# 變異數分析 ANalysis Of VAriance ANOVA

## Presentation on theme: "變異數分析 ANalysis Of VAriance ANOVA"— Presentation transcript:

T檢定可以用來檢驗兩個獨立樣本的平均數差異是否達到所謂的「顯著水準」。那麼，超過兩個以上的獨立樣本需要比較其間的平均數差異時，該如何進行呢？

1920年代40歲的小鬍子Sir Ronald A. Fisher, （ ，英國統計學家）的實驗 The Design of Experiments, 1935 變異數分析(analysis of vairance)是在費雪的＜作物收成變化研究II＞論文(1942)中首次出現 3種不同的人工肥料 10種馬鈴薯 4塊土地/土壤 ＜作物收成變化研究IV＞共變分析(analysis of covariance)

(2-4)2+ (3-4)2+ (1-4)2+ (6-4)2+ (7-4)2+ (5-4)2=28
Group 1 Group 2 Observation 1 Observation 2 Observation 3 2 3 1 6 7 5 Mean Sums of Squares (SS) 2 2 6 2 Overall Mean Total Sums of Squares  4 28 (2-2)2+ (3-2)2+ (1-2)2=2 (2-4)2+ (3-4)2+ (1-4)2+ (6-4)2+ (7-4)2+ (5-4)2=28 total SS (28) 可以分成兩部份 一為組內變異(within-group variability) (2+2=4) 二為平均數不同所造成的變異 (28-(2+2)=24). MAIN EFFECT SS  df  MS F p Effect Error 1 4 24.0   .008

SS Error and SS Effect the within-group variability (SS) is usually referred to as Error variance. This term denotes the fact that we cannot readily explain or account for it in the current design. the SS Effect we can explain. Namely, it is due to the differences in means between the groups. Put another way, group membership explains this variability because we know that it is due to the differences in means.

ANOVA comparison of the variance
between- groups variability (called Mean Square Effect, or MSeffect) within- group variability (called Mean Square Error, or Mserror) the null hypothesis：that there are no mean differences between groups in the population compare those two estimates of variance via the F test, which tests whether the ratio of the two variance estimates is significantly greater than 1.

T test vs. anova total variance T test: experiment or gender
Experimental Group 1 Experimental Group 2 Males     2 3 1 6 7 5 Mean 2 6 Females     4 5 3 8 9 7 4 8 total variance error (within-group) variability variability due to experimental group membership variability due to gender T test: experiment or gender Anova: experiment x gender interaction

Main effects, two-way interaction
Achievement- oriented Achievement- avoiders Challenging Test Easy Test 10 5 5 10 challenging tests make students work harder? achievement-oriented students work harder than achievement- avoiders? challenging tests make only achievement-oriented students work harder, while easy tests make only achievement- avoiders work harder Main Effects Interaction Effects

Higher order interactions
Females Achievement- oriented Achievement- avoiders Challenging Test Easy Test 10 5 5 10 Males 1 6 6 1

1個 One way ANOVA 相依樣本 (配對樣本或重複量數) 二因子設計 two way ANOVA 完全獨立樣本 2個 two way ANOVA 完全相依樣本 相依與獨立混合 1個獨立，1個相依 two way ANOVA mixed design

3個 3 way ANOVA 完全相依樣本 相依與獨立混合 多個獨立，1個相依 3 way ANOVA mixed design

Variance between/among groups的 組間變異數：組與組之間有系統差異，是可以用實驗處理效果來解釋的 Web組與DM組對廣告效果的影響 組內的變化 Variance within groups 組內變異數：是個體之間的隨機差異，是與實驗處理無關的，而且事實上一定會存在的，即使完全沒有做任何實驗處理，隨機取樣所得到的組內單位個體之間仍然會有差異存在。 樣本組間變異數愈大大（相對於組內變異數），拒絕虛無假設的機率也愈高。所以變異數分析是利用樣本組間與組內的變異數的比值來做為拒絕虛無假設與否的根據。

Xij= +j+ij 每個觀察值Xij可分成3個來源 Xij ：在第j組內的第I個人的資料數值
j：是Xij所在j組的平均數與全體平均數之差異部份，即j= j- ,代表組與全體之間的平均數之差異量，一般通稱為特殊效果（special effect）或是實驗處理效果（ treatment effect），凡在該組內的個體都有接受到此項效果。但是，並不是所有接受到該組特殊效果的個體所得到的觀察值都完全相同，在同一組內的個體仍有實驗處理效果所無法完全解釋的個別差異因素存在，即為第3部分：

ij：該組內的隨機個別差異，亦即Xij異於j的部份，即ij ＝ Xij － j 因此， Xij的總變異來源可以分割為兩部份： 各組平均數與總平均數之間的變異組內隨機差異的變異

ANOVA的假設 在線性模式中的ij為常態分配 各組之ij所來自之母群體中變異數均相等 殘差（residual ）分配

Post-hoc test 當變異數分析，判斷平均數之間的確存有差異之後，post hoc 全距檢定和成對多重比較可以決定到底是那些平均數不一樣。 全距檢定：判斷那些是等值平均數的均勻子集 成對多重比較：檢定每對平均數之間的差異，並且產生一個矩陣。 該矩陣以星號代表顯著不同的組別平均數，其 alpha 水準為 .05。

Post-hoc多重比較檢定方法 Tukey Bonferroni t procedure Scheffe檢驗法 是最誠實顯著性差異檢定

Post-hoc多重比較檢定方法 Dunnett 事前比較法

ANOVA 平均數有顯著差異差在那裏（事後檢定組別） 差多少（描述性統計） 多組類別變數與連續變數之平均數差異

ANOVA結果呈現 如果只要呈現單一變項的分析，不需要製作統計表，只要在正文中說明平均數、標準差和ANOVA檢定結果即可。
One-way ANOVA同時檢定多項自變項時，始需製作表格 “Play It Safe” Table Degree of freedom Sums of squares Mean squares F ratios

Example 1 Independent variable Dependent variable 每組各40名員工
Coworker program:由同事上3天課，加上手冊 Consultant program：由外聘講師上3天課，加上手冊 Self-program：給手冊自學3天 Dependent variable Job performance：7點量表，由員工上司評分 每組各40名員工

Example 2 Independent variable 每組各3000名員工 Dependent variable：7
Coworker program:由同事上3天課，加上手冊 Consultant program：由外聘上3天課，加上手冊 Self-program：給手冊自學3天 每組各3000名員工 Dependent variable：7 Job performance：7點量表，由員工上司評分 Organizational commitment Job commitment Job satisfaction Turnover intention Job stress Role ambiguity

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