysis of varianc)混淆。我們以下列流程圖與標題來說明… 比較兩個或更多個母體 資料類型 區間 實驗設計？ 獨立樣本 區集樣本 我們將會先說明這項 一因子變異數分析 隨機區集變異數分析 也可被視為 二因子變異數分析 二因子變異數分析 第14章 變異數分析 第559頁

51 SS(Total) = SST + SSB + SSE
隨機區集( 二因子) 變異數分析 設計一個隨機區集實驗的目的是為了降低處理內變異，以便更容易地偵測出處理平均數之間的差異。 在變異數分析的隨機化區集設計中，我們把總變異分解成三個變異的來源： SS(Total) = SST + SSB + SSE 其中SSB，即區集的平方和(sum of squares for blocks)，測量區集之間的變異。 第14章 變異數分析 第 頁

52 隨機區集( 二因子) 變異數分析 下表彙整我們使用於這項實驗設計的符號。 第1個區集中觀測值的平均數 第2個處理中觀測值的平均數
第14章 變異數分析 第560頁 表14.4

53 隨機區集實驗的平方和 將所有觀測值的總平均數平方之後，會得到以下的公式： 處理平均數的檢定統計量 隨機集區的檢定量統計
第14章 變異數分析 第561頁

54 ANOVA 表 如同一因子實驗，由隨機區集實驗產生的統計量可以彙整於一個ANOVA 表，它的一般式展示於下表中：
第14章 變異數分析 第562頁 表14.2

55 範例14.3 許多北美洲的民眾有高膽固醇的毛病，它可能導致心臟病。對於那些膽固醇水準非常高的人（超過 280 ) ，醫生開處方箋藥物以降低膽固醇水準。一問製藥公司最近研發了四種這類的新藥。為了決定它們的效果是否存有任何差異，於是籌組一項實驗。這家公司選取 25 組的人，每組斗位男性，每一個人的膽固醇水準皆超過 280 。在每一個分組中，男性的年齡與體重相近。新藥物被控制服用超過兩個月的期問，並且記錄降低的膽固醇水準。(Xm14-03) 這些結果是否允許該公司結論這四種新藥之問存有差異？ 第14章 變異數分析 第562頁

56 範例14.3 要被檢定的假設如下： H0:µ1 = µ2 = µ3 = µ4 H1: 至少兩個平均數不等 辨識方法
第14章 變異數分析 第563頁

57 範例14.3 反應變數是降低的膽固醇，處理是這四種新藥。 區集為這 25個類似的男性群組。
辨識方法 範例14.3 反應變數是降低的膽固醇，處理是這四種新藥。 區集為這 25個類似的男性群組。 藉由建立實驗設計，可以消除與年齡和體重不同組合相關的膽固醇降低的變異。這可以幫助我們檢測由這四種新藥所造成的平均膽固醇降低是否有存有差異。 第14章 變異數分析 第563頁

58 資料 範例14.3 處理 區集 範例中有 b = 25 個區集，與 k = 4 個處理。 第14章 變異數分析 第562頁

59 範例14.3 點選Data、Data Analysis...， 與
計算 範例14.3 點選Data、Data Analysis...， 與 Anova: Two-Factor Without Replication a.k.a. Randomized Block 第14章 變異數分析

60 計算 範例14.3 第14章 變異數分析 第563頁

61 檢查必要的條件 變異數分析隨機化區集設計的F- 檢定與獨立樣本設計有相同的條件。 也就是，隨機變數必須服從常態分配，且母體變異數必須相等。
直方圖( 沒有在此展示) 顯示支持我們結果的適用性；膽固醇的降低呈現常態分配。 變異數相等的需求也呈現出符合的狀態。 第14章 變異數分析 第564頁

