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福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第八次研讨会
实二次型的合同标准形与正交标准形 莆田学院数学系 杨忠鹏 陈智雄 晏瑜敏 林志兴 2007年6月30日
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一、二次型的基本问题 （1） （1）可被唯一表示为 （2） 基本问题： 其中 , 可逆 （3）
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常用的实二次型化简 1） （4） 称（4）为实二次型的合同标准形. 其中 , 可逆, , 为正、负惯性指数. 2） （5） （5）中 为实二次型的正交标准形.
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二、目前的教材处理情况 1. 北大教材[1] 将基本知识分散处理于三部分 第五章 二次型 五节内容 基本问题：合同标准形
第五章 二次型 五节内容 基本问题：合同标准形 第九章 欧几里得空间 §9.6 实对称矩阵的标准形 基本问题：正交标准形 距离远、联系差 第十章 双线性函数与辛空间 §10.3 双线性函数
![二、目前的教材处理情况 1. 北大教材[1] 将基本知识分散处理于三部分 第五章 二次型 五节内容 基本问题：合同标准形](http://slidesplayer.com/slide/11375561/61/images/4/%E4%BA%8C%E3%80%81%E7%9B%AE%E5%89%8D%E7%9A%84%E6%95%99%E6%9D%90%E5%A4%84%E7%90%86%E6%83%85%E5%86%B5+1.+%E5%8C%97%E5%A4%A7%E6%95%99%E6%9D%90%5B1%5D+%E5%B0%86%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%9F%A5%E8%AF%86%E5%88%86%E6%95%A3%E5%A4%84%E7%90%86%E4%BA%8E%E4%B8%89%E9%83%A8%E5%88%86+%E7%AC%AC%E4%BA%94%E7%AB%A0+%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%9E%8B+%E4%BA%94%E8%8A%82%E5%86%85%E5%AE%B9+%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E9%97%AE%E9%A2%98%EF%BC%9A%E5%90%88%E5%90%8C%E6%A0%87%E5%87%86%E5%BD%A2.jpg "第五章 二次型. 五节内容. 基本问题：合同标准形. 第九章 欧几里得空间. §9.6 实对称矩阵的标准形. 基本问题：正交标准形. 距离远、联系差. 第十章 双线性函数与辛空间. §10.3 双线性函数.")
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2. 张禾瑞、郝鈵新：高等代数（第四版）[2] 第八章 欧氏空间和酉空间 §8.4 对称变换和对称矩阵 基本问题：正交标准形 第九章 二次型 §9.1-§9.3 基本问题：合同标准形 §9.4 主轴问题、正交标准形 福师大所编教材[3]的处理与[2]相似（只讲 第六章 二次型，第七章 欧氏空间），[3]另一个特点是二次型从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合[1]的较高的起点）.
![2. 张禾瑞、郝鈵新：高等代数（第四版）[2] 第八章 欧氏空间和酉空间. §8.4 对称变换和对称矩阵. 基本问题：正交标准形. 第九章 二次型. §9.1-§9.3 基本问题：合同标准形.](http://slidesplayer.com/slide/11375561/61/images/5/2.+%E5%BC%A0%E7%A6%BE%E7%91%9E%E3%80%81%E9%83%9D%E9%88%B5%E6%96%B0%EF%BC%9A%E9%AB%98%E7%AD%89%E4%BB%A3%E6%95%B0%EF%BC%88%E7%AC%AC%E5%9B%9B%E7%89%88%EF%BC%89%5B2%5D+%E7%AC%AC%E5%85%AB%E7%AB%A0+%E6%AC%A7%E6%B0%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%92%8C%E9%85%89%E7%A9%BA%E9%97%B4.+%C2%A78.4+%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E5%8F%98%E6%8D%A2%E5%92%8C%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E7%9F%A9%E9%98%B5.+%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E9%97%AE%E9%A2%98%EF%BC%9A%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E6%A0%87%E5%87%86%E5%BD%A2.+%E7%AC%AC%E4%B9%9D%E7%AB%A0+%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%9E%8B.+%C2%A79.1-%C2%A79.3+%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E9%97%AE%E9%A2%98%EF%BC%9A%E5%90%88%E5%90%8C%E6%A0%87%E5%87%86%E5%BD%A2..jpg "§9.4 主轴问题、正交标准形. 福师大所编教材[3]的处理与[2]相似（只讲 第六章 二次型，第七章 欧氏空间），[3]另一个特点是二次型从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合[1]的较高的起点）.")
