第二十一讲的内容、要求、重难点 教学内容： Mechanic of Materials 强度理论的概念、建立、内容、应用 教学要求：

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1 第二十一讲的内容、要求、重难点 教学内容： Mechanic of Materials 强度理论的概念、建立、内容、应用 教学要求：
1、理解强度理论的概念； 2、理解强度理论内容、应用 重点： 第三、四强度理论及应用 强度理论应用 难点：

2 第二十一讲目录 第七章 应力和应变分析 强度理论 Mechanic of Materials §7.10 强度理论概述
§7.10 强度理论概述 §7.11 四种常用强度理论 § 莫尔强度理论 *§7.13 构件含裂纹时的断裂准则（自学）

3 §7.10 强度理论概述 Mechanic of Materials 一、引言 1、回顾杆件基本变形下的强度条件： 正应力强度条件:
§7.10 强度理论概述 一、引言 危险面上危险点的应力小于许用值 Mechanic of Materials 1、回顾杆件基本变形下的强度条件： 正应力强度条件: 剪应力强度条件： 大家知道，单向应力状态和纯剪应力状态下的极限应力值，是直接由实验确定的。但是，复杂应力状态下则不能。这是因为：一方面复杂应力状态各式各样，可以说有无穷多种，不可能一一通过实验确定极限应力；另一方面，有些复杂应力状态的实验，技术上难以实现。 2、危险面上既具有正应力又具有剪应力的点是否危险如何判断? 展望

4 §7.10 强度理论概述 Mechanic of Materials 3、简单应力强度的缺陷，无法解释: （1）手捏鸡蛋为什么不容易破坏
§7.10 强度理论概述 3、简单应力强度的缺陷，无法解释: Mechanic of Materials （1）手捏鸡蛋为什么不容易破坏 (2)混凝土压块三向受压，不但不破坏反而压得更紧。 P 三向压应力状态

5 §7.10 强度理论概述 Mechanic of Materials （3）带槽钢制圆截面杆受单向拉伸,发生脆性断裂
§7.10 强度理论概述 （3）带槽钢制圆截面杆受单向拉伸,发生脆性断裂 Mechanic of Materials （3）钢制圆截面杆在中间切一条环形槽,当该杆受单向拉伸时发现,直接拉断时为止,看不出显著的塑性变形,最后在切槽根部截面最小处发生断裂,断口平整,与铸铁拉断时断口相仿,属脆性断裂.

6 §7.10 强度理论概述 Mechanic of Materials 二、材料的两种失效形式 2007年6月15日凌晨5：10
§7.10 强度理论概述 二、材料的两种失效形式 1、结构的失效（Failure）： Mechanic of Materials 工程结构由于各种原因丧失其正常工作能力的现象。 如：出现较大的位移、不可能恢复变形、配合面磨损、点蚀、弯折或断裂。 被动齿断裂 广东佛山九江大桥断裂 实际上，尽管破坏的现象比较复杂，但材料在常温、静载作用下主要发生破坏的形式主要还是流动和断裂两种类型。此外，构件在外力作用下，任何一点都同时存在应力和应变，并储存了变形能。因此，可以设想材料之所以按某种方式破坏，与与危险点处的应力、应变、变形能等因素中的一个或几个因素有关。人们在长期工程实践中，综合材料各种现象和资料，经过判断和推理，对材料的破坏现象提出了各种不同的假说。这种假说认为材料的某一类型的破坏是某一特定因素引起的。按照这种假说，无论是单向应力状态还是复杂应力状态，材料破坏都是由某一特定因素引起的，从而可利用单向应力状态下的试验结果，建立复杂应力状态的强度条件。这种关于材料破坏的学说称为强度理论。 大量实验结果表明，无论应力状态多么复杂，两种形式的强度失效：一种是屈服；另一种是断裂。 主动齿剥落 2007年6月15日凌晨5：10

