幾 教 學 與 何 標題：Teaching and Learning Geometry

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1 幾 教 學 與 何 標題：Teaching and Learning Geometry
作者：Douglas H. Clements,State University of New York at Buffalo 出處：A research companion to inciples and Standard for School Mathematics.Reston, VA:NCTM

2 壹、幾何思考、學習與教學 的理論 一、Piaget and Inhelder理論 拓樸幾何概念（topological）
壹、幾何思考、學習與教學 的理論 一、Piaget and Inhelder理論 拓樸幾何概念（topological） 投影性幾何概念（Projective） 歐幾里德性幾何概念（Euclidean）

3 二、van Hiele理論 第O層次——視覺期（Visualization） 第一層次——分析期（Analysis）
第二層次——關係期（Relation)或非形式演繹期(Informal Deduction) 第三層次——形式演繹期（Formal Deduction） 第四層次——嚴密性（Rigor）或公理性（Axiomatic）

4 第O層次——視覺期（Visualization）
此階段學童可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形。透過視覺觀察具體實物，以實物的整體輪廓來辨認圖形，可以使用非標準語言或標準數學術語描術物件的形狀，如像門的形狀為長方形，像盤子的形狀為圓形。雖然知道物件的形狀何者稱為「正方形」、「三角形」、「圓形」、「長方形」，但不能瞭解其真正定義。因此，這階段的學童宜多安排感官操作的活動，讓兒童透過視覺進行分類、造型、堆疊、描繪、著色等活動獲得概念。

5 第O層次——視覺期（Visualization）
教學活動： Logo、七巧版 這階段的學童宜多安排感官操作的活動，讓兒童透過視覺進行分類、造型、堆疊、描繪、著色等活動獲得概念。

6 第一層次——分析期（Analysis） 此階段的學童可以從圖形的構成要素以及構成要素之間的關係分析圖形，並且可以利用實際操作的方式，發現某一群圖形的共有性質或規則。他們已具有豐富的視覺辨識經驗，能察覺到長方形有四個邊，四個角，且有兩個長邊，兩個短邊，對邊相等，但不能解釋性質間的關係。

7 第一層次——分析期（Analysis） 教學活動：找一找，這些三角形相同處與不 同處。
菱形是四邊相等，對角線互相垂直平分的四邊形，但卻不能理解兩者的推理過程。能描述圖形的定義，但不易精簡描述的過程。此階段的學童，宜安排一些製作及檢驗的活動，使從製作與檢驗中獲得圖形的性質。

8 第二層次——關係期（Relation)或非形式演繹期(Informal Deduction)
此階段兒童可以透過非正式地論證把先前發現的性質作邏輯地聯結。能進一步探索圖形內在屬關係及各圖形間的包含關係，如四邊形兩雙對邊相等即是平等四邊形，而不必將所有屬性均描述出來才能確認其圖形。

9 第二層次——關係期（Relation)或非形式演繹期(Informal Deduction)
教學活動：在瞭解圖形內在關係後，可以建立長方形是平行四邊形的一種；平等四邊形中，有一個角為直角時，此四邊形即為長方形；可以知道n邊多邊形的內角為（n－2）180度等概念。

10 第三層次——形式演繹期（Formal Deduction）
能用演繹邏輯證明定理，並且建立相關定理的網路結構。他們可以在一個公設系統中建立幾何理論，他們不只是記憶圖表的性質，而且能夠證明，並瞭解一個證明的可能性常不只一種方法。

11 第三層次——形式演繹期（Formal Deduction）
能瞭解正五邊形邊長均相等，內角亦均相等，但邊長均相等的五邊形不一定是正五邊形。

12 第四層次——嚴密性（Rigor）或公理性（Axiomatic）
在不同的公理系統中建立定理，並且分析或比較這些系統的特性。可瞭解抽象推理幾何，甚至可自創一種幾何公設系統。此層次一般人很難達到，即使是以數學為專業者亦不易達成。

13 van Hiele的幾何思考 推論系統 的分析 性質的推論系統 性質間的關係 4.嚴密性 形體的性質 3.演繹 形體的分類 形體
2.非形式演繹 1.分析 0.視覺化 形體 推論系統 的分析 形體的分類 形體的性質 性質間的關係 性質的推論系統

14 三、內部表徵的理論 學生通常用想像的概念勝過定義的概念去推理，這些想像的概念通常是藉由不適當的指導所影響。例如角度的教學，學童初認識角度時看到的一定是擺放穩定的，(」)是左角，(「)是右角，但(>)就認為不是角。大約在五年級以上的學童才可能了解定義並與以分析與應用。

