习题课六.

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1 习题课六

2 （一）曲线积分与曲面积分 第一类（对弧长的） 曲线积分 第一类（对面积的） 曲面积分 曲线积分 联系 联系 曲面积分 定义 计算 定义 计算
第二类（对坐标) 的曲线积分 第二类（对坐标） 的曲面积分

3 曲 线 积 分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 意义 曲线形构件质量 变力沿曲线做功 联系 (与方向有关) 计算

4 与路径无关的四个等价命题 格林公式及应用 空间? 在单连通开区域 上 具有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立. 条件 等 价 命 题
在单连通开区域 上 具有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立. 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 (1) 在D 内积分 与路径无关 闭曲线 (2) (3) 在D 内存在 (4) 在D 内

5 曲线积分的计算法 1. 基本方法 第一类 ( 对弧长 ) 曲线积分 定积分 转化 第二类 ( 对坐标 ) 用参数方程 (1) 选择积分变量
用直角坐标方程 用极坐标方程 第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限 第二类: 下始上终 练习题: P 题 3 (1), (3), (6)

6 2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件;
(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 .

7 型线积分的计算思路: 非闭 闭合 非闭 补充折线用格林公式 或直接计算 闭合

8 型线积分的计算思路: 非闭 直接计算 闭合 斯托克斯公式 或直接计算

9 曲 面 积 分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定义 联系 计 算 一投,二代换(与侧无关) 一投,二代,三定号 (与侧有关)

10 曲面积分的计算法 1. 基本方法 第一类( 对面积 ) 曲面积分 二重积分 第二类( 对坐标 ) (1) 选择积分变量 — 代入曲面方程
转化 第二类( 对坐标 ) (1) 选择积分变量 — 代入曲面方程 第一类: 始终非负 (2) 积分元素投影 第二类: 有向投影 (3) 确定二重积分域 — 把曲面积分域投影到相关坐标面

11 2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式 添加辅助面的技巧 (辅助面一般取平行坐标面的平面) (3) 两类曲面积分的转化

12 型面积分的计算思路: 非闭 直接计算或添加曲面后用高斯公式 合一投影方法，添加曲面的原则 闭合 高斯公式

13 （二）各种积分之间的联系 定积分 计算 曲线积分 Green公式 Stokes公式 计算 计算 曲面积分 重积分 Guass公式

14 积分概念的联系 下册所讨论的几种积分（重积分，对弧长的曲线积分，对面积的曲面积分）构造思想雷同，可以统一的理解为：
函数f (M) 在几何形体Ω 上对量度的积分

15 计算上的联系 线元素(曲)) 线元素(投影))

16 理论上的联系 1. 定积分与不定积分的联系 牛顿--莱布尼茨公式 2. 二重积分与曲线积分的联系 格林公式 3. 三重积分与曲面积分的联系
1. 定积分与不定积分的联系 牛顿--莱布尼茨公式 2. 二重积分与曲线积分的联系 格林公式 3. 三重积分与曲面积分的联系 高斯公式 4. 曲面积分与曲线积分的联系 斯托克斯公式

17 （三）场论初步 梯度 通量 散度 环流量 旋度

18 从物理方面理解, 描述向量场的三个基本属性;
向量场的微积分 向量场的微分运算： 数量场的梯度、向量场的散度和旋度 向量场的积分运算： 第二型曲线积分、第二型曲面积分 三个公式: 格林公式、高斯公式、斯托克斯公式 从物理方面理解, 描述向量场的三个基本属性; 从数学方面理解, 是连接微分与积分的桥梁. 相当于向量场的微积分基本定理.