7 §7.10 强度理论概述 Mechanic of Materials 2、材料强度失效： 材料因强度不足而失效。
§7.10 强度理论概述 2、材料强度失效： 材料因强度不足而失效。 （1）材料强度失效的两种形式： Mechanic of Materials 塑性屈服（Yield）：出现屈服现象或产生显著的塑性变形, 由剪应力、变形能引起 脆性断裂（Rupture）:未产生明显塑性变形而突然断裂。由最大拉应力或最大拉应变引起 破坏断面粒子较光滑 （1）实际上，尽管破坏的现象比较复杂，但材料在常温、静载作用下主要发生破坏的形式主要还是流动和断裂两种类型。此外，构件在外力作用下，任何一点都同时存在应力和应变，并储存了变形能。因此，可以设想材料之所以按某种方式破坏，与与危险点处的应力、应变、变形能等因素中的一个或几个因素有关。人们在长期工程实践中，综合材料各种现象和资料，经过判断和推理，对材料的破坏现象提出了各种不同的假说。这种假说认为材料的某一类型的破坏是某一特定因素引起的。按照这种假说，无论是单向应力状态还是复杂应力状态，材料破坏都是由某一特定因素引起的，从而可利用单向应力状态下的试验结果，建立复杂应力状态的强度条件。这种关于材料破坏的学说称为强度理论。 （2）大量实验结果表明，无论应力状态多么复杂，两种形式的强度失效：一种是屈服；另一种是断裂。 （3）脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。 （4） 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。 断面较粗糙 铸铁扭转 低碳钢拉伸

8 §7.10 强度理论概述 Mechanic of Materials （2）极限状态或失效状态：
§7.10 强度理论概述 （2）极限状态或失效状态： 材料开始断裂或屈服的状态 极限应力或失效应力σu： σs、 σb Mechanic of Materials (3)材料失效形式除了与材料的脆性和塑性有关外，还与材料所处的应力状态有关。 单向应力状态 三向应力状态 低碳钢 大理石 拉伸→塑性流动 拉伸→脆性断裂 实际上，尽管破坏的现象比较复杂，但破坏的形式主要还是流动和断裂两种类型。此外，构件在外力作用下，任何一点都同时存在应力和应变，并储存了变形能。因此，可以设想材料之所以按某种方式破坏，与与危险点处的应力、应变、变形能等因素中的一个或几个因素有关。人们在长期工程实践中，综合材料各种现象和资料，经过判断和推理，对材料的破坏现象提出了各种不同的假说。这种假说认为材料的某一类型的破坏是某一特定因素引起的。按照这种假说，无论是单向应力状态还是复杂应力状态，材料破坏都是由某一特定因素引起的，从而可利用单向应力状态下的试验结果，建立复杂应力状态的强度条件。这种关于材料破坏的学说称为强度理论。 压缩→脆性断裂 压缩→塑性流动 应力 （4）导致材料失效的因素 应变 ----与受力有关 变形能

9 §7.10 强度理论概述 Mechanic of Materials 三、复杂应力状态下强度准则的建立 P P
§7.10 强度理论概述 三、复杂应力状态下强度准则的建立 1、失效准则：材料进入极限状态的判别条件。 Mechanic of Materials 2、准则的建立 （1）材料若处于单向应力状态，通过实验直接测到极限应力σu 失效准则: (2)复杂受力状态下依据部分实验结果，采用判断推理的方法，提出一些假说，推测材料破坏原因，从而建立强度条件。 在工程实际中,很多受力构件的危险点都处于复杂应力状态.实现材料在复杂应力状态下的实验,要比简单拉伸和压缩困难得多.常用的方法是将实验的材料加工成薄壁圆管，加上封头,使其承受内压。这样，管壁就处于二向应力状态。如果再配以轴向拉力P，让它受内压力q和外拉力P的共同作用，实验时调整P 和q ，可以使两个主应力之比成为各种拟定的数值。这种薄壁管实验有时除内压和轴向力外，还在两端作用扭转力偶，这样可以得到更为普遍的情况。 除此以外，还有其它的实验方法。例如有人将铅球在高压油内作三向等压实验等。尽管有一些实验手段，但完全复现实际中遇到的各种复杂英里状态并不容易。例如，三向应力，尤其是三向等值拉伸的实验就很难实现。而且，复杂应力状态中应力组合的方式又有各种可能，如完全靠实验来建立强度条件，则必须对各式各样的应力状态一一实验确定相应的极限应力，然后建立强度条件。由于实验技术上的困难，工作上的繁重，这往往是难以实验的，也不可能针对每一种应力状态做无数次实验 。解决这类问题，一般是依据部分实验结果，采用判断推理的方法，提出一些假说，推测材料在复杂受力状态下的原因，从而建立强度条件。 s1 P P s2 利用单向的实验结果来建立复杂应力状态的强度条件

