第二章 機率.

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1 第二章 機率

2 目　錄 2-1 集合的基本概念 2-2 樣本空間與事件 2-3 機率 2-4 數學期望值

3 2-1 2-1 集合的基本概念

4 集合的表示法 描述一個集合除了用文字敘述外，另有兩 種表示法： 1.表列法

5 集合的表示法 (續) 1.購式法 一般來說對於元素個數較多或元素個數為無限個的集合，用構式法較為方便。

6 集合與集合之間的關係 一、子集（部分集合）

7 集合與集合之間的關係 (續) 二、空集合

8 例題1

9 例題1

10 例題1 (續)

11 隨堂練習1 若集合 A 有9個相異元素，則 A 的子集 共有幾個？

12 集合與集合之間的關係 (續) 三、集合的相等

13 例題2

14 隨堂練習2

15 2-1.3 集合與集合之間的運算 一、交集

16 2-1.3 集合與集合之間的運算(續) 二、聯集

17 2-1.3 集合與集合之間的運算(續) 三、差集

18 2-1.3 集合與集合之間的運算(續) 四、字集 (基集) 與補集 (餘集)

19 2-1.3 集合與集合之間的運算(續)

20 例題3

21 例題3 (續)

22 隨堂練習3

23 例題4

24 例題4 (續)

25 隨堂練習4

26 元素個數與笛摩根定律 1.若集合 A 的元素個數為有限時， 表示集合 n(A) 的元素個數。 　由圖示法我們可以得到：

27 元素個數與笛摩根定律 (續)

28 元素個數與笛摩根定律 (續)

29 例題5

30 例題5

31 例題5 (續)

32 隨堂練習5 在1到300的自然數中，試求 (1) 不是3的倍數共有幾個？ (2) 3或5的倍數共有幾個？

33 2-2 2-2 樣本空間與事件

34 2-1 樣本空間與事件 (1)樣本空間：一個隨機試驗中，所有可能發 生的結果所形成的集合，稱為此試驗的樣本空間，通常以 S 表示。
2-1 樣本空間與事件 (1)樣本空間：一個隨機試驗中，所有可能發 生的結果所形成的集合，稱為此試驗的樣本空間，通常以 S 表示。 (2)樣本：樣本空間中的每一個元素，稱為一個樣本。 (3)事件：樣本空間中的每一個子集，稱為一個事件。

35 2-1 樣本空間與事件 (4)必然事件：樣本空間本身，即 稱為必然事件或全事件。（例如：擲一枚硬幣出現正面或反面的事件）
2-1 樣本空間與事件 (4)必然事件：樣本空間本身，即 稱為必然事件或全事件。（例如：擲一枚硬幣出現正面或反面的事件） (5)不可能事件：空集合為樣本空間中之一子集，稱為不可能事件或空事件。（例如：擲一粒公正骰子，出現點數7的事件） (6)餘事件：以樣本空間為宇集，事件 A 的餘集 A' 稱為 A 的餘事件。

36 2-1 樣本空間與事件 (續) (7)和事件：發生事件 A 或發生事件 B 的事件，即 A∪B。
2-1 樣本空間與事件 (續) (7)和事件：發生事件 A 或發生事件 B 的事件，即 A∪B。 (8)積事件：發生事件 A 且發生事件 B 的事件，即 A∩B 。 (9)互斥事件： 表樣本空間中兩事件，若 A∩B≠Ø，稱 A、B 為互斥事件。

37 例題1 投擲一枚均勻硬幣二次，觀察其出現正面或反面，試寫出： (1)樣本空間 S。 (2)出現一正面一反面的事件 E。
(1) { (x,y)│x 為硬幣第一次投擲出現情形， 為硬幣第二次投擲出現情形 }＝{ (正,正),(正,反),(反,正),(反,反) }。

38 例題1 (續) (2)每一枚硬幣都有正面與反面，投擲 二次，發生一正面一反面的可能情形 為 (正,反),(反,正)，故樣本空間 { (正,
反),(反,正) }。

39 隨堂練習1 1.投擲一枚均勻硬幣三次，觀察其出現正面或反面，試寫出： (1)樣本空間 S。 (2)出現正面恰好二次的事件 E。

40 例題2 投擲一粒公正骰子兩次，觀察其出現的點數，試寫出： (1)兩次的點數和為6的事件。 (2)兩次的點數相同的事件。
(1)設 (x,y) 表 ( 第一次點數 , 第二次點數)，則點數和為6的事件為 { (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) }。

41 例題2 (續) (2)點數相同的事件為 { (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) }。

42 隨堂練習2 同時擲一粒公正骰子及一枚均勻硬幣，試寫出：(1)樣本空間 S。　(2)骰子點數為偶數且硬幣出現反面的事件。

43 例題3 由甲、乙、丙、丁四人中任選兩人參加比賽，試寫出： (1)樣本空間 S。 (2)乙入選的事件 E。

44 例題3 (續)

