第七章 直线与圆的方程 第1节 直线方程.

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1 第七章 直线与圆的方程 第1节 直线方程

2 要点·疑点·考点 1.倾斜角、斜率、截距 直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角.倾斜角的取值范围是［0，π］
(2)若直线的倾斜角为α(α≠90°)，则k＝tanα，叫做这条直线的斜率.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率 (3)直线的横截距是直线与x轴交点的横坐标，直线的纵截距是直线与 y 轴交点的纵坐标.

3 2.直线方程的五种形式. (1)点斜式：设直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则直线l 的方程为y-y0＝k(x-x0) (2)斜截式：设直线 l 斜率为k，在y 轴截距为b，则直线l 的方程为y＝kx+b (3)两点式：设直线 l 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) x1≠ x2，y1≠y2则直线 l 的方程为(y-y1)/(y2-y1)＝(x-x1)/(x2-x1) (4)截距式：设直线 l 在x、y轴截距分别为a、b(ab≠0)则直线l的方程为x/a+y/b＝1. (5)一般式：直线l的一般式方程为Ax+By+C＝0(A2+B2≠0)

4 课 前 热 身 1.设θ∈R，则直线xsinθ-√3y+1＝0的倾斜角的取值范围为____________________________________ [0°，30°]∪[150°，180°). 2.直线 l 经过点M(2，1)，其倾斜角是直线x-3y+4＝0的倾斜角的2倍，直线 l 的方程是__________________ 3x-4y-2＝0. 3.经过点(2，1)，且方向向量为v=(-2,2)的直线l的方程是_____________. x+y-3=0

5 4.过点(-1，1)在x轴与y轴上截距的绝对值相等的直线有________.
2条 5．A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为( ) (A)2x-y-1=0 (B)x+y-5=0 (C)2x+y-7=0 (D)2y-x-4=0 B 6曲线y=2x-x3在点(-1，-1)处的切线方程是( )  Ax+y+2=0 Bx+y+3=0 Cx+y+4=0 Dx+y+5=0 A

6 能力·思维·方法 1.过点P(2，1)作直线l交x、y轴的正半轴于A、B两点， 当｜PA｜·｜PB｜取到最小值时，求 直线l的方程.
【解题回顾】①本题还可以求｜OA｜+｜OB｜与三角形AOB面积的最值；②求直线方程的基 本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量；③在研究最值 问题时，可以从几何图形开始，找到取最值时的情形，也可以从代数角度去考虑，构建目标 函数，进而转化为研究函数的最值问题.

7 2．直线l 被两条直线l1：4x+y+3=0和l2：3x-5y-5=0截得的线段中点为P(-1，2)，求直线l 的方程.
【解题回顾】除以上解法外，设点斜式为y-2=k(x+1)，再由中点概念求k也是可行的.

8 3.如图，设△ABC为正三角形，边BC、AC上各有一点D、
E，而且|BD|= |BC|，|CE|= |CA|，AD、BE交于P. 求 证：AP⊥CP. 【解题回顾】数形结合强调较 多的是将代数问题几何化， 而解析法则是通过坐标系将几 何问题代数化.

9 4.已知直线l:y=ax+2和A(1，4)，B(3，1)两点，当直线l与线段AB相交时，求实数a的取值范围.
率a与直线AC、BC的斜率的 大小关系时，要注意观察图 形.请读者研究，如果将本题 条件改为A(-1，4)，B(3，1)，结论又将如何?

10 延伸·拓展 5.已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线 与函数y=log2x的图象交于C、D两点. 证明：点C、D和原点O在同一直线上. 【解题分析】只须证明OC与OD两条直线的斜率相等.

11 第2节 两条直线的位置关系

12 要点·疑点·考点 1．两条直线的平行与垂直 两条直线有斜率且不重合，则l1∥l2k1=k2 两条直线都有斜率，l1⊥l2k1·k2=-1
若直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则l1⊥l2  A1A2+B1B2=0 无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便.

13 2.两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，把l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角，l1到l2的角的范围是(0，π)．l1与l2所成的角是指不大
于直角的角，简称夹角.到角的公式是 ，夹 角公式是 ，以上公式适用于两直线斜率都 存在，且k1k2≠-1，若不存在，由数形结合法处理.