10 §7.10 强度理论概述 Mechanic of Materials （3）相当应力状态：
§7.10 强度理论概述 （3）相当应力状态： 复杂应力状态根据同等安全原则，按照一定的条件，代之以单向应力状态，称为相当应力状态。 Mechanic of Materials （4）相当应力σr（Equivalent Stress） 相当应力状态的作用应力。 （5）失效准则： （6）失效准则研究模式 （1）材料若处于复杂应力状态，当其进入极限状态时，应视为各应力分量共同作用的结果。由于复杂应力状态的各应力分量之间的比例不同，其对应的极限状态也将不同。不可能针对每一种应力状态做无数次实验。 （2）一种有效的研究方法是，将复杂应力状态根据同等安全的原则，按照一定的条件，代之以单向应力状态，称为相当应力状态。其作用应力称为相当应力σr（Equivalent Stress）。由于相当应力是单向应力状态，当其达到极限状态时，材料失效，其失效准则是： σ2 σr σr σu σu σ1 σ3

11 §7.10 强度理论概述 Mechanic of Materials （7）强度理论：
§7.10 强度理论概述 （7）强度理论： 认为无论是单向应力状态还是复杂应力状态，材料破坏都是由某一特定因素引起的，从而可利用单向应力状态下的试验结果，建立复杂应力状态的强度条件。这种关于材料破坏的学说称为强度理论 （Strength Theory） 。 Mechanic of Materials 第一类强度理论（以脆性断裂破坏为标志——断裂准则） 为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。 对于同一种失效形式，有可能在引起失效的原因中包含着共同的因素。建立复杂应力状态下的强度失效判据，就是提出关于材料在不同应力状态下失效共同原因的各种假说。根据这些假说。就有可能利用单向拉伸的实验结果，建立材料在复杂应力状态下的失效判据。就可以预测材料在复杂应力状态下，何时发生失效，以及怎样保证不发生失效，进而建立复杂应力状态下的强度条件。 本节将通过对屈服和断裂原因的假说，直接应用单向拉伸的实验结果，建立材料在各种应力状态下的屈服与断裂的强度理论。 强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。 （8）两类强度理论 第二类强度理论（以塑性屈服破坏为标志——屈服准则）

