第四章 随机变量的数字特征 数学期望 方差 * 协方差与相关系数 大数定律与中心极限定理.

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1 第四章 随机变量的数字特征 数学期望 方差 * 协方差与相关系数 大数定律与中心极限定理

2 Mathematical Expectation
数学期望的引例 Mathematical Expectation 例如：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为 以频率为权重的加权平均

3 Mathematical Expectation
离散型随机变量 定义 设离散型随机变量的概率分布为 随机变量X的数学期望，记作E（X），即

4 数学期望的计算 已知随机变量X的分布律： 例 X P 4 1/4 5 1/2 6 求数学期望E（X） 解

5 连续型随机变量的数学期望E(X) 连续型随机变量 定义 设连续型随机变量X的概率密度为 f (x), 则 即

6 数学期望的计算 例 已知随机变量X的密度函数为 求数学期望。 解

7 数学期望的意义 E(X)反映了随机变量X取值的“概率平均”,是X的 可能值以其相应概率的加权平均。 试验次数较大时，X的观测值的算术平均值
数学期望又可以称为期望值(Expected Value)， 均值(Mean)

8 二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望
(X,Y)为二维离散型随机变量 (X,Y)为二维连续型随机变量

9 设(X,Y)的联合密度为 例 (1) 求k (2) 求X和Y的边缘密度 (3) 求E(X), E(Y).

10 解 (1)由 得 1 3 所以 时 (2) 所以

11 时 1 3 （３）

12 （３）另解 1 3 无需求 边缘分布密度函数

13 随机变量的函数的数学期望 定理 1：一维情形 设 是随机变量 X的函数, 离散型 概率密度为 连续型

14 服从 已知 上的均匀分布，求 的数学期望。 例 解 因为 所以

15 随机变量的函数的数学期望 定理 2：二维情形 设 是随机变量 X， Y的函数, 离散型 连续型 联合概率密度为

16 例 设相互独立的随机变量X，Y的密度函数分别为
求E（XY） 1 5 解

17 数学期望的性质 . C 为常数 . . 相互独立时 当随机变量

18 练一练 设（X,Y）在由4个点（0，0）（3，0），（3，2), (0,2)决定的矩形域内服从均匀分布，求E(X+Y),E(X2) E(Y2),E(XY). 3 2 答案：

19 若X 服从参数为 p 的0-1分布， 则E(X) = p
0-1分布的数学期望 分布律 X服从0-1分布，其概率分布为 X P 1-p p P(X=1)=p P(X=0)=1- p 数学期望 若X 服从参数为 p 的0-1分布， 则E(X) = p

20 If X~B( n, p ), then E(X)= np
二项分布的数学期望 分布律 X服从二项分布，其概率分布为 数学期望 二项分布可表示为 个０－１分布的和 其中 则 If X~B( n, p ), then E(X)= np

21 泊松分布的数学期望 分布律 数学期望 If , then

22 均匀分布的期望 分布密度 数学期望

23 正态分布的期望 分布密度 X~ N (μ，σ2） 数学期望

24 指数分布的期望 分布密度 数学期望

25 数学期望在医学上的一个应用 分析： 设随机抽取的10人组所需的化验次数为X 我们需要计算X的数学期望，然后与10比较
An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？ 分析： 设随机抽取的10人组所需的化验次数为X 我们需要计算X的数学期望，然后与10比较

26 注意求 X期望值的步骤！ 先求出化验次数X的分布律。 化验次数X的可能取值为1，11 (X=1)=“10人都是阴性” （X=11)=“至少1人阳性” 结论： 分组化验法的次数少于逐一化验法的次数

27 问题的进一步讨论 1、概率p对是否分组的影响 若p=0.2，则 当p>0.2057时，E(X)>10 2、概率p对每组人数n的影响 当p=0.1时，为使 当p=0.2时，可得出n<10.32，才能保证 EX<10.

28 例 独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p1 + p2
解 设产生故障的仪器数目为X 则X的所有可能取值为0，1 所以