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高雄女中 林義強 John Lin.

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1 高雄女中 林義強 John Lin

2 介紹許多解法與遞迴數列相關的益智玩具 九連環、大象扭出來、河內塔、Binary Burr、瘋狂象舞、Rudenko Clips、…

3 受到(大量)的衝擊,授課時數漸漸減少 ... 思考的時空條件受到壓縮 ... 有多少學生有機會充分理解 ?
受到(大量)的衝擊,授課時數漸漸減少 思考的時空條件受到壓縮 有多少學生有機會充分理解 ? 學測 數學試題 的影響 試題的型態受限, 你還教証明嗎? 考嗎? 你覺得哪些數學內容 最重要 ?

4 許多 Mechanical Puzzles 可以將某些(數學知識)以一種類似(藝術)或是(對話)的型態呈現。

5 (解題)是一種非常 ”個人” 的經驗 許多數學題目有其獨特性,賞味期限只有一次壽命; --- 在人跟(題目)初次相遇的那一次。 --- 時機、方式,不得不慎啊 ...

6 (套住)的狀態編碼為 1 ,(分開)的狀態編碼為 0

7

8 在此基礎上,猜測數列的內容 …,似乎還是頗有些難度。
配合一些 玩的經驗 以及 充分思考 的時空條件,... 可理解 - 數列  RPk  內容 恰好就是【k連環】的解答路徑

9  RP4  有11項;解開【四連環】需要10次移動。
知道 341次移動可解開【九連環】,對(玩)幫忙不大。 重點還是 --- 數列  RPk  內容的探討。

10 要解開一個 k 連環( k ≥ 3 ),需要如下三個步驟:

11 數列  RPk  的內容由以下三個部分組成:

12 以數列  RP5  內容為例。

13 格雷碼 Gray code : 由貝爾實驗室的Frank Gray於1940年提出,用於在 PCM(脈衝編碼調變)方法傳送訊號時防止出錯,並於1953年取得美國專利。格雷碼是一個數列集合,相鄰兩數間只有一個位置上的數字差 1 ,且格雷碼的順序不唯一。 數列  RPk  中,任意相鄰的兩項之間均恰有一個位元改變, 故為一組格雷碼(Gray code)

14 根據 Rob Stegmann 先生 對現代 Mechanical Puzzles 的分類, 解法有使用到類似格雷碼概念的 Puzzles, 就稱之為 Gray code puzzles 格雷碼智玩。 例如:九連環、河內塔、大象扭出來、Binary Burr、瘋狂象舞、Rudenko Clips、…

15 Tower of Hanoi 河內塔 < http://en. wikipedia
Tower of Hanoi 河內塔 < > -- Édouard Lucas (1842~1891) 於1883發表 -- 有傳說的故事包裝,有趣 ?? -- 與高中課程內容相關程度最高,幾乎每個學校都有 …

16 編碼規則如下: (1). 由小而大圓盤依序為1, 2, 3, 4 號,每個圓盤的狀態依序對 應到一個(二進制四位數)的個位、十位、百位、千位 (2). 目標是中柱,因此,可以想像在初始狀態時中柱上已經 有一個虛擬的第5號圓盤。 (3). 遊戲目標解譯為第 k 號圓盤要蓋住第 k+1 號( k = 1, 2, 3, 4 )。 遊戲的過程中第 k 號圓盤總是有兩種狀態 有蓋住或是沒蓋住第 k+1 號圓盤; 將(有蓋住)的狀態編碼為 0,(沒蓋住)編碼為 1

17 【4圓盤河內塔】的 最短解答路徑shortest solution path , 可編碼成一個數列  HP4  ( Hanoi Path #4 )

18 在此基礎上,猜測數列  HPk  的內容 …,難度 ?
玩的經驗 以及 充分思考的時空條件,...