12 §7.11 四种常用强度理论 Mechanic of Materials
§7.11 四种常用强度理论 一 、最大拉应力理论（第一强度理论，库仑—莫尔强度理论。1638年由伽俐略提出，当时只有铸铁、水泥等到脆性材料 ） Mechanic of Materials 1、破坏原因:材料失效的原因是由于材料内部的最大拉应力引起的，无论应力状态如何，只要拉应力达到某一限值σb，材料断裂。 2、破坏原因： 最大拉应力达到极限值 3、断裂条件： (1)第一强度理论又称为最大拉应力准则（maximum tensile stress criterion），最早由英国的兰金（Rankine．W．J．M．）提出，他认为引起材料断裂破坏的原因是由于最大正应力达到某个共同的极限值。对于拉、压强度不相同的材料，这一理论现在已被修正为最大拉应力理论。 (2)这个理论是理论中最古老和最简单的一种，但随着生产实践和建筑材料的发展愈来愈明显地暴露了这个理论的一些缺点，这个理论认为材料的危险状态只取决于某一个方向的主应力，而与其它两个主应力无关,也就是说不论三向，二向还是单向，它们的极限状态的到达没有什么区别，这显然是不合理的，这个理论无法解释下列现象. 1)塑性材料拉伸时,滑移,而不是从正应力最大的横截面上拉断. 2)塑性材料压缩不破坏 3)脆性材料的压缩时,破坏甚至沿正应力为零的截面(纵向张裂) 4)三向受压,不破坏 5)三向等拉,拉断 实践证明,这个理论只对少数脆性材料受简单拉伸情况下是正确的,因此后来被修正为最大拉应力理论. 3、强度条件： 4、适用范围： 少数的脆性材料，如铸铁

13 §7.11 四种常用强度理论 Mechanic of Materials
§7.11 四种常用强度理论 例1 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, 为铸铁构件，[]=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。 Mechanic of Materials P T 解：危险点A的应力状态如图： A A s t 故，安全。

14 §7.11 四种常用强度理论 Mechanic of Materials 拓展 强度条件
§7.11 四种常用强度理论 拓展 强度条件 Mechanic of Materials 最大拉应力理论对脆性材料受拉伸而引起的破坏情况比较符合。例如铸铁杆受轴向拉伸时，主要沿横截面拉断；又如铸铁受纯扭转时，沿45o斜截面断裂。因为该方向拉应力最大。 σ τ x 对于塑性流动破坏的情况，此理论不能解释。如低碳钢制成的圆轴受扭时，当横截面的剪应力τ达到剪应力的屈服极限τs时，开始流动.这说明低碳钢圆轴扭转时达到破坏状态的因素不是拉应力而是剪应力。这个理论没有考虑另外两个主应力σ1、 σ2的影响。 这个理论没有考虑另外两个主应力σ2、 σ3的影响。

15 §7.11 四种常用强度理论 Mechanic of Materials
§7.11 四种常用强度理论 二、最大拉应变理论（第二强度理论）马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽（1682年）。 Mechanic of Materials 1、 破坏原因：无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。 《教材》P.238（8-8） 2、断裂条件： 3、强度条件： 从形式上看，似乎这一理论要比最大拉应力理论完善，因为它除了考虑最大拉应力σ1 以外，还考虑了另外两个主应力σ2和 σ3的影响。 4、适用范围： 少数的脆性材料的某些应力状态 5、其它：很少的实验证实它比第一强度理论更符合实际情况

16 §7.11 四种常用强度理论 Mechanic of Materials 拓展 因为这正是拉应变的方向！
§7.11 四种常用强度理论 拓展 当混凝土块受压面上加润滑剂时，为什么破坏是沿纵向产生裂纹？ Mechanic of Materials 从形式上看，似乎这一理论要比最大拉应力理论完善，因为它除了考虑最大拉应力σ1 以外，还考虑了另外两个主应力σ2和 σ3的影响。但是很少的实验证实它比最大拉应力理论更符合实际情况。 最大拉应变理论能很好地解释象混凝土块这样的脆性材料受轴向压缩时，发生沿纵向产生裂纹的破坏现象。 因为这正是拉应变的方向！

17 §7.11 四种常用强度理论 Mechanic of Materials
§7.11 四种常用强度理论 三、最大剪应力理论（第三强度理论，屈加斯——圣文南理论。1773年杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论，当时钢材广泛应用。 Mechanic of Materials 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值 1、破坏原因： 2、断裂条件： 实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，也比其计算结果经济，在工程中得到了广泛应用。但是第三强度理论的计算结果偏于安全。 3、强度条件： 4、适用范围：塑性材料，如低碳钢等，较好解释了工程上的破坏问题，在工程上广泛应用