19 Green公式, Guass公式, Stokes公式之间的关系
或 Green公式 推广 推广 Stokes公式 Guass公式

20 例1 计算 的折线。 O x y A(2,-1) B(2,2) C(0,2)

21 例2 计算 其中 为由点 到点 的曲线 解

22 例3. 计算 其中 为由点 到点 的 上半圆周 解 在区域上积分简单 考虑使用格林公式

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24 例4 设平面力场 的大小等于作用点到原点的距离，
例4 设平面力场 的大小等于作用点到原点的距离， 方向为作用点的向径方向按逆时针旋转90度, 试求质 点沿曲线 从点 按逆时针 移动到点 时场力所作的功。 解： A(1,2) B(3,4) x y O M(x, y) 设向径

25 A(1,2) B(3,4) x y O M(x, y)

26 求力 例5 沿有向闭曲线  所作的功, 其中  为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三 角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向. 提示: 方法1 利用对称性

27 利用 方法2 斯托克斯公式 设三角形区域为 , 方向向上, 则
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28 例6: 计算 交线 从 z 轴正向看为逆时针方向. x z

29 P244 题2. 限中的部分, 则有( ). ( 2000 考研 )

30 设L为圆周 取顺时针方向，则曲线积分 03级期末 设L为正向闭曲线： 计算 04级期末 计算 其中L 是以AB为直径的下半圆周，方向由点A(1,0)到B(7, 0) 06级期末

31 计算 ，其中 是沿半圆周 从点A(a,0) 到点 O(0,0) 08级期末 的路径，m为常数。 设 曲线 计算 04级期末 其中C 为 与 的交线。 计算 08级期末

32 已知函数 具有连续的导数，曲线积分 02级期末 与路径无关，且 ，试求 . 已知 曲线积分 与路径无关，且 ，求 ，并计算 03级期末

33 设函数 具有连续导数， 对平面上任意 一条分段光滑的曲线 L，若曲线积分 与路径无关 (1) 试求 (2) 设 L 是从点O(0,0)到点 的分段光滑曲线， 计算I 04级期末

34 设函数 具有连续导数， 对平面上任意 一条分段光滑的曲线 L，若曲线积分 05级期末 与路径无关 (1) 试求 (2) 设 L 是从点O(0,0)到点 的分段光滑曲线， 计算I 设函数 具有二阶连续偏导数，且满足 (其中a是常数)，C是平面上的光滑曲线， 则曲线积分 05级期末

35 计算 其中C 是从 到 沿螺线 的一段。 08级期末 为曲线L 证明： 的弧长， 证明：

36 计算 其中 C是平面 被三个坐标平面所截得 三角形的边界，若从 轴正向看去为逆时针方向。 08级期末补

37 例7 设有一物质曲面 是由 及 所围立体的边界曲面，曲面的面密度函数为 求该曲面的质量M . y 1 O x z 1 2 解

38 例8 计算曲面积分 为连续函数 为平面 在第四卦限部分的上侧 . 解 利用两类曲面积分之间的关系 （或者合一投影法）

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40 例9 计算 其中 为 曲面 的外侧. 解 利用合一投影法

41 其它方法?

42 例10 计算 下侧 解：直接计算 x y z O

43 例10 计算 下侧 解：利用高斯公式，添加曲面 上侧 x y z O

44 例11 计算 其中 是由曲线 绕y轴旋转一周 所成的曲面,它的法向量与 y 轴正向的夹角恒 大于 . 解： 绕y轴 旋转一周所形成的 旋转曲面为

45 添加曲面 (或用截面法)

46 例12 求柱面 在球面 内的侧面积. 解 由对称性

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48 计算曲面积分 其中 具有连续的导数， 为由曲面 所围立体表面外侧. 03级期末

49 计算曲面积分 其中曲面 上侧。 04级期末 计算曲面积分 其中曲面 上侧。 05级期末

50 计算曲面积分 其中 是锥面 介于平面z = 0，z = 1 之间 部分上侧。 06级期末 求 ，其中 为圆锥面 介于 的部分， 为此曲面法向量的方向余弦，且 08级期末

51 作 业 P (2, 4), 4(2), 5, 9 提交时间：2012年5月14日上午8:00