19 解 典型 k 圓盤河內塔問題 ( k ≥ 2 ),需要如下三個步驟:

20 數列  HPk  的內容由以下兩個部分組成:

21 以數列  HP5  內容為例。

22 一般而言,數列  HPk  有 2k 項; 前 2k–1 項 的 末 k–1 碼 恰為 逆序的  HPk–1  後 2k–1 項 的 末 k–1 碼 恰為  HPk–1  ∴  HPk  前半部與後半部的 末 k–1 碼 互相對稱

23 一般而言,數列 HPk  有 2k 項;  HPk  前半部與後半部的 末 k–1 碼 互相對稱
所有的數列  HPk  都是具有這種對稱性的格雷碼, 像這種類型的格雷碼也稱做 reflected Gray code

24 Binary reflected Gray code ( OEIS : A014550 )
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences ( OEIS ) Neil James Alexander Sloane ( ~ )

25 有些人在玩【九連環】與【河內塔】時, 會隱約感覺到兩者非常類似;
 HP4  : 1000, 1001, 1011, 1010, 1110, 1111, 1101, 1100, , 0101, 0111, 0110, 0010, 0011, 0001, 0000,  RP4  : 1111, 1101, 1100, , 0101, 0111, 0110, 0010, 0011, 0001, 0000, 有些人在玩【九連環】與【河內塔】時, 會隱約感覺到兩者非常類似;

26  HP4  : 1000, 1001, 1011, 1010, 1110, 1111, 1101, 1100, , 0101, 0111, 0110, 0010, 0011, 0001, 0000,  RP4  : 1111, 1101, 1100, , 0101, 0111, 0110, 0010, 0011, 0001, 0000, 比較 數列  RPk  與  HPk  的內容,我們確認 【k連環】與【典型河內塔問題】的玩法在數學上可以是 完全等價的。

27  HP4  : 1000, 1001, 1011, 1010, 1110, 1111, 1101, 1100, , 0101, 0111, 0110, 0010, 0011, 0001, 0000, 利用數列  HP4  的內容,我們確實可以把【四連環】由 初始狀態 (1111),移動到狀態 (1000),而那裏才是【四連環】 路徑最深之處;【k連環】亦然。

28 若以 (100…0) 作為【k連環】的初始狀態;那麼我們也可以 為【k連環】建立與【河內塔】完全一致的遞迴規則。

29 【河內塔】 新玩法: 初始狀態為 5個圓盤均套在左柱上, 目標是將 5個圓盤移動到右柱上。 增加一個限制 --- 每次移動一圓盤,且 只能移動到相鄰柱子 上
編碼規則如下: (1). 遊戲的過程中每個圓盤總是有三種狀態 套在左柱、中柱或是右柱; 套在(左柱)編碼為 2,(中柱)為 1,(右柱)為 0 (2). 將 5個由小而大的圓盤的狀態依序對應到一個 (三進制五位數)的個位、十位、百位、千位、萬位。

30 路徑數列  TP3  : ( Ternary Path #3 ) , 221, 220, 210, 211, 212, 202, 201, 200, , 101, 102, 112, 111, 110, 120, 121, 122, , 021, 020, 010, 011, 012, 002, 001, 000

31  TP1  : 2, 1, 0  TP2  : 22, 21, 20, 10, 11, 12, 02, 01, 00  TP3  : 222, 221, 220, 210, 211, 212, 202, 201, 200, , 101, 102, 112, 111, 110, 120, 121, 122, , 021, 020, 010, 011, 012, 002, 001, 000

32 解 移到鄰柱k圓盤河內塔問題 ( k ≥ 2 ),需要五個步驟:

33 數列  TPk  的內容由以下三個部分組成:

34  TPk  的項數恰為  TPk–1  項數的3倍
 TP1  : 2, 1, 0 共有 3 項,故  TP2  有 32 項,  TP3  有 33 項,…,  TPk  有 3k 項

35  TPk  的項數 有 3k 項, k 為自然數 以數列  TP3  為例,其內容 33 = 27項 如下

36 一般而言, TPk  的項數 有 3k 項 前三分之一 ( 3k–1 項 ) 的 末 k–1 碼 恰為  TPk–1  中三分之一 ( 3k–1 項 ) 的 末 k–1 碼 為逆序的  TPk–1  後三分之一 ( 3k–1 項 ) 的 末 k–1 碼 亦為  TPk–1  ∴  TPk  的 末 k–1 碼 也具有對稱性