18 §7.11 四种常用强度理论 Mechanic of Materials
§7.11 四种常用强度理论 四、形状改变比能理论（第四强度理论，胡勃——米塞斯假说。麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论，但这是后来人们在他的书信出版后才知道的。） Mechanic of Materials 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的最大形状改变比能达到极限值。 1、破坏原因： 单拉实验测得： 2、断裂条件： 《教材》P.241 3、强度条件： 4、适用范围：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，也比其它计算结果经济，在工程中得到了广泛应用。

19 §7.11 四种常用强度理论 Mechanic of Materials 5、第三、四强度理论的另一种表达式
§7.11 四种常用强度理论 5、第三、四强度理论的另一种表达式 Mechanic of Materials 同样的应力状态在计算相当应力时第三强度理论比第四强度理论计算结果大，相对安全。

20 §7.11 四种常用强度理论 Mechanic of Materials 探讨： P P
§7.11 四种常用强度理论 探讨： 1、第三和第四强度理论哪个理论更符合实际情况呢？人们曾通过试验来验证它们符合实际情况的程度。 Mechanic of Materials 2、比较能说明问题的是下面的实验：用钢、铜、镍等塑性金属制成薄壁管，让它受内压力q和外拉力P的共同作用，得到一个二向应力状态。实验时调整P 和q ，可得到σ1、 σ2 、 σ3不同组合。 s1 P P s2 （1）第三和第四强度理论都适合用于塑性材料。但哪个理论更符合实际情况呢？人们曾通过试验来验证它们符合实际情况的程度。 （2）比较能说明问题的是下面的实验：用钢、铜、镍等塑性金属制成薄壁管，让它受内压力q和外拉力P的共同作用，得到一个二向应力状态。实验时调整P 和q ，可得到σ1、 σ2 、 σ3不同组合。 （3）第三强度理论计算的结果与试验结果相差约达10%～ 15%。而用第四强度理论计算的结果与实验误差约在5%以内。究其原因可能是第三强度理论没有考虑中间主应力σ2 的影响。此外，第四强度理论在考虑变形能时只考虑形状改变这部分能而不考虑体积改变的那部分能量。因为根据计算，剪应力只引起单元体的形状改变而不影响体积改变，而形状的改变易导致破坏。 （4）尽管如此，第三强度理论也有一些优点，如强度条件的数学表达式简单，用起来很方便，计算结果虽有误差，但偏于安全。所以这两个理论目前在工程中都普遍采用。 3、结论：第三强度理论计算的结果与试验结果相差约达10%～ 15%。而用第四强度理论计算的结果与实验误差约在5%以内。第三强度偏安全（工业设计、化工）、第四强度偏实际、经济（钢结构）。

21 Mechanic of Materials 表：四个强度理论的相当应力表达式 强度理论的分类及名称 相当应力表达式 第一类强度理论
第1强度理论 —最大拉应力理论 Mechanic of Materials 第一类强度理论 （脆断破坏的 理论） 第2强度理论 —最大拉线应变理论 第3强度理论 —最大剪应力理论 第二类强度理论 （屈服失效的 理论） 第4强度理论 —形状改变比能理论

22 § 7.12 莫尔强度理论 Mechanic of Materials 一、莫尔强度理论（修正的最大切应力理论）
§ 莫尔强度理论 一、莫尔强度理论（修正的最大切应力理论） 准则：剪应力是使材料达到危险状态的主要因素，但滑移面上所产生的阻碍滑移的内摩擦力却取决于剪切面上的正应力s的大小。 Mechanic of Materials 1.莫尔理论适用于脆性剪断： 脆性剪断：在某些应力状态下，拉压强度不等的一些材料也可能发生剪断，例如铸铁的压缩。 2、莫尔理论认为材料的剪断破坏一般发生在切应力值最大的截面上。 ①在一定应力状态下，滑移面上为压应力时，滑移阻力增大；为拉应力时，滑移阻力减小；