14 3.若l1：A1x+B1y+C1=0(A1、B1不同时为零)，l2：A2x+B2y
当A1/A2≠B1/B2时，l1与l2相交， 当A1/A2=B1/B2≠C1/C2时，l1∥l2； 当A1/A2=B1/B2=C1/C2时，l1与l2重合，以上结论是针对l2的系数不为零时适用. 4.点到直线的距离公式为： 5.两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的距离 为：

15 课 前 热 身 1.已知点P(1，2)，直线l:2x+y-1=0，则过点P且与直线l平行的直线方程为__________，过点P且与直线l垂直的直线方程为___________；过点P且直线l夹角为45°的直线方程为 ____________________；点P到直线L的距离为____，直线 L与直线4x+2y-3=0的距离为_________ zx+y-4=0 x-2y+3=0 3x+y-5=0或x+3y-7=0 2.若直线l1：mx+2y+6=0和直线l2:x+(m-1)y+m2-1=0平行但不重合，则m的值是______. -1 3．若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=-2x+4的交点在第一象限，则k的取值范围是______________. -2/3＜k＜2

16 4.使三条直线4x+y=4，mx+y=0，2x-3my=4不能围成三角形的实数m的值最多有____个.
5.点(1，1)关于点(2，3)的对称点为(3，5)，点(1，1)关于直线x-y+1=0的对称点为(0，2) ， 直线2x+y=0关于直线x-y+1=0对称的直线方程是x+2y-1=0. 5.点(1，1)关于点(2，3)的对称点为 ，点(1，1)关于直线x-y+1=0的对称点为 ，直线2x+y=0关于直线x-y+1=0对称的直线方程是 

17 能力·思维·方法 1.已知二直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my-1=0.试确定m、n的值，使
①l1与l2相交于点P(m,-1)； ②l1∥l2； ③l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为-1. 【解题回顾】若直线l1、l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0，则l1∥l2的必要条件是A1B2-A2B1=0，而l1⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0.解题中为避免讨论，常依据上面结论去操作.

18 2.已知△ABC的顶点A(3，-1)，AB边上的中线所在直线方程为6x+10y-59=0，∠B的平分线所在直线的方程为：x-4y+10=0，求BC边所在的直线的方程.

19 【解题回顾】本题在处理角平分线时，是利用直线BC到BT的角等于BT到AB的角(由图观察得到)进而利用到角公式求得直线BC的斜率，但同时也应注意，由于直线BT是∠B的角平分线，故直线BA与BC关于直线BT对称，进而可得到A点关于直线BT的对称点A′在直线BC上，其坐 标 可由方程组 解得 即为(1，7)，直线BC的方程即为直线BA′的方程.

20 3.直线l过点(1，0)，且被两平行直线3x+y-6=0和3x+y+3=0所截得的线段长为9，求直线l的方程.
【解题回顾】(1)解法一给出了这类问 题的通法，即设出直线的方程(通过 设适当的未知数)进而利用条件列出相 关的方程，求出未知数； (2)本题解法二巧妙地利用两平行直 线之间的距离和直线l被两平行直线所截得的线段长之间的关系，求得直线l与两平行直线的夹角，进而求得直线的斜率； (3)与已知直线夹角为θ(θ为锐角)的直线斜率应有两个，若只求出一个，应补上倾斜角为π2的直线.

21 4.已知点P是直线l上的一点，将直线l绕点P逆时针方向旋转α(0＜α＜π/2),所得直线l1的 方程为3x-y-4=0,若继续绕点P逆时针方向旋转π/2-α，则得直线l2的方程为x+2y+1=0,求直 线l的方程. 答案：2x-y-3=0

22 延伸·拓展 5.已知数列｛an｝是公差d≠0的等差数列，其前n项和为Sn. (1)求证：点 在同一直线l1上.
(2)若过点M1(1，a1)，M2(2，a2)的直线为l2，l1、l2的夹角为 ， 【解题回顾】本题是直线方程与数列、不等式的一个综合 题，关键是把 看成一个等差数列，同时也是关于n的 一次函数，进而转化为直线方程.

