勾股定理 報告人:陳奕.

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1 勾股定理 報告人:陳奕

2 目錄 別名 最早發現此定理 畢氏定理的歷史 勾股定理（商高定理）的歷史 畢氏定理的應用 定義 趙爽的證明 劉徽的證明 利用相似三角形的證法
歐幾里得的証法 圖形重新排列證法 勾股定理的逆定理 參考資料

3 勾股定理 勾股弦定理 畢達哥拉斯定理 畢氏定理 百牛定理 商高定理 驢橋定理 埃及三角形
別名 勾股定理 勾股弦定理 畢達哥拉斯定理 畢氏定理 百牛定理 商高定理 驢橋定理 埃及三角形

4 名稱的由來- 畢氏定理&畢達哥拉斯定理 一個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。

5 名稱的由來-百牛定理 據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱「百牛定理」。

6 名稱的由來-商高定理 在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經》内的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明

7 最早發現此定理  由於畢氏定理的詳細證明，最早可能是由希臘數學家畢達哥拉斯所整理得出，所以為記念他而命名的。 但是，其實在公元前一世紀，中國的算書《周髀算經》中，已記載了勾股定理﹙又名商高定理﹚，比起畢氏定理大約早了五百多年，由此可見當時中國的數學成就絕不比巴比倫、希臘等數學古國為低。

8 畢氏定理的歷史 在直角三角形中，兩直角邊的平方 和等於斜邊的平方。
勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。這個定理幾乎所有文明古國對此定理都有所研究，希臘著名數學家畢達哥拉斯曾對本定理有所研究，故西方國家均 稱此定理為畢達哥拉斯定理，據說畢達哥拉斯十分 喜愛這個定理，當他在公元前550前年左右發現這 個定理時，宰殺了百頭牛羊以謝神的默示。但畢達哥拉斯對勾股定理的證明方法已經失傳。

9 勾股定理（商高定理）的歷史 在我國，這個定理的敘述最早見於《周髀算經 》（大約成書於公元前一世紀前的西漢時期），書中有一段商高答周公問中有「勾廣三 ，股修四，經隅五」的話，意即直角三角形的兩條 直角邊是3及4、則斜邊是5。在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱"勾"， 下半部分稱"股"。以後人們就簡單地把這個事實說成"勾三股四弦 五"。 書中記載了陳子答榮方問︰「若求邪至日者，以日下為勾 ，日高為股，勾股各自乘，並而開方除之、得邪至日」，古漢語中邪作斜解，因此這一句話明確陳述了勾股定理的內容。至三國的趙爽， 在他的數學文獻《勾股圓方圖》中（作為《周髀算經》的注文，而被保留於該書之中）。運用弦圖， 巧妙的證明了勾股定理。他把三角形塗成 紅色，其面積叫「朱實」，中間正方形塗成黃色叫做「中黃實」，也叫「差實」。他寫道︰「按弦圖 ，又可勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股 之差相乘為中黃實，加差實，亦稱弦實」。若用現在的符號，分別用a、b、c記勾、股、弦之長，趙爽所述即

10 畢氏定理的應用 戰國時期另一部古籍《路史後記十二注》中有 記載：
“禹治洪水決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，使注東 海，無漫溺之患，此勾股之所系生也。” 這段話的意思是說：大禹為了治理洪水，使 不決流江河，根據地勢高低，決定水流走向，因勢利導，使洪水注入海中，不再有 大水漫溺的災害，是應用畢氏定理的結果。

11 定義 勾股定理的證明可能是世上最多的，證明的方法可能有五百多種，但總離不開一個直角三角形！ 圖中所見， 在勾股定理中，斜邊　a 稱是「弦」， 直角邊b 稱為「股」， c 為「勾」，《周髀算經》中記載商高講到：「勾廣三，股修四，徑隅五」，所指的就是我們熟悉的，邊長分別是３，４，５的直角三角形。又有一古代數學家陳子講道：「勾股各自乘，併而開方得弦。」這清楚地指出了直角三形三條邊的關係

12 趙爽的證明 他對「勾股圓方圖注」下注稱： 「勾股各自乘，並之為弦實。開方除之，即弦。」
以弦為邊長作一個正方形，它的面積稱為「弦實」，在這個正方形內的四個直角三角形，其面積稱為「朱實」，中間所圍出的小正方形，其面積稱「中黃實」，這就是弦圖的結構。 「按弦圖又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四。以勾股之差自相乘為中黃實，加差實一亦成弦實。」 顯然這個小正方形邊長等於勾、股之差。因為「弦實」等於四個「朱實」與中間「黃實」的和，於是

13 劉徽的證明 如右圖所示，右上圖內上方的勾股形，以勾為邊的正方形為朱方，以股為邊的正方形為青方。按圖中的標示進行出入相補後拼成弦方，如右下圖所示.，依面積關係顯然有以下結果 弦方 = 朱方 + 青方 即 運用這個圖形，甚至不需要標注任何文字，只要按圖所示塗以朱、青二色，就把這種證明思想表示得清清楚楚了。 這個證明的基本原理是利用平面圖形的面積，劉徽把種方法概括成一基本原理，稱為「出入相補原理」。 這個原理是說：一個平面圖形從一處移置到另一處，面積不變；又若把圖形分割成若干塊，那麼各部分面積的和等於原來圖形的面積。 圖中較深色的部分為『出』，較淺色的則是『入』。從圖中可見，深綠色的是一個正方形，以『股』為邊；深紅色的也是一個正方形，以『勾』為邊。經過分合之後，得出一個以『弦』為邊的大正方形。即是： 『股』正方面積 +『勾』正方面積 =『弦』正方面積，即是， 股2 + 勾2 = 弦2 『勾股定理』由此得證。

14 利用相似三角形的證法 設ABC為一直角三角形, 直角於角C（看附圖）. 從點C畫上三角形的高，並將此高與AB的交叉點稱之為H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因為在兩個三角形中都有一個直角（這又是由於「高」的定義），而兩個三角形都有A這個共同角，由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係： 因為 所以 可以寫成 綜合這兩個方程式，我們得到 換句話說:

15 歐幾里得的証法 設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。 在定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理： 如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。 任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。 證明的思路為：把上方的兩個正方形，透過等高同底的三角形，以其面積關係，轉換成下方兩個同等面積的長方形。 SAS定理:指任意三角形有兩邊相等，而這兩邊所夾的角度也相等，

16 證明輔助圖 2 其證明如下： 設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。 其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。 分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應的，同理可證B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。 因為 AB 和 BD 分別等於 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等於△FBC。 因為 A 與 K 和 L在同一直线上，所以四方形 BDLK 必須二倍面積於△ABD。 因為C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。 因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB²。 同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC²。 把這兩個結果相加， AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC 由於BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由於CBDE是個正方形，因此AB² + AC² = BC²。

17 圖形重新排列證法 以面積減算法證明 此證明以圖形重新排列證明。兩個大正方形的面積皆為(a + b)2。把四個相等的三角形移除後，左方餘下面積為a2 + b2，右方餘下面積為c2，兩者相等。證畢。

18 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法，其中c為最長邊: 如果 ，則△ABC是直角三角形。
如果 ，則∠C是銳角(還要再檢驗∠A及∠B後,才可確認△ABC是不是銳角三角形)。 如果 ，則△ABC是鈍角三角形。

19 參考資料 http://kss.hkcampus.net/~kss-wsf/theory.htm#pyth
hhttp://pc.hkcampus.net/~pc-math/mathmag/pyth.htm ttp://teacher2.hkjh.kh.edu.tw/9614/know/go_ku.htm

20 謝謝大家