Presentation is loading. Please wait.

Presentation is loading. Please wait.

第一章 連續與極限.

Similar presentations


Presentation on theme: "第一章 連續與極限."— Presentation transcript:

1 第一章 連續與極限

2 大 綱 1.1 極限之內涵 1.2 極限之計算 1.3 連續性及其結果 1.4 無窮極限 1.5 極限的正式定義

3 在一開始,我們考慮下列函數 這兩個函數在x = 2的地方沒都沒有定義。 注意這兩個不同函數的圖形在x = 2附近所呈現出的樣子有顯著的差異(圖1.1a和圖1.1b)。雖然我們不能對這兩個函數在x = 2點上的值有所說明(因為它已經超出了這兩個函數的定義域之外),可是我們仍然可以去檢驗這兩個函數在該點附近的行為變化,讓我們試著計算這兩個函數在x = 2附近的數個函數值,如下表所示。

4

5 注意到當你沿著表格中的第一欄往下看的時候, x值將會愈來愈靠近2,不過這些值都比2來的小。我們採用 來標示,其含意是指x從左邊慢慢靠近2。你可以注意到無論從表格還是函數圖中,當x愈來愈靠近2(這時x<2)時,g(x)都可以看得出來會愈來愈靠近4。在這樣的觀察中,我們說當x從左邊趨近於2時g(x)的極限值是4,記為 在另外一方面,上述表格和函數圖形也指出,當x愈來愈靠近2(這時x<2)時,f(x)的值呈現出來的趨勢是沒有上限的增加。因為f(x)並沒有趨近於任何數,我們說當x從左邊趨近於2時,f(x)的極限值並不存在,記為

6 同樣的,我們也要考慮當x靠近2,但是又比2大時,它們函數值所會發生的變化情形。在此,我們用標記 來表示x從右邊靠近2。我們在下列的表格中計算了一些函數值。
表格和函數圖形指出,當x愈來愈靠近2(這時x>2)時, g(x)也愈來愈靠近4。在這樣的觀察中,我們說當x從右邊趨近於2時,g(x)的極限值是4。記為

7 另外,表格和函數圖形都顯示出f(x)呈無下限的減少。當x從右邊趨近於2的時候,因為f(x)並沒有趨近於任何數,我們說
我們稱 和 為單邊極限(one-sided limits)。因為g(x)的兩個單邊極限值都是相同的數,當x趨近於2時,g(x)的極限值是4,記為 在另外一方面,由前述我們知道f(x)的兩個單邊極限並沒有一共同的值(事實上,這兩個極限值都不存在),也因此我們說當x趨近於2時,f(x)的極限值不存在,記為

8

9

10

11

12

13

14

15

16 Sin(x)/Cos(x) Sin(x) x Cos(x) Radius= 1

17 ½ sinx cosx ≦x/2≦1/2 sinx/cosx
由圖中的面積關係可以得到下列的不等式 ½ sinx cosx ≦x/2≦1/2 sinx/cosx cosx ≦(sinx)/x ≦1/cosx 而且, lim cosx →1, as x→0, and lim 1/cosx →1 as x→0., lim (Sin x )/x→1

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33 一個函數是連續的時候,我們說一個數學函數在某個區間上市連續(continuous)的,如果該函數的圖形在上述區間內,則可以沒有中斷的被繪出,換句話說,就是比沒有離開過紙張。
首先讓我們看看下面所列的一些圖形,這將對我們有很大的幫助。我們可以從圖 中看到,在點x=a,有什麼樣的情況會使函數圖形變得不連續(discontinuous)。

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46 特別注意到這個系理其實只是中間值定理的一個特殊情形,也就是說該定理在w=0的情況(詳見圖1. 12)。中間值定理及系理3
特別注意到這個系理其實只是中間值定理的一個特殊情形,也就是說該定理在w=0的情況(詳見圖1.12)。中間值定理及系理3.2是我們所謂的存在定理(existence theorems)的一個例子。