45 隨堂練習3 由1到10共10個自然數中，每次取一個數，試寫出： (1)樣本空間 S。　(2)取到質數的事件 E。

46 2-3 2-3 機 率

47 機率的定義 定義2.1

48 機率的定義 這個定義是由法國數學家拉普拉斯（Pierre Simon Laplace）所提出的，所以又稱拉普拉斯古典機率。

49 例題1 投擲一粒公正骰子（即各種點數出現的機會相等），試求下列各事件發生的機率： (1)點數為奇數點。　　(2)點數為3的倍數。

50 例題1 (續)

51 隨堂練習1 同時投擲三枚均勻硬幣，試求下列事件發生的機率： (1)恰有二個反面。　　(2)至少有一個反面。

52 例題2 同時投擲兩粒公正骰子，試求點數和小於10的機率。

53 例題2

54 例題2 (續)

55 隨堂練習2 投擲二粒公正骰子，求下列各事件發生的機率： (1)點數和為6。　(2)至少有一粒出現6點。

56 例題3 甲、乙、丙三人合住一室，每天抽籤決定一人打掃，試求在三天中恰好每人各打掃一天的機率？

57 隨堂練習3 三張牌分別寫上1，2，3號碼，任意分給2位男生和1位女生各一張牌，求女生分到3號牌的機率？

58 例題4 設袋中有10顆大小相同的球，其中2顆是白球，3顆是紅球，5顆是黑球，甲自袋中隨機同時取3顆球，每顆球被取出的機會均等，試求這三顆球皆異色的機率。

59 例題4 (續)

60 隨堂練習4 一個袋子中有5顆紅球、3顆白球、2顆黑球和1顆黃球，如果球的大小、重量皆一樣，由袋中取出二球，每顆球被取出的機會均等，球的顏色相同的機率是多少？

61 2-3.2 機率的性質 根據拉普拉斯古典機率的定義，我們可以導出下列機率的性質： 1.全事件的機率為1，即 P(S)。

62 2-3.2 機率的性質 (續)

63 例題5

64 例題5 (續)

65 隨堂練習5

66 例題6 同時投擲三粒公正骰子，試求三粒骰子中至少有一粒點數為1的機率。

67 例題6 (續)

68 隨堂練習6 同時投擲四枚均勻硬幣，求至少出現一次正面的機率。

69 例題7

70 例題7 (續)

71 例題7 (續)

72 隨堂練習7

73 隨堂練習7 (續)

74 2-4 2-4 數學期望值

75 2-4 數學期望值 定義2.2

76 2-4 數學期望值 (續) 定義2.2

77 2-4 數學期望值 (續) 定義2.2

78 例題1 投擲一粒公正骰子，若出現點數為1時，則可得30元，試求期望值。

79 隨堂練習1 1設袋中有大小相同的紅球3顆、白球7顆，現自袋中任取一球，每顆球被取出的機會均等，若取到紅球可得50元，取到白球可得10元，求期望值。

80 例題2 立軒投擲兩枚均勻硬幣，若出現兩正面可得8元，若恰出現一正面，可得4元，若出現兩反面則可得2元，求立軒的期望值。

81 隨堂練習2 投擲兩粒公正骰子，若出現相同點數則可得獎金600元，求期望值。

82 例題3 同時投擲兩粒公正骰子，若兩粒骰子出現的點數相同可得220元，否則需賠50元，求此次投擲所得金額的期望值。

83 例題3 (續)

84 隨堂練習3 立容投擲一粒公正骰子，若出現奇數點，則可得5元，若出現2或6點則損失3元，若出現4點則損失6元，求立容投擲此骰子的期望值。

85 例題4 某種刮刮樂彩券，總共發行10000張，其中有1張獎金300000元，有200張獎金1000元，有2000張獎金100元，試求買一張彩券可得獎金的期望值，若彩券每張售價為100元，試問購買這種彩券是否有利？

86 例題4 (續)

87 隨堂練習4 袋中有十元硬幣5枚、五元硬幣20枚，立雯由袋中任取一枚，求期望值。

88 例題5 某人自一整副全新的撲克牌中隨機抽牌，每次一張，抽出後放回，如此抽了三次，求抽出黑桃張數的期望值。

89 例題5 (續)

90 隨堂練習5 某種刮刮樂彩券有8格，其中300元，500元，800元，1200元各佔有二格；今任意排列，顧客任意刮二格。若刮出的二格金額相同，即可得此金額獎金，則顧客對此彩券的期望值為多少元？

91 隨堂練習5 (續)

92 例題6 有一單選題，共有四個選項，其中恰有一選項是正確的。若答對此題可得6分，答錯則倒扣 x 分。為了公平起見（即考生以猜答方式答題在此題得分的期望值為0），則 x 的值應為多少？

93 例題6 (續)

94 隨堂練習6 立雯投擲兩粒公正骰子，若點數和為質數，可得7元，為了公平起見，若點數和不為質數，則立雯應賠幾元？

95 End