23 § 7.12 莫尔强度理论 二 . 强度条件的推导 Mechanic of Materials ②由实验确定剪断时的ts、sb关系：
§ 莫尔强度理论 ②由实验确定剪断时的ts、sb关系： ③不考虑s2的影响，每一种材料可通过一系列的试验，作出极限应力圆，它们的包络线是曲线，当最大应力圆恰好与包络线相接触时，材料达到极限状态；若最大应力圆位于包络线以内时，则它代表的应力状态是安全的。 Mechanic of Materials 极限应力圆：材料达到屈服时，在不同s1和s3比值下所作出的一系列最大应力圆(莫尔圆)。 二 . 强度条件的推导 强度条件： [st]—许用拉应力；[sc]—许用压应力。如材料许用拉压应力相同，则莫尔与最大剪应力准则相同。

24 § 7.12 莫尔强度理论 Mechanic of Materials t 强度极限曲线 s
§ 莫尔强度理论 s t 强度极限曲线 Mechanic of Materials 极限应力圆 极限应力圆：材料达到屈服时，在不同s1和s3比值下所作出的一系列最大应力圆(莫尔圆)。

25 § 7.12 莫尔强度理论 Mechanic of Materials t s t s 强度极限曲线
§ 莫尔强度理论 s t 纯剪切 强度极限曲线 压缩 Mechanic of Materials 拉伸 用单向拉伸、压缩和纯剪切极限应力圆作包络线 s t O D2 压缩 O2 D1 O1 拉伸 用单向拉伸和压缩极限应力圆作包络线

26 § 7.12 莫尔强度理论 Mechanic of Materials t s 考虑安全系数 O O1 O2 D2 D1 D3 O3 O1
§ 莫尔强度理论 Mechanic of Materials s t O O1 O2 D2 D1 D3 O3 O1 E2 E3 s3 s1 考虑安全系数

27 拓展：强度理论的选用原则 Mechanic of Materials
1、在三向拉应力状态下，不论是脆性或塑性材料，均发生脆性断裂，宜采用最大拉应力理论（第一强度理论）。 Mechanic of Materials 2、脆性材料：（1）在二向拉伸应力状态下及二向拉伸-压缩应力状态且拉应力较大的情况下，应采用最大拉应力理论；（2）在二向拉伸-压缩应力状态且压应力较大的情况下，应采用最大应变理论；（3）在复杂应力状态的最大、最小拉应力分别为拉、压时，由于材料的许用拉、压应力不等，宜采用莫尔强度理论。 3、塑性材料（除三向拉伸外），宜采用畸变能理论（第四强度理论）和最大切应力理论（第三强度理论）。 4、三向压缩状态下，无论是塑性和脆性材料，均采用畸变能理论。

28 统一强度理论 俞茂宏 1934~ 主要成果： 1961年提出双剪屈服准则。 1985年提出广义双剪强度理论。 1991年建立统一强度理论。 1994年提出统一弹塑性本构关系。 1997年建立平面应变问题统一滑移线场理论。 2001年建立空间轴对称问题统一特征线场理论 上述理论已为国内外一些实验所验证并得到广泛的应用。

29 Mechanic of Materials 三、强度理论计算的步骤： 1、外力分析：判变形，计算反力、截面几何性质等。
2、内力分析：画内力图，判可能的危险面。 3、应力分析：画危险面应力分布图，判危险点并画出 单元体，求主应力。 4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然 后进行强度计算。

30 所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。
强度理论例题 例2 薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4, y=7.3710-4,已知钢的E=210GPa，[]=170MPa,泊松比μ=0.3，试用第三强度理论校核其强度。 Mechanic of Materials A s x y x y A 解：由广义虎克定律得: P 式平面应力状态下的广义胡克定理 所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。

31 强度理论例题 Mechanic of Materials 例3：钢铁材料 试：校核如图塑性材料的应力单元体的强度。
解：方法一:（1）求主应力 （2）第三强度理论： ，不能用。