23 误解分析 不能把 灵活变换角度看成关于n的一次函数，进而转化 为直线方程是出错的主要原因.

24 第3节 线性规划

25 要点·疑点·考点 1.二元一次不等式表示平面区域
(1)二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线l:Ax+By+C=0一侧所有点组成的平面区域，直线l应画成虚线，Ax+By+C＜0，表示直线 l 另一侧所有点组成的平面区域.画不等式 Ax+By+C≥0(≤0)所表示的平面区域时，应把边界直线画成实线. (2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

26 2.线性规划 (1)对于变量x,y的约束条件，都是关于x,y的一次不等式，称为线性约束条件，z=f(x,y)是欲达到最值所涉及的变量x,y的解析式，叫做目标函数.当f(x,y)是关于x,y的一次解析式时，z=f(x,y)叫做线性目标函数. (2)求线性目标函数在约束条件下的最值问题称为线性规划问题，满足线性约束条件的解(x,y)称为可行解.由所有解组成的集合叫可行域，使目标函数取得最值的可行解叫最优解.

27 课 前 热 身 3.已知x,y满足约束条件 ，则z= 2x+4y的最小值为( ) (A)6 (B)-6 (C)10 (D)-10 B
 1.不等式x+2y-1≥0表示直线x+2y-1＝0( ) (A)上方的平面区域 (B)上方的平面区域(含直线本身) (C)下方的平面区域 (D)下方的平面区域(含直线本身) B 2.已知A(1，1)，B(5，3)，C(4，5)，平面区域是△ABC的约束条件是 x-2y+1≤0 4x-3y-1≥0 2x+y-13≤0(包含边界) 3.已知x,y满足约束条件 ，则z= 2x+4y的最小值为( ) (A) (B) (C) (D)-10 B

28 4.平面内满足不等式组 的所有点中，使 目标函数z=5x+4y取得最大值的点的坐标是________ (4，0) 5.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界)，目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为( ) (A)-3 (B)3 (C)-1 (D)1 A

29 能力·思维·方法 1．若x,y满足条件 ，求z=x+2y的最 大值和最小值.
【解题回顾】画可行域时，先画出相应的几条直线，在确定最值时注意 t 的几何意义.

30 2．某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg要用煤9吨，电力4kw，劳力(按工作日计算)3个；制造乙产品1kg要用煤4吨，电力5kw，劳力10个.又知制成甲产品1kg可获利7万元，制成乙产品1kg可获利12万元，现在此工厂只有煤360吨，电力200kw，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益?

31 【解题回顾】(1)用线性规划的方法解题的一般步骤是：设未知数、列出约束条件及目标函数、作出可行域、求出最优解、写出答案.
(2)本例的关键是分析清楚在哪一个点取最大值. 可 以先将z=7x+12y化成 ，利用直线的 斜截式方程可以看出在何处取得最大值.

32 3．要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每张钢板可同时截成三种规格小钢板块数如下表：
1 第二种钢板 2 第一种钢板 C B A 种类 块数 规格 每块钢板面积第一种1平方单位，第二种2平方单位，今需要A，B，C三种规格的成品各式各12，15，27块，问各截这两种钢板多少张，可得到所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小.

33 【解题回顾】由于钢板的张数为整数，所以必须寻找最优整数解.调优的办法是在以z取得最值的附近整数为基础通过解不等式组可以找出最优解.

34 延伸·拓展 4.已知x-y+1≥0 x+2y-4≥0 4x+y-8≤0,求z=x2+y2与u=y/x的最大值.
【解题回顾】本题函数中的两个变量满足的条件是不等式组，利用函数的几何意义在平面 区域内找点是关键，这可以使我们更深刻地理解线性规划，更灵活地运用线性规划.

35 5.某人上午7时，乘摩托艇以匀速V海里/时(4≤V≤20)从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以匀速W千米/时(30≤W≤100)自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是x、y小时，如果已知所要经费P=100+3·(5-x)+2·(8-y)(元)，那么V、W分别是多少时，走得最经济，此时需花费多少元? 【解题回顾】要能从实际问题中，建构有关线性规划问题的数学模型.