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3. 非数学专业教材 两种标准形是紧密出现的 居余马[4] 第五章 特征值和特征向量、矩阵的对角化 §5.3 实对称矩阵的对角化（正交标准形） 第六章 二次型（主要是实二次型） 同济线性代数[5] 第五章 相似矩阵及二次型 §5.4 对称矩阵的对角化 §5.5 二次型及其标准型 §5.6 用配方法化二次型成标准型 §5.7 正定二次型
![3. 非数学专业教材 两种标准形是紧密出现的. 居余马[4] 第五章 特征值和特征向量、矩阵的对角化. §5.3 实对称矩阵的对角化（正交标准形） 第六章 二次型（主要是实二次型） 同济线性代数[5]](http://slidesplayer.com/slide/11375561/61/images/6/3.+%E9%9D%9E%E6%95%B0%E5%AD%A6%E4%B8%93%E4%B8%9A%E6%95%99%E6%9D%90+%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%A0%87%E5%87%86%E5%BD%A2%E6%98%AF%E7%B4%A7%E5%AF%86%E5%87%BA%E7%8E%B0%E7%9A%84.+%E5%B1%85%E4%BD%99%E9%A9%AC%5B4%5D+%E7%AC%AC%E4%BA%94%E7%AB%A0+%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC%E5%92%8C%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%90%91%E9%87%8F%E3%80%81%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E5%AF%B9%E8%A7%92%E5%8C%96.+%C2%A75.3+%E5%AE%9E%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E5%AF%B9%E8%A7%92%E5%8C%96%EF%BC%88%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E6%A0%87%E5%87%86%E5%BD%A2%EF%BC%89+%E7%AC%AC%E5%85%AD%E7%AB%A0+%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%9E%8B%EF%BC%88%E4%B8%BB%E8%A6%81%E6%98%AF%E5%AE%9E%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%9E%8B%EF%BC%89+%E5%90%8C%E6%B5%8E%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%5B5%5D.jpg "第五章 相似矩阵及二次型. §5.4 对称矩阵的对角化. §5.5 二次型及其标准型. §5.6 用配方法化二次型成标准型. §5.7 正定二次型.")
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中国人大 线性代数[6] 第四章 矩阵的特征值 §4.4 实对称矩阵的对角化 第五章 二次型
![中国人大 线性代数[6] 第四章 矩阵的特征值 §4.4 实对称矩阵的对角化 第五章 二次型](http://slidesplayer.com/slide/11375561/61/images/7/%E4%B8%AD%E5%9B%BD%E4%BA%BA%E5%A4%A7+%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%5B6%5D+%E7%AC%AC%E5%9B%9B%E7%AB%A0+%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC+%C2%A74.4+%E5%AE%9E%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E5%AF%B9%E8%A7%92%E5%8C%96+%E7%AC%AC%E4%BA%94%E7%AB%A0+%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%9E%8B.jpg "中国人大 线性代数[6] 第四章 矩阵的特征值 §4.4 实对称矩阵的对角化 第五章 二次型")
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4. 新出版的一些高等代数教材 邱维声[7] 第五章 矩阵的相抵分类与相似分类 第六章 二次型、矩阵的合同分类 这样可将正交标准形同时纳入教学内容
![4. 新出版的一些高等代数教材 邱维声[7] 第五章 矩阵的相抵分类与相似分类 第六章 二次型、矩阵的合同分类 这样可将正交标准形同时纳入教学内容](http://slidesplayer.com/slide/11375561/61/images/8/4.