37 一般而言, TPk  有 3k 項,其 末 k–1 碼 具有對稱性
數列  TPk  也是一種 reflected Gray code

38 Ternary Gray code ( OEIS : A128173 )
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences ( OEIS ) Neil James Alexander Sloane ( ~ )

39 謝爾賓斯基三角形 Sierpinski triangle --- 一種碎形 波蘭數學家 W. F
謝爾賓斯基三角形 Sierpinski triangle --- 一種碎形 波蘭數學家 W. F. Sierpinski ( 1882 ~ 1969 ) 於1915年提出

40 【k 圓盤河內塔】問題的所有節點與連通路徑恰構成一個 k 階的謝爾賓斯基三角形

41 【k 圓盤河內塔】問題的所有節點與連通路徑恰構成一個 k 階的謝爾賓斯基三角形

42 初始狀態(222),目標狀態(000) 解答路徑有 33 = 27 個節點 每個節點 --- 一個合法狀態
謝爾賓斯基三角形 Sierpinski triangle

43 初始狀態(222),目標狀態(000) 典型 3圓盤河內塔問題, 從 (222) 到 (000) 只需要 走底部的水平線。 已將此最短路徑 編碼為  HP3 

44 路徑數列  TP3  : , 221, 220, 210, 211, 212, 202, 201, 200, 100, 101, 102, 112, 111, 110, 120, 121, 122, , 021, 020, 010, 011, 012, 002, 001, 000 新限制 只能移動到鄰柱 使得解答路徑必須 繞過所有節點恰一次 解答路徑恰為 longest non-repetitive path 最長的不重複路徑 念數學的最愛 沒事找事 ... ?

45 機械結構大致上與河內塔相同 (較小的圓盤對應到較大的方形套環)
中間分隔的移動限制, 使得解答路徑恰為 圓盤河內塔 最長的不重複路徑 解答路徑有 37 = 2187個 節點 需移動 2186 次, 才能將 7個方形套環從最左邊都移到最右邊。 對於學數學的人,這是個有趣的新挑戰,不是太難, 大約需要很專注的20分鐘。

46 n-ary Puzzles < http://puzzles. schwandtner. info/group_nary
n-ary Puzzles < > -- Dr. Goetz Schwandtner (Extremely Puzzling) -- Some Thoughts on "Kugellager" Puzzle -- Binary Burr (Bill Cutler )、Ternary Burr (Goh Pit Khiam )、 K-419 (Kim Klobucher)、 Mysterians(Oskar van Deventer)

47 【扭出來 Spinout】 -- William Keister (1907~1997)於1972年發明 -- 將九連環的解題概念移植到一個旋鈕式的機械結構, 有七個旋鈕,每個旋鈕均有(垂直)與(水平)兩種狀態 1987年與 Binary Arts 合作生產【扭出來】

48 【大象扭出來 Elephant spinout】 -- Binary Arts ( ThinkFun ) 於1987年生產,
2000年 改版可愛大象造型的【大象扭出來】 +(快速復原)的機械結構

49 【Binary Burr】: Bill Cutler , 2003年 二進制概念移植到傳統多桿件組木結構, 獲得 IPP2003 Puzzle Design Competition 的 First Prize 【Barcode burr】: Lee Krasnow , 2004年 二進制概念移植到 6-sided center 組木結構, 獲得 IPP2004 P.D.C. 的 Honorable Mention。

50 【The Brain】: Mag-Nif 公司 1970年代開始生產 將(九連環)的概念植到圓盤結構的八連環; 每根可移動的圓棒就是(九連環)中的環
【Zankeisen】: Constantin (連環)變體 【Patience Puzzle】【Dirty Dog】: Tavern Puzzle

51 【瘋狂象舞 Crazy Elephant Dance】: --- 德國人Marcus Götz , 2005 年, 3-ary Puzzle --- 將【大象扭出來】升級到三進制; --- 五個(大象旋鈕),每個旋鈕均 有向上、向右、向下 三種狀態 --- IPP2005 P.D.C. Honorable Mention