62 必要條件的違背 當反應變量不服從常態分配，我們可以用Friedman 檢定取代隨機區集變異數分析。 第14章 變異數分析 第564頁

63 發展對統計觀念的了解 如同我們先前解釋的，隨機區集實驗是13.3 節配對實驗的一個推廣。
在配對實驗，我們簡單地移除由實驗單位間差異所造成變異的影響。 這移除的影響可以由減小的標準誤值( 與獨立樣本檢定統計量產生的標準誤值做比較) 和增大的t- 統計量值看出。 第14章 變異數分析 第565頁

64 區集化的準則 在變異數分析的隨機區集實驗，我們以計算SSB 實際測量了區集之間的變異性。
誤差平方和(SSE) 因為SSB 而減小，使得偵測處理間的差異更加地容易。 此外，我們能夠檢定區集是否不同 ─ 這是我們無法在配對實驗執行的程序。 第14章 變異數分析 第565頁

65 辨識隨機區集變異數分析的要素 辨識隨機區集變異數分析的要素： 問題目的：比較兩個或更多的母體。 資料類型：區間。 實驗設計：區集樣本。
第14章 變異數分析 第567頁

66 二因子變異數分析 在14.1 節中，我們探討資料來自於一因子實驗的問題。
在範例14.1中，處理為四個不同的年齡類別。因此，有一個四個水準的單因子。這一節中，我們著重於具有兩個因子的實驗問題。 資料蒐集程序的一般名稱是因子實驗(factorial experiment)。 第14章 變異數分析 第568頁

67 二因子變異數分析 因子實驗中，我們可以檢視兩個或更多個因子對反應變數的影響，然而在本書中我們僅討論兩因子的問題。
我們可以使用變異數分析來決定每一個因子的水準是否彼此不同 第14章 變異數分析 第568頁

68 範例14.4 評估國家經濟健康的一個方式是測量其創造工作的 速度。 此議題的一個層面是個人所持有的工作數。
一項工作任期研究的一部分，是對年齡介於37 到45 歲之間的美國人進行訪談，詢問他們一生中曾經持 有的工作數。也記錄了他們的性別與教育成就。 第14章 變異數分析 第569頁

69 範例14.4 教育成就的類別是 高中以下(E1) 高中(E2) 專科大學肄業(E3) 至少一個大學學位(E4)
資料是以八種性別和教育類別一一列出。Xm14-04 我們是否可以推論性別與教育水準之間存有差異？ 第14章 變異數分析 第569頁

70 範例14.4 第14章 變異數分析 第569頁

71 範例14.4 我們開始先將這個範例視為一個一因子變異數分析。 注意此處有八個處理。 這些處理是被兩個不同的因子所定義
辨識方法 範例14.4 我們開始先將這個範例視為一個一因子變異數分析。 注意此處有八個處理。 這些處理是被兩個不同的因子所定義 一個因子是性別，有兩個水準。第二個因子是教育 成就，有四個水準。  第14章 變異數分析 第569頁

72 範例14.4 我們可以使用14.1 節中相同的方法來解決此一問題， 也就是，我們檢定下列的假設： H1: 至少兩個平均數是不等的 辨識方法
第14章 變異數分析 第 頁

73 計算 範例14.4 第14章 變異數分析 第570頁

74 範例14.4 檢定統計量的值是F ＝ 2.17，p- 值為.0467。 我們結論八種處理之間的工作數存有差異。 詮釋
第14章 變異數分析 第570頁

75 範例14.4 這項統計的結果產生更多的問題。 也就是，我們是否可以結論平均工作數的差異是由 男性與女性之間的差異所造成？
或者它們是由教育水準之間的差異所造成？ 或者，也許是否有某些性別和教育的組合稱為交互 作用(interactions) 會導致特別高或低的工作數？ 第14章 變異數分析 第570頁

76 專業術語 一個完全因子實驗(complete factorial experiment) 是一種蒐集各因子水準所有可能組合的實驗。二因子分類(two-way classification)是完全因子實驗的另一個名稱。 通常，我們將其中一個因子視為因子A ( 任意選取)。這個因子的水準數以a 表示。另外一個因子則被稱為因子B，而它的水準數以b 表示。 每一種組合的觀測值個數被稱為一個反覆(replicate)。反覆數以r 表示。這類的設計被稱為平衡(balanced) 設計。 第14章 變異數分析 第 頁