36 误解分析 (1)题设中已知量较多，建构不出有关数学模型导致出错. (2)不能将其转化为线性规划问题，也是出错原因之一.

37 第4节 圆

38 要点·疑点·考点 1．定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合(或轨迹)是圆. 2．标准方程
设圆心C(a,b)，半径为r，则标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.当圆心在原点时，圆的方程为x2+y2=r2. 3.一般方程 当D2+E2-4F＞0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程.

39 4．二元二次方程表示圆的充要条件 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程  A=C≠0 B=0 D2+E2-4AF＞0 5．圆的参数方程 设圆心C(a,b)，半径为r,则参数方程为 ( 为参数)

40 1.已知方程x2+y2-2kx+2k+3=0表示圆，则k的取值范围是 ，
课 前 热 身 1.已知方程x2+y2-2kx+2k+3=0表示圆，则k的取值范围是 ， 此时圆心在 轴上. (-∞,-1)∪(3,+∞) x 2.若过点(4，2)总可以作两条直线与圆(x-3m)2+(y-4m)2=5(m+4)相切，则m的范围是( ) (A) (B) (C) (D) 或 D

41 3. k∈R，直线(k+1)x-ky-1=0被圆(x-1)2+(y-1)2=4截得的弦长是( )
(A) (B) (C) (D)值与k有关 C 4.过圆x2+y2=4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆方程是( ) (A)(x-4)2+(y-2)2= (B)x2+(y-2)2=4 (C)(x+2)2+(y+1)2= (D)(x-2)2+(y-1)2=5 D 5.若点A、B分别在圆x2+y2=a，x2+y2=b(a≠b)上，则 OA·OB(O为原点)的取值范围是____________

42 能力·思维·方法 1.已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程.
【解题回顾】一般地，以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径两端点的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y -y1)(y-y2)=0，此结论被称为圆的直径式方程，注意此结论在解题时灵活运用，可带来许多 方便.

43 2. 求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截下的弦长为2√7的圆的方程.
【解题回顾】求圆的方程有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是： ①根据题意选择方程的形式，标准形式或一般形式；②利用条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般式方程.

44 3. 已知实数x,y满足x2+y2+2x-2√3y=0，求x+y的最小值.
【解题回顾】(1)本题可以理解成在约束条件下，求目标函数z=x+y的最值.因此可以按线性规划思想求解.先作出可行域是一个圆，再平行移动直线x+y=0,相切时的两切线中的较小截距即为所求. (2)通过数形结合，本题也可求如x2+y２、 形式的 最值.

45 延伸·拓展 4. 已知 x2+y2=z2，x,y,z,a,b∈R+. 求证：
【解题回顾】本题也可用分析法求证，即要证原不等式成立，即证(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2).

46 5.在△ABC中，已知 ，P是内切 圆上一点，求PA2+PB2+PC2的最大值与最小值. 【解题回顾】①对于圆上的动点，常常利用圆的参数方程，设其坐标为(a+rcosθ，b+rsinθ)；②在求某一变量的最值时，常构造一个目标函数加以解决，如本题中，PA2+PB2+PC2=80-8sinθ,θ=∠EOP∈[0,，2π].

47 误解分析 1. 求圆的方程时，一般要建立三元方程组求a,b,r或D,E,F，解方程组时，不要漏解.

48 第5节 直线与圆的位置关系

49 要点·疑点·考点 1.点与圆 设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2则

50 2.线与圆 (1)设直线l，圆心C到l的距离为d．则 圆C与l相离d＞r， 圆C与l 相切d=r， 圆C与l 相交d＜r， (2)由圆C方程及直线l的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为Δ，则 l 与圆C相交Δ＞0， l 与圆C相切Δ=0， l 与圆C相离Δ＜0

51 3.圆与圆 设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，则 两圆相离|O1O2|＞r1+r2， 外切 |O1O2|=r1+r2， 内切|O1O2|=|r1-r2|， 内含|O1O2|＜|r1-r2|， 相交|r1-r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|

