音乐中的数学之美 1410101 数学 张文博.

Presentation on theme: "音乐中的数学之美 1410101 数学 张文博."— Presentation transcript:

1 音乐中的数学之美 数学 张文博

2 目录 将音乐与数学结合的起源 音乐中的黄金分割和斐波那契数列 音乐中的对称 傅里叶变换

3 最早将音乐与数学联系起来的研究要追溯至公元前六世纪的毕达哥拉斯学派，他们用比例把二者有机结合起来。
将声音与数学结合的起源 最早将音乐与数学联系起来的研究要追溯至公元前六世纪的毕达哥拉斯学派，他们用比例把二者有机结合起来。 乐声的协调与所联系的整数之间有着密切的关系，拨动一根弦发出的声音取决于绷紧的弦的长度 协和音由长度与原弦长的比为整数比的弦给出

4 将声音与数学结合的起源 C B A G F E D C 被拨动弦的每一种和谐的结合，都能表示为整数比，由增大成整数比的弦的长度，能够产生全部的音阶。

5 将音乐与数学结合的起源 五度相生律也是毕达哥拉斯的首创，故又名毕达哥拉斯律
基础音：发音体整体振动产生的最低的音是基础音，是由一根弦或空气柱整体振动时产生的 泛音：以基础音为标准，其余1/2、1/3、1/4等各部分也是同时振动，是泛音。

6 钢琴键盘上的斐波那契数列 斐波那契数列： 0、1、1、2、3、5、8、13、21………
递归： F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*） 从一个 C 键到下一个 C 键就是音乐中的一个八度音程(如图1)

7 小提琴造型上的黄金分割 琴体的长度与共鸣箱的长度 共鸣箱的长度与琴颈的长度 共鸣箱最宽处和箱长 共鸣箱最厚处与箱体最窄处

8 乐器造型上的黄金分割 竖琴 三角钢琴

9 弦乐器的最佳音区与黄金分割 在弹奏吉他、琵琶、古筝、竖琴等弦乐器时击弦位置在琴头起有效弦长的黄金分割处音色最优美动听。
二胡有效弦长的正反两个黄金分割点，全 在传统的上中下三把之内，而这三个把位 正是二胡的最佳音区。

10 乐曲中的斐波那契数列与黄金分割 高潮出现在第20小节(歌词为口号“起来!”的呐喊最高点)，前面共39个长度单位，后面为24个长度单位(以四分音符为一个长度单位)，前半部分与全曲长度的比值恰好为0．619，基本上位于黄金分割点位置。

11 乐曲中的黄金分割与斐波那契数列 巴托克的顶峰之作 《弦乐、打击乐与钢片琴的音乐》

12 这部作品第三乐章 55小节 A 34小节 高潮 一 21小节 二 13小节 一 13小节 二 21小节 一 13小节 二 8小节 B

13 音乐中的对称 圣者的行进

14 音乐中的对称 卡农简谱第一行 反复记号

15 傅里叶变换 音调 音色 音量 与曲线的频率有关 与曲线的振幅有关 与周期函数的形状 有关

16 傅里叶变换

17 傅立叶定理指出，任何一个周期函数都可以表示为三角级数的形式 傅里叶变换
其中频率最低的一项为基本音，其余的为泛音。 所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波。

18 和声的傅立叶分析 假设do的频率是 ，那么它可以分解成频率为 ， ， ， ，……的谐波的叠加，

19 一个作曲的方法 从一段三角函数图像出发，我们只要对它进行适当的分段，形成适当的小节，并在曲线上选取适当的点作为音符的位置所在， 乔治·格什温

20 音乐是心灵的算术练习。 ——莱布尼茨 音乐是由数规定的运动。 ——奥古斯丁 音乐之所以崇高而神圣，就是因为它反映出了宇宙本质的数的关系 ——毕达哥拉斯

21 音乐 数学 Thank You !