47 求函數 的零值解(也就是根)。 解答 􀄁y = f (x)的圖形如圖1.13,我們從圖中可以看出剛好有三個根出現。注意到因為f是一個多項式函數,它是處處連續的。因此,從系理3.2可以知道它必然存在一個根,在含數有正負符號交換的區間中。從圖形中,你可以看出這個多項式函數一定有一個(以上)的根介於-3和-2,0和1以及1和2之間。就算是沒有函數圖,我們也可以藉由計算的方法來得到同樣的結論,即計算出f(0) = 3及f(1) = -1。雖然這時我們已經找到根所存在的區間,剩下的問題便是我們要怎麼樣去找出那些跟來。下列簡單但是有效的方法來求方程式的根解,我們稱之為二分法(method of bisections)。要找出介於0與1的根,我們先為它的位置猜測一個值,一個合理的猜測是其中點0.5。因為f(0.5) = <0且f(0) = 3>0,我們知道函數介於0和0.5之間有正負符號的改變,所以根就在那裡。

48 接下來,我們再看看區間[0, 0. 5]的中點。因為f(0. 25) = 1. 00098>0,根落在區間(0. 25, 0
接下來,我們再看看區間[0, 0.5]的中點。因為f(0.25) = >0,根落在區間(0.25, 0.5)中,就這樣重覆的做下去。我們把根所存在的區間繼續縮小,一直到我們認為在該區間內的任何點都與真正的根足夠的靠近為止。我們利用下列的列表來展示這個方法。如果你繼續這個步驟,一直到多20步以上,我想你最終必然會到達一個近似解,這個近似跟會是x= ,你也可以看出它至少有八位數的精確度。

49 試計算 解答 其圖形詳見圖1.14,然後簡單地動手計算一個函數值列表(詳見邊緣部份的列表) 當我們得到結論,指出函數極限 與 不存在,表示函數的行為在x>0與x<0是存在著相當大的差異。更準確的指出來便是,當 呈現 沒有上限的增加; 呈現沒有下界的減少。雖然說兩個單邊極限都不存在,它在x=0兩側的極限行為仍呈現很大的差異。為了要表達除了不存在之外的更多訊息,關於在x=0兩側的極限值,我們寫為

50 如果換在圖形上來說,這說明此函數 的圖形趨近於垂直線x=0,當x→0的時候,如圖1
如果換在圖形上來說,這說明此函數 的圖形趨近於垂直線x=0,當x→0的時候,如圖1.14所示。當這情況發生的時候,我們說垂直線x=0是一條垂直漸近線(vertical asymptote)。特別注意到,極限(4.1)與(4.2)仍然是不存在的。我們說它們分別「等於」∞及-∞,只是為了要特別指出它們的極限不存在。最後,從它們的單邊極限(4.1)與(4.2)的結果來看,我們說

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63 即f(x)趨近於L,當x趨近於a。 至此,我們非常高興地看到此一不太明確但卻相當直觀的描述。事實上,在大部分的情況下,此種記號的表達方式均能滿足我們的需求。然而,於此小節中,我們將使其定義更加精確。為了達到此目的,讀者於此捷將看到數學分析(mathematical analysis)(數學中的一個分之領域,其中微積分為該分之中所必備的最基礎研究)如何運作。

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84 極限例題

85 己知: (1) 求極限值 a>0 (2) 變數轉換: 令 ax=u , 因此, x=u/a , 且 x→0 等同於 u→0, (2) 式等同於 : 下式的極限值? a, b >0

86 己知: 求極限值: =? 分母,分子同乘 1+cos(t)

87 習題 題 求極限值 (1).,及 (2) 己知: 由 (1), (2),可得:

88 習題 題 己知: 極限值為 1x1=1

89 當 x→∞, 2/x, 1/x都趨於 0因此求極限值為 -2/(2+2)= - 0.5
習題 題 因為: 上式分子化簡為: 分子,分母都除以x,得到: 當 x→∞, 2/x, 1/x都趨於 0因此求極限值為 -2/(2+2)= - 0.5

90 習題 題 所以只需觀查 x趨於 0時, 的數值變化即可 取 x=10-20 =10-20x(-20) ~ 因此,從此簡單的觀查可知極限值為 0

91 求極限值的幾個方法: 1.明顯的 “連續函數 “,直接代入函數值 2.分子,分母先 “消去”公同因式
3.分子,分母同乘共軛因式 ( conjugate Factor) ( A2-B2 )= (A+B) (A-B)

92 隨堂測驗 (1) 10月9日 習題 第 2, 6, 12,18 習題 第 4, 13, 16, 26 習題 第 7 習題 第 9, 13, 19, 20, 25, 32


Download ppt "第一章 連續與極限."

Similar presentations


Ads by Google