15 貳、教學工具(圖表、操作、繪畫) 運用圖表或繪畫可以幫助建構幾何概念，但是會出現一些問題。學生通常畫幾何物體的屬性特徵，並不了解非正式物體的特性。 很多研究支持教學現場需要操作需要具體物來整合複雜抽象的想法。 圖形有時候也很有幫助的，他們提供學童立刻直觀掌握某一個幾何概念。

16 年幼的學生開始時使用他們自己的詞彙描述物體 。
使用專門術語集中注意力與澄清想法，可幫助學生建立基礎。 較高年級的學生可以學著將焦點放在圖形的組成成分──「邊」、「角」，以及討論各類圖形的性質。 老師必須提供材料與建構適當的環境，鼓勵孩子探究圖形及其屬性。例如，學生收集生活中的紙盒，他們可以比較及區分各式紙盒，辨認它們的相似處與相異處。

17 分析幾何形體之特徵及其性質包含： 1.辨認、分類、描述、命名幾何形體（平面圖形與立體形體）。 2.描繪、仿製、建造幾何形體。
3.辨認、描述形體之屬性及其部分（如 角、直線、平面…）。 4.理解形體的組成要素及其關係。 5.理解垂直、平行等性質及其關係。

18 電腦的繪圖功能也能幫助建立幾何概念 有效提升角度判斷能力的學習，且能有效的幫助建立對稱幾何和空間能力 。 遊戲設計值得注意的是可以增進課程的效力。 logo活動可以用來促進學生提升到在Van Hiele 分級中第二階段（描述/分析）和第三階段（抽象化/關係）的能力。

19 教學現場問題 錐體與柱體名稱何時引入？ 正方形是長方形的特例，但一年級課程兩個名稱一起出現，是否有誤導作用？ 菱形的名稱何時可以出現？
先教平面幾何圖形，還是先認識立體圖形？ 錐體與柱體名稱何時引入？ 正方形是長方形的特例，但一年級課程兩個名稱一起出現，是否有誤導作用？ 菱形的名稱何時可以出現？

20 待續… 下一位由依萍報告

21 建構與互動的幾何程式- 電腦軟體的助益 Supposer程式-Supposer 課程允許學生去選擇一個簡單的形狀，例如三角形或四邊形，且去完成測量工作和幾何建構 (在動態幾何程式中，用滑鼠即可在電腦做出圖形。做出來後，幾何物件可以移動和操作做出無窮的變化。距離、長度、面積、角度、斜率及周常都可以測量，當圖形改變，測量結果也跟著改變)。

22 電腦軟體的助益-結果發現 在幾何測驗中，Supposer 學生成就比沒 有 Supposer 的一樣或較好 。(Yerushalmy,Chazan,&Gorgon,1987) ㄧ項比較研究發現:使用該軟體的班級比沒有使用的班級分數高很多，並且有助於應用與更高層次的問題　（McCoy,1991;Yerushalmy,1991） 　學習Supposer 的學生在圖表的了解上也獲得一些助益。 雖然Supposer 的使用從教師和學生兩者中發現在操作上有困難且引起一些挫折，但好處仍是相當明顯的 。 困難分三類：管理操控、個人操控、專業操控

23 Implication意涵-經由研究一些發現，利用不同的電腦環境效果較為明顯
首先：研究者和老師一致認為利用電腦的論點，學生無法“隱藏”他們的問題。這不僅讓部份的老師和學生沒有挫折感，而且數學天份比較能發揮 第二：至少在高中階段，學生對於課程各種組合的用途會感到困惑。在小組討論、螢幕或投影機這三種電腦環境的運用是同樣的重要。 第三：學習的評價必須重新被思考：傳統的方法無法評判學習成果的所有分佈情況。在某些情況下這些方法會比較沒有鑑別度。 ※適當設計軟體程式，在幾何觀念上有較高階的互動。

24 Implication意涵 適當的使用經過設計的軟體，可以引發幾何想法的高層次互動。
某些電腦環境允許操作螢幕上的物件，來幫助學生可以視物件為教室中幾何物體的舉體呈現。使用軟體可以發展學生使用抽象方法思考的能力。 進一步思考：有效的教育環境中，使用電腦來做活動與老師的調適是很重要的，更主要的許多條件支持配合，如師資培育者、上級主管、同儕，最終是學校的系統與文化支持。

25 挑選幾個的幾何主題來加以補充教與學的研究
幾何主題一:形狀、 全等、相似 幾何主題二:對稱、 幾何移動 幾何主題三:角、平行、垂直 幾何主題四:導航、座標、結構二維空間 幾何主題五：證明

