回 顾 1、定解问题的边界条件 2、定解问题的分类与适定性 3、二阶线性偏微分方程的有关概念 4、常系数线性偏微分方程的通解

Presentation on theme: "回 顾 1、定解问题的边界条件 2、定解问题的分类与适定性 3、二阶线性偏微分方程的有关概念 4、常系数线性偏微分方程的通解"— Presentation transcript:

1 回 顾 1、定解问题的边界条件 2、定解问题的分类与适定性 3、二阶线性偏微分方程的有关概念 4、常系数线性偏微分方程的通解
数学物理方成的分类 2017/3/9 回 顾 1、定解问题的边界条件 2、定解问题的分类与适定性 3、二阶线性偏微分方程的有关概念 4、常系数线性偏微分方程的通解

2 方程的通解和特解 一般地，一个 n 阶常微分方程的通解含有 n 常数。一 个 n 阶偏微分方程的通解含有 n 个任意函数。

3 数学物理方成的分类 2017/3/9 数学物理方程的分类 考察二元二次方程： 二次型的主轴定理

4 类似地，二阶线性偏微分方程 一定可以改写为如下“形式”：

5 由二次型的性质可知，上述分类方法在区域上任一点
总是可行的；但方程在不同的点可能属于不同的类型。

6 两个自变量的情形 显然，弦的横振动方程和杆的纵振动方程是双曲型方程； 一维扩散和传导方程是抛物型方程；二维静电场方程是椭圆型 方程。
（三维波动方程、扩散和传导方程以及三维Poisson方程和Schrödinger方程 是什么类型的方程？）

7 常系数线性偏微分方程

8 行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有效.
行波法 d’Alembert公式 行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有效. 一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为：

9

10 d’Alembert公式

11 d’Alembert公式的应用 齐次偏微分方程的求解 （P172） 2.非齐次偏微分方程的求解
该体系在外力作用下开始振动，可以看作外界持续给体系 施加以冲量，体系的振动即为持续冲量效果的叠加。从这一思 路出发求解问题被称为冲量原理法。

12

13 根据以上分析，易得上述纯受迫振动的解为：

14 例 7.5 求解如下定解问题：

15 例 7.6 求解如下定解问题：

16 求出问题的通解，然后再结合定解条件确定满足
相应初始条件和边界条件的特解，仅对非常有限的问 题适用，很多定解问题很难直接求出通解。更为普遍 的处理办法是把泛定方程和定解条件作为整体处理， 直接求出定解问题的解。

17 数学物理方程的求解 1.行波法； 2.分离变量法； 3.幂级数解法； 4.格林函数法； 5.积分变换法； 6.保角变换法； 7.变分法；
8.计算机仿真解法； 9.数值计算法 数学物理方程的求解

18 第七章 作 业 P161 1. P