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第7课 一元二次方程 要点梳理 1．定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的 一般形式： (a、b、c是已知数，a≠0) ， 其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项． 2．解法： 直接开平方法 ；因式分解法 ；配方法 ；公式法 ． 3．公式： 4．简单的高次方程、二次根式方程的概念、解法： (1)高次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数大于2的整式方程； (2)无理方程：根号内含有未知数的方程； (3)解高次方程的思想是“降次”，即把高次方程通过因式分解、换元等方法转化为一元一次方程或一元二次方程； (4)解无理方程的思想是通过方程左右两边平方、换元等方法去根号转化为整式方程，要注意验根，舍去增根．
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第7课 一元二次方程 5．二元二次方程组的概念及解法：
第7课 一元二次方程 5．二元二次方程组的概念及解法： (1)二元二次方程组：由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组或由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组； (2)解二元二次方程组的思想是“消元”，即把多元通过加减、代入、换元等方法转化为一元方程来解，或“降次”利用因式分解转化为二元一次方程组或一元一次方程来解．
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第7课 一元二次方程 考点巩固测试 1. 解下列方程： (1)3x2－75＝0；
第7课 一元二次方程 考点巩固测试 1. 解下列方程： (1)3x2－75＝0； 解 3x2－75＝0，x2＝25，x＝±5，x1＝5，x2＝－5. (2)x(x＋5)＝24； 解 x(x＋5)＝24，x2＋5x－24＝0，x1＝－8，x2＝3. (3)(y＋3)(1－3y)＝1＋2y2； (4)(3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0； 解 (3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0， (3x＋5－1)(3x＋5－4)＝0， (3x＋4)(3x＋1)＝0， x＋4＝0或3x＋1＝0，
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第7课 一元二次方程 感悟提高 (5)(1997－x)2＋(x－1996)2＝1.
第7课 一元二次方程 (5)(1997－x)2＋(x－1996)2＝1. 解 解法一：(1997－x)2＋(x－1996)2－1＝0， (1997－x)2＋(x－1997)(x－1995)＝0， (x－1997)[(x－1997)＋(x－1995)]＝0， 2(x－1997)(x－1996)＝0， x1＝1997，x2＝1996. 解法二：因为(1997－x)2＋(x－1996)2＝[(1997－x)＋(x－1996)]2－2(1997－x)(x－1996)， 所以原方程可化为：1－2(1997－x)(x－1996)＝1， 2(1997－x)(x－1996)＝0， 感悟提高 解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法．一般没有特别要求的不用配方法．
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第7课 一元二次方程 (1)(2x－1)2＝9；(用直接开平方法) 变式训练 1 用指定的方法解下列方程：
第7课 一元二次方程 变式训练 1 用指定的方法解下列方程： (1)(2x－1)2＝9；(用直接开平方法) 解 (2x－1)2＝9，2x－1＝±3，∴x＝ x1＝2，x2＝－1. (2)x2＋3x－4＝0；(用配方法) 解 x2＋3x－4＝0，x2＋3x＝4， ∴x1＝1，x2＝－4. (3)x2－2x－8＝0；(用因式分解法) 解 x2－2x－8＝0，(x－4)(x＋2)＝0， x－4＝0或x＋2＝0，x1＝4，x2＝－2.
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第7课 一元二次方程 (4)x(x＋1)＋2(x－1)＝0.(用公式法) 解 x(x＋1)＋2(x－1)＝0，x2＋x＋2x－2＝0，
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第7课 一元二次方程 2.试说明：代数式2x2－x＋3的值不小于
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第7课 一元二次方程 感悟提高 配方法是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法．在配方前，先将二次项系数2提出来，使括号中的二次项系数化为1，然后通过配方分离出一个完全平方式． 变式训练2 对于二次二项式 小聪同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11.你是否同意他的说法？说明你的理由． 解 不同意小聪的说法．理由如下：
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第7课 一元二次方程 3. (1)(2010·绵阳) 若实数m是方程x2－ ＋1 ＝0的一个根，则m4＋m－4＝ __
第7课 一元二次方程 3. (1)(2010·绵阳) 若实数m是方程x2－ ＋1 ＝0的一个根，则m4＋m－4＝ __ (2)已知a是方程x2－2009x＋1＝0的一个根，试求a2－2008a＋ 值．
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第7课 一元二次方程 感悟提高 变式训练3 (1)已知方程x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值；
第7课 一元二次方程 感悟提高 (1)利用方程根的概念，将方程的根代入原方程，再解关于待定系数的方程，就可以求出待定系数的值； (2)采用整体的思想方法，结合一元二次方程根的定义及分式加减运算的法则可得上题(2)中代数式的值． 变式训练3 (1)已知方程x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值； 解 ∵x＝2，∴4＋2k－6＝0，2k＝2，k＝1. ∴x2＋x－6＝0，x1＝2，x2＝－3. ∴方程的另一个根是－3，k＝1. (2)已知关于x的二次方程x2＋mx＋n＝0的一个解是2，另一个解是正数，且也是方程(x＋4)2－52＝3x的解．你能求出m和n的值吗？ 解 (x＋4)2－52＝3x，x2＋5x－36＝0，x1＝4，x2＝－9， ∴x2＋mx＋n＝0的两根是2和4，
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第7课 一元二次方程 (3)(2010·广州) 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实 数根，求 的值．
第7课 一元二次方程 (3)(2010·广州) 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实 数根，求 的值． 解 ∵ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根， ∴△＝b2－4ac＝0，即b2－4a＝0，b2＝4a.
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第7课 一元二次方程 感悟提高 变式训练4 已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2－9x＋20＝0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．
第7课 一元二次方程 4.已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－4x＋3＝0的解，求这个三角形的周长. 解 解方程x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3. ∵三角形的第三边a的范围是2<a<6， ∴x＝3，∴三角形的周长＝2＋4＋3＝9. 感悟提高 这道题将构成三角形的条件“三角形任何两边之和大于第三边”与一元二次方程的解结合在一起，并考查了分类讨论的思想． 变式训练4 已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2－9x＋20＝0的一个根，求这个等腰三角形的腰长． 解 解方程x2－9x＋20＝0，得x1＝4，x2＝5， 当腰长x＝4时，4＋4＝8，不合题意，舍去， ∴腰长x＝5.
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