26 幾何主題一:形狀、全等、相似 兒童對於形狀的想法： 1.能分辨○和□;較不會分辨和△和□ 2.大部分學生會分辨△，即使底邊不是直的， ▽⊿
3.ㄧ些會影響分類的數學特徵：歪斜、外觀比例、方位 　 4.三角形高度對底部的比例兒童比較喜歡外觀的比例一致的，即高度和寬度大約相同的。學生不喜歡的三角形和四邊形是太瘦、不夠寬… 學習分類的重要： 【生活中的幾何】【故事書-貪心的三角形】 【昌爸幾何教材影片檔-幾何圖形的繽紛世界遊 】

27 幾何主題一:形狀、全等、相似 年幼的孩子開始發展全等概念 幼稚園（邊緣對齊）、一年級（置疊）、中高年級（幾何特性和移動）
　幼稚園（邊緣對齊）、一年級（置疊）、中高年級（幾何特性和移動） 電腦設計軟體可以幫助學生學習相似與比例概念 （史芬克斯是拼圖的一種,體驗放大比例圖 ） 學生缺乏三維辨別力、推薦操作經驗與電腦環境(Sachter,1991) 【索馬立方體】【活動17.五方塊組拼湊遊戲】

28 幾何主題二:對稱、幾何移動 兒童早期就有對稱概念直覺想法，但直到12歲才穩固建立(Genkins,1975) 學生較容易掌握垂直對稱
學生較容易掌握垂直對稱　 電腦化環境對發展對稱、幾何移動概念特別有效。透過電腦遊戲，教幾何移動非常成功。Logo課程。 ex:【昌爸網站-趣味數學-幾何概念-對稱剪紙】 【方形組合視差 】

29 幾何主題三:角、平行、垂直 研究指出學生對於角有許多不同的想法：
　角度要有一個地平線射線、直角是指向右邊的角、不同方向直角測量是不一樣、角大小與線長度有關 教育者要幫助學生建立健全的角度概念 發現電腦遊戲些微促進學習角度估算技巧（Ｂright,1985） 【昌爸網站 生活數學-圖形空間-三角板和15度 】

30 幾何主題三:角、平行、垂直 平行與垂直兩者在一些運用上，對學生都是困難的概念
雖然學生在四年級學習直角，但只有三分之二可以瞭解直角概念，學生似乎被限制在水平和垂直線上。（Mitchelmore,1992）

31 幾何主題四:導航、座標、結構二維空間 空間知覺包括 空間導向和空間想像….
空間導向：知道自己置身位置和如何到不同地方。（在空間中不同位置理解和操作其關係，特別是注重自身位置） 心象圖（mental maps）:幼稚園學生就開始發展，從地標、路線、最後是路線和位置放入心象圖。年紀越小連結力越弱，即使有相似心智也可能產生不同地圖。

32 幾何主題四:導航、座標、結構二維空間 圖像表徵、抽象表徵 大部分學生都能從地圖中學習（boardman,1990）
地圖使用是國小到國中很重要的連結（presson,1987），必須要有【視空間關係為自身抽離】的能力。 發展學生製作與使用心象圖能力是重要的，還有從地圖中發展幾何點子。 繪製有意義的地圖四個基本問題：方向、距離、位置、確認物體。 學生必須學習處理抽象、概念與符號的過程 圖像表徵、抽象表徵

33 待續… 下一位由維國報告

34 導航、座標、二維空間結構 學生們 可以藉由合作學習， 建立對大樓或街區的模型， 從透視圖法中獲得經驗。 舉例來說，
他們可以從許多的觀看點，識別街區的架構。 或者從所拍攝的照片中，發現各式各樣的觀看點。

35 導航、座標、二維空間結構 學生們需要發展更複雜，關於方向的想法。 就以他們生活上的經驗--- 走動時，例如左邊、右邊和正面；
全球的方向性，例如北方，東方，西方和南方。 這樣的想法，伴隨著距離和測量想法， 可以在兒童們建立和閱讀他們自己生活環境的地圖時，建立起這些概念想法。

36 導航、座標、二維空間結構 Piagetian觀點， 這個盒子是由觀察者的不同的觀看位置組合。 在這只盒子內的物體可能是移動的，
但是其相對的位置卻是固定的。 全部的位置，可以同時組織出現在3維坐標系統。

37 導航、座標、二維空間結構 Piagetian觀點， 這樣的概念化逐漸地將，物體的次序關係、物體間的距離、它們所在位置的相互關係 更換。
這樣的概念化逐漸地將，物體的次序關係、物體間的距離、它們所在位置的相互關係 更換。 空間的直覺，並不是與生俱有對物體的觀點，而是藉由多次對該物體的活動累積延伸而成的。