52 【Rudenko Clips , Disc , Matryoshka】: --- 2012年 , 三個(河內塔)的變體設計 --- 俄羅斯發明家 Dr. Valery Rudenko 的設計

53 【Kugellager 軌道與球 】 -- Jean Claude Constantin , 2010年 -- 將(五進制)的概念移植到 Expandable Maze 結構 -- Dr. Goetz Schwandtner ( Kugellager 1250 moves analysis )

54 【Kugellager 軌道與球 】 --(五進制)編碼,依序為 (4444) , (4130) , (4301) , (0000) -- 解答路徑有 54 = 625 個節點, -- 從 (4444) 到 (0000) 會通過所有(5進制四位數) 所以也是一條 最長的不重複路徑

55 【Die Welle 波浪】 -- Jean Claude Constantin , 2010年 ,【Kugellager 】改版 -- (五進制)Curve Maze 結構 -- 解答路徑有 53 = 125 個節點, -- 從 (444) 到 (000) 會通過所有 (5進制三位數), 也是 一條 最長的不重複路徑

56 絕大部分的 Puzzles 都可以被視為一種(廣義的圖書資源)
在個人的家庭、班級、學校甚或社區圖書館提供這樣的 (圖書資源)給學生(借閱)、(使用) 有助於經營一個 『有思考樂趣』的學習環境

57 2009年高雄高工 試行【廣義圖書計劃 General Library Project】
也許,我們可以從教室的書櫃做起 鼓勵勇於冒險的實驗精神 自製的實驗 購買的實驗 課程的實驗 ...

58 中國古代益智遊戲(藝智堂) < http://chinesepuzzles
中國古代益智遊戲(藝智堂) < > 張衛、雷彼得, 收藏許多 珍貴的骨董級九連環

59 Rob’s Puzzle pages Rob Stegmann < http://home. comcast
Rob’s Puzzle pages Rob Stegmann < > 目前 最學術理論化的 Puzzles 文件資源

60 Extremely Puzzling - “n-ary Puzzle Pages” ; Dr
Extremely Puzzling - “n-ary Puzzle Pages” ; Dr. Goetz Schwandtner < > Extremely Puzzling - “n-ary Puzzle Pages” ; Dr. Goetz Schwandtner < > Extremely Puzzling - “n-ary Puzzle Pages” ; Dr. Goetz Schwandtner < >

61 九章出版社 < http://www. chiuchang. com
九章出版社 < > 孫文先 台北市 大安路一段 157巷8號1樓 (02) 台灣 品項最多 Puzzles Shop,有 ThinkFun 及 IPP exahanges LiveCube - 最佳的 Puzzles 的實驗器材 施宣民 ;施宣光

62 Puzzle Master Puzzles Inc. < http://www. puzzlemaster
Puzzle Master Puzzles Inc. < > 加拿大,目前全球規模最大的Puzzles Shop網站

63 Bill Cutler Puzzles, Inc. ; Bill Cutler < http://home. comcast

64 Cubic Dissection ; Eric Fuller < http://www. cubicdissection

65 Tavern Puzzles < http://www. tavernpuzzle

66 My difficulty in understanding mathematics: How was it discovered?
If you can't solve a problem, then there is an easier problem you can't solve; find it. George Pólya ( 1887 ~ 1985 ) "We turn the cube and it twists us" - Dr. Erno Rubik Things that are pleasing you can hurt you somehow. - Don Henley / Glenn Frey ( Desperado )

67 升學考試決定了我們絕大部分的教學內容, 主導我們對各種數學素材的取捨 … 但不管考試的分數如何; 永遠不要忽略 “探索” 所帶來的樂趣及可能附加的成就
有能力體會到(數學內容)多面向的樂趣; (教室數學)之外,有能力分辨 Reachable Math , Expert math 樂於持續吸收未接觸過但可理解的數學知識。 阿強 共勉

68 教一種技能,要用 train 這個字,而非 educate 。


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