52 课 前 热 身 1在圆x2+y2=4上，与直线4x+3y-12=0的距离最小的点的坐标是( )
(A)8/5，6/ (B)8/5，-6/5 (C)-8/5，6/ (D)-8/5，-6/5 A  2已知⊙O1：x2+y2=2 ⊙O2:(x-2)2+(y-3)2=1,则以M(1，1)为切点的⊙O1的切线方程为x+y= 2,过点M作⊙O2的切线，其方程为3x-4y+1=0和x=1，此时M点到切点的距离为2.  2已知⊙O1：x2+y2=2 ⊙O2:(x-2)2+(y-3)2=1,则以M(1，1)为切点的⊙O1的切线方程为 ,过点M作⊙O2的切线，其方程为 ，此时M点到切点的距离为 .

53 4.两圆x2+y2-6x+4y+12=0和x2+y2-14x-12y+14=0的位置关系是( )
(A)相离 (B)外切 (C)相交 (D)内切 C 5.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a＞0)及直线l：x-y+3=0当直线l被C截得的弦长为 时，则a=( ) (A) (B) (C) (D) C

54 能力·思维·方法 1.已知点P(-2，-2)，圆C：(x-1)2+(y+1)2=1,直线l过点P，当斜率为何值时l与圆C有公共 点?
【解题分析】可先判断P与圆C的关系，若在圆内或圆上，则k可取任何实数，若在圆外， 切线是特殊直线，有两种思路：一是用纯代数、纯方程组思想解决，二是借助于图形的几何 性质解决.  【解题回顾】解析几何问题，往往有两种思路，其中结合平面几何图形的性质，可使解答 简捷明快，解决直线和圆的关系问题，一般用“圆心到直线距离与半径大小比较”来解题.

55 2已知点P(0，5)及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0.
(1)若直线l过点P且与⊙C的圆心相距为2，求l的方程； (2)求过P点的⊙C的弦的中点轨迹方程. 【解题分析】解决(1)用点到直线的距离公式，解决(2)用求轨迹方程的常见方法.

56 3.直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-5y=0交于两点A、B，且OA⊥OB
(O为原点)，求m的值. 【解题回顾】解法1利用圆的性质，解法2是解决直线与二次曲线相交于两点A，B且满足OA⊥OB(或AC⊥BC，其中C为已知点)的问题的一般解法.

57 延伸·拓展 4．过点P(-2，-3)作圆C：(x-4)2+(y-2)2=9的两条切线，切点分别为A、B.求：
(1)经过圆心C，切点A、B这三点的圆的方程； (2)直线AB的方程； (3)线段AB的长.

58 【解题回顾】①直线和二次曲线相交，所得弦的弦长是
或 ，这对直线和圆相交 也成立，但直线和圆相交所得弦的弦长更常使用垂径定理和勾股定理求得； ②⊙O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙O2：x2+y2+D2x+E2y+F2 =0相交时，公共弦方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.

59 5.从圆C：x2+y2-4x-6y+12=0外一点P(a,b)向圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO|(O为原点)．求|PT|的最小值及此刻P的坐标.

60 【解题回顾】在2a+3b-6=0的条件下求|PT|2=a2+b2的最小值的方法还有几种.
①求圆r2=a2+b2与直线2a+3b-6=0有公共点时的最小半径的平方，此刻圆与直线相切，即原点到直线2a+3b-6=0的距离的平方. ②用三角函数方法.由|PT|2=a2+b2，可设a=|PT|cosα，b=|PT| sinα．代入2a+3b-6=0，得2|PT|cosα+3|PT|sinα=6，于是应该有(2|PT|)2+(3|PT|)2≥36. 即得|PT|≥ ，此刻点P的坐标是

61 误解分析 1.求过定点的圆的切线方程，一定要判定点的位置，若在圆外，一般有两条切线，容易遗漏斜率不存在的那一条.
2.在课前热身4中，判断两圆关系得到|O1O2|＜|r1+r2|，未必相交，还可能内含，一定要追加|O1O2|＞|r1-r2|才行.

62 作业： 1.苏大、自测 ，同步！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
2.和我一起群扁王永智！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！