+%E6%96%B0%E5%87%BA%E7%89%88%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%BA%9B%E9%AB%98%E7%AD%89%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%95%99%E6%9D%90+%E9%82%B1%E7%BB%B4%E5%A3%B0%5B7%5D+%E7%AC%AC%E4%BA%94%E7%AB%A0+%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E7%9B%B8%E6%8A%B5%E5%88%86%E7%B1%BB%E4%B8%8E%E7%9B%B8%E4%BC%BC%E5%88%86%E7%B1%BB+%E7%AC%AC%E5%85%AD%E7%AB%A0+%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%9E%8B%E3%80%81%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E5%90%88%E5%90%8C%E5%88%86%E7%B1%BB+%E8%BF%99%E6%A0%B7%E5%8F%AF%E5%B0%86%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E6%A0%87%E5%87%86%E5%BD%A2%E5%90%8C%E6%97%B6%E7%BA%B3%E5%85%A5%E6%95%99%E5%AD%A6%E5%86%85%E5%AE%B9.jpg "4. 新出版的一些高等代数教材 邱维声[7] 第五章 矩阵的相抵分类与相似分类 第六章 二次型、矩阵的合同分类 这样可将正交标准形同时纳入教学内容")
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姚慕生[8] 实对称矩阵的正交相似标准型是比一般合同标准型更强有力的工具.（见[8,P246]） 第八章 二次型 §8.1 正交相似标准形 §8.2 合同标准形 第九章 内积空间 第十章 双线性型
![姚慕生[8] 实对称矩阵的正交相似标准型是比一般合同标准型更强有力的工具.（见[8,P246]） 第八章 二次型. §8.1 正交相似标准形. §8.2 合同标准形. 第九章 内积空间.](http://slidesplayer.com/slide/11375561/61/images/9/%E5%A7%9A%E6%85%95%E7%94%9F%5B8%5D+%E5%AE%9E%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E7%9B%B8%E4%BC%BC%E6%A0%87%E5%87%86%E5%9E%8B%E6%98%AF%E6%AF%94%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%90%88%E5%90%8C%E6%A0%87%E5%87%86%E5%9E%8B%E6%9B%B4%E5%BC%BA%E6%9C%89%E5%8A%9B%E7%9A%84%E5%B7%A5%E5%85%B7.%EF%BC%88%E8%A7%81%5B8%2CP246%5D%EF%BC%89+%E7%AC%AC%E5%85%AB%E7%AB%A0+%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%9E%8B.+%C2%A78.1+%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E7%9B%B8%E4%BC%BC%E6%A0%87%E5%87%86%E5%BD%A2.+%C2%A78.2+%E5%90%88%E5%90%8C%E6%A0%87%E5%87%86%E5%BD%A2.+%E7%AC%AC%E4%B9%9D%E7%AB%A0+%E5%86%85%E7%A7%AF%E7%A9%BA%E9%97%B4..jpg "第十章 双线性型.")
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张贤科[9] 结构有较大变化，分三部分： Ⅰ 基础内容 多项式 线性代数 线性空间 线性变换 Ⅱ 深入内容 第七章 方阵相似标准形与空间分解 第八章 双线性型、二次型与方阵相合 第九章 欧几里德空间与酉空间 Ⅲ 选学内容
![张贤科[9] 结构有较大变化，分三部分： Ⅰ 基础内容. 多项式 线性代数 线性空间 线性变换. Ⅱ 深入内容. 第七章 方阵相似标准形与空间分解. 第八章 双线性型、二次型与方阵相合.](http://slidesplayer.com/slide/11375561/61/images/10/%E5%BC%A0%E8%B4%A4%E7%A7%91%5B9%5D+%E7%BB%93%E6%9E%84%E6%9C%89%E8%BE%83%E5%A4%A7%E5%8F%98%E5%8C%96%EF%BC%8C%E5%88%86%E4%B8%89%E9%83%A8%E5%88%86%EF%BC%9A+%E2%85%A0+%E5%9F%BA%E7%A1%80%E5%86%85%E5%AE%B9.+%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F+%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0+%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%A9%BA%E9%97%B4+%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2.+%E2%85%A1+%E6%B7%B1%E5%85%A5%E5%86%85%E5%AE%B9.+%E7%AC%AC%E4%B8%83%E7%AB%A0+%E6%96%B9%E9%98%B5%E7%9B%B8%E4%BC%BC%E6%A0%87%E5%87%86%E5%BD%A2%E4%B8%8E%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%88%86%E8%A7%A3.+%E7%AC%AC%E5%85%AB%E7%AB%A0+%E5%8F%8C%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%9E%8B%E3%80%81%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%9E%8B%E4%B8%8E%E6%96%B9%E9%98%B5%E7%9B%B8%E5%90%88..jpg "第九章 欧几里德空间与酉空间. Ⅲ 选学内容.")
