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§7.6 二重积分 二重积分的概念 二重积分的性质 二重积分的计算 小结 思考与练习
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在这一节，我们将把一元函数定积分的概念及基本性
二重积分的概念 在这一节，我们将把一元函数定积分的概念及基本性 质推广到二元函数的定积分，即二重积分，为引出二重积 分的概念，我们先来讨论两个实际问题。 1.曲顶柱体的体积 体积公式来计算，但可采用这样的思想方法 体积公式来计算，但可采用这样的思想方法
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（1）分割 （2）近似 （2）近似
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即 即
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(3)求和 就得到所求的曲顶柱体的体积的近似值， 即 （4）取极限 即 即
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2.平面薄板的质量 2.平面薄板的质量
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定义 上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。 在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的
和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下 述二重积分的定义。 定义 上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的和的极限。 定义
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如果当个小闭区域的直径中的最大值 趋于零时， 最后附带指出，在二重积分的定义 这和的极限总存在，则称此极限为函数
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边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭 区域。任取一小区域
也就是说，在直角坐标系下，有 边界
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性质1 性质2 二重积分的性质 二重积分与一元函数定积分有类似的性质。下面所涉及 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面， 即
函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重 二重 性质1
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性质3 性质4 此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。 此性质的几何意义很明显，因为高为1的平顶柱体的体积在 数值上就等于柱体的底面积。
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性质5 特殊地，由于 又有不等式 性质6 性质 特殊地，由于 又有不等式
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性质7（二重积分的中值定理） 使得下式成立 性质7（二重积分的中值定理） 使得下式成立
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按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的
二重积分的计算 按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的 被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区 域来说，这不是一种切实可行的方法。 1.在直角坐标系下二重积分的计算 三、二重积分的计算 在直角坐标系下二重积分的计算
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其截面是一个曲边梯形，这个曲边梯形的“曲边”是曲线
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由于整个曲顶柱体的体积为 由此，可得 或者写成 由于整个曲顶柱体的体积为 由此，可得 或者写成
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定理7.9 记作 因此，等式7.6也写成 定理 记作 因此，等式7.6也写成
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定理 设区域D为 记作 定理 设区域D为
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上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们
二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而积分限是根据积分区域D的类型来确定的。 二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而 积分限是根据积分区域D的类型来确定的。
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例1 解 对于较复杂的积分区域，在化二重积分为二次积分时， 为了计算简便，需要选择恰当的二次积分次序。这时，既要
考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数 下面举例说明如何利用公式(7.6)计算二重积分。 例1 对于较复杂的积分区域，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，下面 例 解 解
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（2）定限 （3）计算 例2 （2）定限 （3）计算 例2
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解 （3）计算 解 （3）计算
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下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式.
2.在极坐标系下二重积分的计算 按二重积分的定义有 下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式. 按二重积分的定义有 下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式. 曲线相交不多于两点,我们用以极点为中心的一族同心圆:
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于是 于是 即
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这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换
由于在直角坐标系中 也常记作 所以,上式又可写成 这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换 这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式,其中 公式（7.8）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的 公式（7.8）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变 变换为极坐标，只要把被积函数中的
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接下来的问题，仍然是要将它化成二次积分来计算。为
接下来的问题，仍然是要将它化成二次积分来计算。为简便起见，一般都
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二重积分化为二次积分的公式为 （7.9） 上式也写成 二重 上式也写成 （7.9）
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例3 解 例3
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作业 P 习题22 习题24 习题26（2） 习题31
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