38 導航、座標、二維空間結構 Piagetian觀點， 4到6歲的兒童 (a) 可以推斷直線從哪個位置與將在哪相交，在二維空間中。
(b) 可以從“點” 轉換到“座標”，也可以從“座標”轉換到 “點”。 (c) 不論有無方格線，孩子可以推斷位置。 修改對兒童早期座標關係能力發展的觀點。

39 導航、座標、二維空間結構 既便幼小孩子起初就有這方面的能力， 然而較年長的學生對於方格和參考座標系統， 卻沒有發展成牢固的概念。 空間結構，
是對於存在於空間內的物體進行建構組織的一種心象操作。過程包含：於記憶中選取、協調、統整、紀錄，一套心象物與行動。

40 導航、座標、二維空間結構 清楚的空間組織心象， 在有意義的使用方格和坐標系統之前。 方格，
可以被視為方形區域集合而不是只單純視為正交的直線。 方格內的距離關係與次序，在二維空間內被建構、調整。

41 導航、座標、二維空間結構 標記方格線上的點， 是由一組有條理的座標形式，結合方格的次序、關係距離， 讓它們形成可以被運作的心智數目。 方格，
一方面，雖然可以協助學生他們空間的組織； 另一方面，卻也不知不覺成為學生面對方格與座標系統內的障礙。

42 導航、座標、二維空間結構 當使用座標系統時， 學生能重建“將區域內分離物的計數、定量”水準。 學生必須學習 (a) 將方格代表了什麼予以量化
(b) 將量化，以計數活動來連結 (c) 納入這些想法，到部分全體的統合方案，連結方格與計數 (d) 最後， 在這個統合方案裡建造成比例關係。

43 導航、座標、二維空間結構 當使用座標系統時， 學生必須將他們對於數的方案與空間的方案 予以結合（數線的心象連結到線性的單位） 資訊環境
能額外的協助發展學生才能，也可以給予學生評鑑其”概念是否清楚”和”學習作業是否準確”。

44 幾何的教與學 幾何證明Proof 證明， 在建構新數學時，提出問題、推演結果，舉出反例，最後修正推演結果。
其在數學上的三種功用必須被詳細證明(Bell, 1976)： (1) 證實－ 建立一套正確的建議 (2) 闡明－ 是以什麼樣的眼光來提出一套正確的建議 (3) 系統化－ 對演繹系統提出統整建議。 大多數美國學生並不知覺或經驗這些功能。

45 幾何的教與學 幾何證明Proof 證據指出在中學幾何學課程，即使是高成就的學生也很少從傳統中學習到有意義的數學
(Brumfiel，1973)。 大約只有30%的學生，在一整年幾何課程中到達75%支配書寫的水準 (Senk； 1985)。

46 幾何的教與學 幾何證明Proof van Hieles夫婦的理論 在他們所提出幾何思維的早期水平，學生建立對形狀範疇的“網狀關連性”。

47 幾何的教與學 幾何證明Proof van Hieles夫婦的理論
靠著網狀的敘述說明，將邏輯概念解析重新塑造而成，並且還能簡單扼要的說明這些法則。 演繹推理發生在第3水平，存在於概念特性之間的網絡邏輯關係被建立時； 在第1或第2水平的學生，並不會懷疑他們自己觀察經驗的正確性，因此對他們而言，證明是明顯的毫無意義(de Villiers, 1987)。

48 皮亞傑的理論 在第1水平， 學生思想不反思和無系統。 收集的每一則訊息被認為是一獨立事件，既 不能牽涉到其它事件，也無法互相比較。
幾何的教與學 幾何證明Proof 皮亞傑的理論 在第1水平， 學生思想不反思和無系統。 收集的每一則訊息被認為是一獨立事件，既 不能牽涉到其它事件，也無法互相比較。

49 皮亞傑的理論 在第2水平 思維是合乎邏輯的，但卻缺乏相關經驗。 學生的行動更具有目的性， 並且將努力為 “預估”做證明。
幾何的教與學 幾何證明Proof 皮亞傑的理論 在第2水平 思維是合乎邏輯的，但卻缺乏相關經驗。 學生的行動更具有目的性， 並且將努力為 “預估”做證明。

50 皮亞傑的理論 只有第3水平的學生， 能邏輯演繹的 與 後設認知在一個 數學系統內操作。 學生會因為於與其它人辯論、爭執，而在 水平間移動。
幾何的教與學 幾何證明Proof 皮亞傑的理論 只有第3水平的學生， 能邏輯演繹的 與 後設認知在一個 數學系統內操作。 學生會因為於與其它人辯論、爭執，而在 水平間移動。

