第3节 二次型与二次型的化简 一、二次型的定义 二、二次型的化简（矩阵的合同） 下页.

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1 第3节 二次型与二次型的化简 一、二次型的定义 二、二次型的化简（矩阵的合同） 下页

2 O x y ax2 + 2bxy + cy2 = 1 a b b c O x y x2 25 + y2 9 = 1 3 5 1/25 0
二次型概念的引入 O x y ax2 + 2bxy + cy2 = 1 a b b c O x y x2 25 + y2 9 = 1 3 5 1/ /9 下页

3 一、二次型的定义 定义1 含有n个变量的二次齐次多项式 叫做n元二次型，当二次型的系数aij ( i, j=1,2, …,n)都是实数时,
称为实二次型. 特别地, 只含有平方项的n元二次型称为n元二次型的标准形. 下页

4 练习： 下页

5 二次型的矩阵形式 令 得 下页

6 下页

7 ，其中 下页

8 实对称矩阵称A为二次型系数矩阵, A的秩称为二次型的秩.
,其中 实对称矩阵称A为二次型系数矩阵, A的秩称为二次型的秩. 若二次型f是标准形 则 f 的矩阵形式为 ,其中 ,即其系数矩阵是对角矩阵. 下页

9 例1. 写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩.
例1. 写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩. (1) (2) 解: (1)二次型 系数矩阵为 因r(A)=3, 故二次型的秩等于3. (2)二次型 系数矩阵为 因r(B)=2, 故二次型的秩等于2. 下页

10 x = xcos  ysin y = xsin + ycos 二次曲线ax2+bxy+cy2 =1
二次型的化简 二次曲线ax2+bxy+cy2 =1 m(x')2 + n(y')2 = 1 x = xcos  ysin y = xsin + ycos O x y y O x 下页

11 若|P|≠0，则上述线性变换称为可逆(满秩)线性变换. 问题：如何找一个可逆线性变换X=PY，使得将其代入二次型
化二次型为标准形 由变量y1, y2,…, yn到x1, x2,…, xn的线性变换 记作 X=PY. 若|P|≠0，则上述线性变换称为可逆(满秩)线性变换. 问题：如何找一个可逆线性变换X=PY，使得将其代入二次型 后，得到新的二次型只含变量的平方项的形式(标准形) . 下页

12 上式右端是关于变量y1, y2,…, yn的二次型. 如果其为标准形为
现将X=PY代入二次型，得 上式右端是关于变量y1, y2,…, yn的二次型. 如果其为标准形为 比较上式两端得： 所以，寻求满秩线性变换X=PY，把二次型 f (X) 化为标准型，从矩阵的角度讲，就是寻求满秩方阵P，使得 下页

13 二、矩阵的合同 定义2 设A,B为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使 则称A与B合同，也称矩阵A经合同变换化为B，记做A B
性质： （4）合同变换不改变矩阵的秩 （5）对称矩阵经合同变换仍化为对称矩阵 下页

14 我们知道，化二次型f (X)为标准形的问题，就是寻求可逆方阵P， 使A合同于对角矩阵，即
即对于一个n阶实对称矩阵A，总存在可逆矩阵P， 使得 其中r是矩阵A的秩。当r>0时， 下页

15 常用化二次型为标准型的方法有： （1）配方法 （2）合同变换法 （3）正交变换法 结束

16 作业：129页 14 补充题：写出下列二次型的矩阵形式. 结束