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三、几点看法 1. 实二次型两种标准形的重要性 数学专业教材 非数学专业教材 2007年国家教育部颁布的考研大纲，变化最大的部分是 二次型的两种标准形 作为高数四的新增内容. 现在高数一、二、三、四的线性代数考纲基本相同. 新编教材
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2. 要注重讨论的几何背景 合同标准形可给出二次曲面的仿射分类 [9,§8.8 二次曲面的仿射分类, 定理8.13] 定理8.13 对 中二次超曲面 记 分别为 的秩、正惯性指数、负惯性指数、符号差； 分别为 相应的值. 则可经仿射变换化此二次超曲面的方程为 当 1） 2） 3）
![2. 要注重讨论的几何背景 合同标准形可给出二次曲面的仿射分类. [9,§8.8 二次曲面的仿射分类, 定理8.13] 定理8.13 对 中二次超曲面.](http://slidesplayer.com/slide/11375561/61/images/12/2.+%E8%A6%81%E6%B3%A8%E9%87%8D%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E7%9A%84%E5%87%A0%E4%BD%95%E8%83%8C%E6%99%AF+%E5%90%88%E5%90%8C%E6%A0%87%E5%87%86%E5%BD%A2%E5%8F%AF%E7%BB%99%E5%87%BA%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%9B%B2%E9%9D%A2%E7%9A%84%E4%BB%BF%E5%B0%84%E5%88%86%E7%B1%BB.+%5B9%2C%C2%A78.8+%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%9B%B2%E9%9D%A2%E7%9A%84%E4%BB%BF%E5%B0%84%E5%88%86%E7%B1%BB%2C+%E5%AE%9A%E7%90%868.13%5D+%E5%AE%9A%E7%90%868.13+%E5%AF%B9+%E4%B8%AD%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E8%B6%85%E6%9B%B2%E9%9D%A2..jpg "记 分别为 的秩、正惯性指数、负惯性指数、符号差； 分别为 相应的值. 则可经仿射变换化此二次超曲面的方程为. 当. 1） 2） 3）")
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定理9.12 设欧几里得空间 中二次超曲面在一标准正交基下的方程为 实对称方阵 的非零特征值 ，则可经过正交 变换化此曲面为下列情形之一：
[9, §9.5 二次曲面的正交分解, 定理9.12] 定理9.12 设欧几里得空间 中二次超曲面在一标准正交基下的方程为 实对称方阵 的非零特征值 ，则可经过正交 变换化此曲面为下列情形之一： 1） （当 为 的秩 ） 2） （当 ） （ ） 3） （当 ）
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3. 要加强对正交矩阵相关性质的教学 运算性质 结构性质 i) 行(列)向量标准基 ii) 元素与代数余子式 iii) 特征值 与正交标准形相关的矩阵分解
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设 , 如果 ,则有唯一的正交矩阵 和正上三角矩阵 使得 .
i) 分解 设 , 如果 ,则有唯一的正交矩阵 和正上三角矩阵 使得 应用: （文献[1] 第九章 习题14） ① 设 为 阶正定矩阵,则有正上三角矩阵 使 （文献[1] 第九章 习题20） ② 设 证明存在正交矩阵 , 使 为三角阵的 充分必要条件是 的特征多项式的根全部是实的.