32 强度理论例题 钢 （3）第四强度理论： Mechanic of Materials ，可以采用。 方法二： 第三强度理论： 第四强度理论：

33 Mechanic of Materials 强度理论例题 之一
例4 图示工字钢截面简支梁，许用应力为[σ]=170MPa ，[τ]=100MPa 。试校核梁的强度。 10 Mechanic of Materials 解：(1)支反力RA=710kN=RB a (2)画内力图如图所示。 ①剪应力强度危险面于A支座的右截面、B支座的左截面，FSmax=710kN,危险点于两危险面的中性轴上各点 ②正应力强度危险面于跨中截面Mmax=870kN·m,危险点于跨中央截面的上下边缘点。 ③按第四强度理论C、D两截面是危险面，其上腹板和翼板交界处是强度理论的危险点 FSC-= FS D+=670 kN ，M= M D+=690 kN·m

34 Mechanic of Materials 强度理论例题 之二 Mmax=870kN·m,
许用应力为[σ]=170MPa ,[τ]=100MPa 。试校核梁的强度。 Mmax=870kN·m, （3）求截面的几何性质 Mechanic of Materials 10 a

35 Mechanic of Materials 强度理论例题 之三 [σ]=170MPa ,[τ]=100MPa (4)对梁进行正应力校核
故，正应力强度足够。 （5）对梁进行剪应力强度校核 故，剪应力强度足够。

36 Mechanic of Materials 强度理论例题 之四 [σ]=170MPa （6）按第四强度理论对梁C、D两截面进行强度校核 a
10 （6）按第四强度理论对梁C、D两截面进行强度校核 Mechanic of Materials a a

37 强度理论例题 之一 Mechanic of Materials
例5 图示一T型截面的铸铁外伸梁，试用莫尔强度理论校核B截面胶板与翼缘交界处b的强度。铸铁的抗拉和抗压许用应力分别为[st]=30MPa，[sc]=160MPa。 之一 Mechanic of Materials 52 20 80 120 z O 1m B 9kN A 4kN t s b 10.5kN 2.5kN 解:(1)求反力。根据截面尺寸求得： 4 6.5 2.5 FS图(kN) + - (2) 内力分析判危险面.内力图如图B-危险： M = -4kN·m，FS = -6.5kN (3) 应力分析： B-截面上拉下压， b点是拉伸区的点，同时有逆时针的剪应力, 4 2.5 M图(kN·m) + - ① 计算 B-截面b点应力

38 强度理论例题 之二 Mechanic of Materials ②截面B翼缘b点应力状态如图所示，求主应力。为：
M = -4kN·m FS = -6.5kN Mechanic of Materials 52 20 80 120 z O b ②截面B翼缘b点应力状态如图所示，求主应力。为： （4）由于铸铁的抗拉、压强度不等，应使用莫尔强度理论，有： b t s [st]=30MPa [sc]=160MPa 故满足莫尔强度理论的要求。

39 1、冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂，其原因是冰处于 应力状态，而水管处于 应力状态。
讨论： 1、冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂，其原因是冰处于 应力状态，而水管处于 应力状态。 三向压 二向拉 2、 石料在单向压缩时会沿压力作用方向的纵截面裂开，这与第 强度理论的论述基本一致。 二 3、危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料，应选用第一强度论进行计算，因为此时材料的破坏形式 。 脆性断裂

40 练习： 解：纯剪切时，三个主应力分别为： 在纯剪切应力状态下：按第三、四强度理论计算塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比
第三强度理论的强度条件为： 第四强度理论的强度条件为： 由此得： 由此得： 剪切强度条件为： 剪切强度条件为： 按第三强度理论可求得： 按第四强度理论可求得： 0.5 0.577

41 作业 P 、37 、补充

42 补充： 图示简支梁为焊接工字钢，（1）试校核梁内的最大正应力强度。（2）试校核最大剪应力强度。（3）试分别用第三、第四强度理论校核钢梁腹板和翼板交界点a的强度。