77 專業術語 Xm14-04a 第14章 變異數分析 第571頁 表14.6

78 專業術語 因此，我們使用一個完全因子實驗，其中處理數是ab 而每一種處理具有r 個反覆數。
結果八種處理中的每一個都有10 個觀測值。 第14章 變異數分析 第572頁

79 範例14.4 如果你檢驗ANOVA 表， 你可以看到總變異數是 SS(Total) ＝879.55，處理的平方和是SST ＝ 153.35，
以及誤差的平方和是SSE ＝726.20。 由處理所造成的變異是以SST 來測量。 為了決定是否差異是由於因子A、因子B，或一些兩 因子間的交互作用，我們需要將SST 分解成三個來 源。 分別是 SS(A)、SS(B)和 SS(AB)。 第14章 變異數分析 第572頁

80 表14.8 二因子實驗的ANOVA 表 第14章 變異數分析 第575頁 表14.8

81 範例14.4 檢定男性與女性之間工作數的差異 H0: 因子A的2個水準平均數是相同的 H1: 至少兩個平均數不同 檢定統計量：
範例14.4：我們是否可以結論平均工作數的差異是 由男性與女性之間的差異所造成？ H0: µmen = µwomen 第14章 變異數分析 第 頁

82 範例14.4 檢定不同教育水準之間工作數的差異 H0: 因子B的4個水準平均數是相同的 H1: 至少兩個平均數不同 檢定統計量：
範例14.4：我們是否可以結論平均工作數的差異是 由教育水準之間的差異所造成？ 第14章 變異數分析 第 頁

83 範例14.4 檢定因子A 與B 之間的交互作用 H0: 因子A 與B 不交互影響平均工作數 H1: 因子A 與B 交互影響平均工作數
檢定F-統計量： 範例14.4：我們是否可以結論平均工作數的差異也 許是否有某些性別和教育的組合稱為交互作用 (interactions) 會導致特別高或低的工作數？ 第14章 變異數分析 第 頁

84 範例14.4 點選 Data, Data Analysis，與 Anova: Two Factor With Replication 計算
第14章 變異數分析

85 範例14.4 計算 下表為部份的ANOVA表。 在ANOVA 表中，Sample 是指因子B ( 教育水準) 並且
Columns 是指因子A ( 性別)。因此，MS(B) ＝ 45.28，MS(A) ＝ 11.25，MS(AB) ＝2.08 以及MSE ＝ 10.09。F- 統計量為 4.49 ( 教育水準)、1.12 ( 性別)，與.21 ( 交互作用)。 第14章 變異數分析 第 頁

86 範例14.4 具不同教育背景的男性和女性之間有顯著的差異。 在男性和女性之間的差異是小的( 並不顯著)。 而最後，沒有交互作用。 詮釋
第14章 變異數分析 第577頁

87 二因子變異數分析檢定 在範例14.4 的兩個版本中，我們對每一個因子進行檢定，然後檢定交互作用。
但是，如果有交互作用存在的證據，則個別因子的檢定是不適用的。 因子A水準與因子B水準之間可能有或可能沒有存在差異。 因此我們改變執行F- 檢定的順序。 第14章 變異數分析 第 頁

88 二因子變異數分析檢定 首先檢定交互作用。 如果有充分的證據去推論有交互作用的存在，則不必進行其他的檢定。
如果沒有足夠的證據去結論交互作用的存在，對因子A 與因子B 進行F- 檢定。 第14章 變異數分析 第580頁

89 辨識獨立樣本二因子變異數分析的要素 辨識獨立樣本二因子變異數分析的要素 問題目的：比較兩個或更多個母體(母體被定義為兩個因子各水準的組合)。
資料類型：區間。 實驗設計：獨立樣本。 第14章 變異數分析 第581頁