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设 都是实对称矩阵且 是正定的,证明存在实可逆 矩阵 , 使 与 同时为对角矩阵.
ⅱ) 矩阵偶 (文献[1] 第九章 补充题10) 设 都是实对称矩阵且 是正定的,证明存在实可逆 矩阵 , 使 与 同时为对角矩阵. ⅲ) 正定矩阵的正定平方根 设 是一个正定矩阵, 证明存在一个正定矩阵 ,使得 . ① 可以证明 是唯一的, 因此可记 ② 你能否证明: 对任意正整数 ,正定矩阵 有唯一的 次 正定方根 使得 ? ③ 正定矩阵的乘积是否还是正定矩阵？ ④ 正定矩阵乘积的特征值都是正实数？
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ⅳ) 极分解（北师大高等代数第四版§9.4习题２）
设 为可逆矩阵, 证明存在正定矩阵 和正交 矩阵 , 使得 ① 这种分解是唯一的吗? ② 是否有分解形式 ?
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ⅴ) 奇异值分解 设 为可逆矩阵, 证明存在正交矩阵 和 使 得 ① 当 时,上述分解形式有什么变化? ② 称 为 的奇异值, 与 的特征值是什么关系?
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参考文献： [1] 北京大学编, 高等代数（第三版）, 高等教育出版社, 2003年.
[1] 北京大学编, 高等代数（第三版）, 高等教育出版社, 2003年. [2] 张禾瑞, 郝鈵新编, 高等代数(第四版), 高等教育出版社, 1999年. [3] 陈昭木,陈清华,王华雄,林亚南编著, 高等代数(下), 福建教育出版社, 1992年. [4] 居余马, 线性代数(第二版), 清华大学出版社, 2002年. [5] 同济大学应用数学系编, 线性代数(第四版), 高等教育出版社, 2003年. [6] 吴赣昌 主编, 线性代数(理工类), 中国人民大学出版社, 2006年. [7] 邱维声, 高等代数(上册), 高等教育出版社, 北京, 2002年. [8] 姚慕生, 高等代数(大学数学学习方法指导丛书), 复旦大学出版社, 2002年. [9] 张贤科,许甫华, 高等代数学(第二版), 清华大学出版社, 2004年.
![参考文献： [1] 北京大学编, 高等代数（第三版）, 高等教育出版社, 2003年.](http://slidesplayer.com/slide/11375561/61/images/19/%E5%8F%82%E8%80%83%E6%96%87%E7%8C%AE%EF%BC%9A+%5B1%5D+%E5%8C%97%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E7%BC%96%2C+%E9%AB%98%E7%AD%89%E4%BB%A3%E6%95%B0%EF%BC%88%E7%AC%AC%E4%B8%89%E7%89%88%EF%BC%89%2C+%E9%AB%98%E7%AD%89%E6%95%99%E8%82%B2%E5%87%BA%E7%89%88%E7%A4%BE%2C+2003%E5%B9%B4..jpg "[1] 北京大学编, 高等代数（第三版）, 高等教育出版社, 2003年. [2] 张禾瑞, 郝鈵新编, 高等代数(第四版), 高等教育出版社, 1999年. [3] 陈昭木,陈清华,王华雄,林亚南编著, 高等代数(下), 福建教育出版社, 1992年. [4] 居余马, 线性代数(第二版), 清华大学出版社, 2002年. [5] 同济大学应用数学系编, 线性代数(第四版), 高等教育出版社, 2003年. [6] 吴赣昌 主编, 线性代数(理工类), 中国人民大学出版社, 2006年. [7] 邱维声, 高等代数(上册), 高等教育出版社, 北京, 2002年. [8] 姚慕生, 高等代数(大学数学学习方法指导丛书), 复旦大学出版社, 2002年. [9] 张贤科,许甫华, 高等代数学(第二版), 清华大学出版社, 2004年.")
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