51 幾何的教與學 幾何證明Proof Van Hiele與皮亞傑 比較
van Hiele注重思維內容物，而Piaget則注重合乎邏輯操作的推理。 對於第2水平或較高層度，這兩種幾何學思維，學生也可能只是死記而不能瞭解證明的目的。 當在概念的特性之間的邏輯關係式的網路被建立時，老師應該讓學生可以為他們在每個水平時所具有的思維辯護。

52 幾何的教與學 幾何證明Proof Van Hiele與皮亞傑 比較 從第3水平開始更應該著重演繹他們自己的思維。
雖然皮亞傑提出的推理，可能比van Hiele所提出的幾何思維層次的學理論點還要不穩固 (Clements & Battista, 1992)。 然而在這兩者之間，仍然互相的影響彼此(see Mc Donald, 1989)。

53 幾何的教與學 幾何證明Proof 發現與建立正確的經驗法則和演繹法則，應該彼此的互相影響並且加強。
學生的證明經常會因為被給予的數字而特殊化； 如果一個不同的數字被使用，他們可能被要要求表明另一個新證明(Martin & Harel, 1989)。 這顯露一個關鍵的問題，兩個表徵是否恰當的，決定是否使用相同的證明。

54 幾何的教與學 幾何證明Proof 小結 比較起來，只依據van Hiele 理論的解釋，可能不會比傳統教學方法好(Han, 1986)。
對於幫助學生擴展他們理解數學證明的性質，其它方法可能是更成功的(Driscoll, 1983)。這樣包括： 合作調查研究 學生做出推測並且以此，提出辯論和證據、 檢定不符合的說明， 假說證明，來解決歧見(Fawcett, 1938; Human & Nel, 1989)。

55 幾何的教與學 幾何證明Proof 小結 這種方法讓學生，發現和闡述數學中的決定性的要素－推測、嚴謹的推理、批判辯論的建立，可以被其它人細察。
先前討論過，資訊的環境可以作為另外一種教學方法(de Villiers, 1992) 這樣的努力可能建立一個推測和論證的認知模型(Koedinger，1998)。

56 幾何的教與學 在教學幾何上其它的問題 其它課程 一個學生在幾何學上有低成就的表現， 主要的原因就是在課程，
這當中的什麼的主題被討論著、他們是如何被討論 (Jaime，Chapa，&Gutierrez，1992)。

57 幾何的教與學 在教學幾何上其它的問題 其它課程 初等與中等學校的幾何課程的主要焦點，就在 識別和命名的幾何形狀；
將當中簡單的幾何概念，寫下適當的表徵； 使用幾何測量工具的技能，如指南針、量角器； 在幾何測量過程中使用公式(Porter，1989)。

58 幾何的教與學 在教學幾何上其它的問題 其它課程 Lehrer、Jacobson和同事們於1998年，設計的教室環境，
他們著重在每一天中的教學活動上，這包含： (a) 覺察與形式的使用（注意圖案與操作積木）， 引導到數學上的集合、分類與變形。 (b) 尋找方法wayfinding（在附近駕駛）， 引導到數學上的位置與方向。

59 幾何的教與學 在教學幾何上其它的問題 學生對於幾何的思維，變得更豐富更有能力。 其它課程 (c) 繪製（例如，表徵世界的方向性）
引導到數學上的圖像、其它想像空間的系統。 (d) 測量（例如，”有多遠”、”有多大”的問題）， 引導到數學上的長度、面積和體積的測量。 學生對於幾何的思維，變得更豐富更有能力。

60 幾何的教與學 在教學幾何上其它的問題 其它課程 來自荷蘭開發的類似教學活動圍繞以下主題： 觀測與射影、 確定範圍和定位、 空間推理、 轉化、
繪畫和建造、 測量和計算 (de Moor，1991)。

61 幾何的教與學 在教學幾何上其它的問題 其它課程 芝加哥大學數學計畫(UCSMP)改革的課程 與傳統的課程比較，
這門課程將幾何學融入學校的課程中， 並且漸進地要求學生學習更難的幾何學。

62 幾何的教與學 在教學幾何上其它的問題 其它課程 The Jasper Geometry adventures，
代表著另一種很不錯的教學方法(Zech et al.，1989)。 教學單元，包含於建築、尋找方法和測量。 在6到8 年級的評比中， 它改善學生辨識幾何的能力並且能增加應用幾何知識於解決現實世界情況的問題。

63 幾何的教與學 在教學幾何上其它的問題 其它課程 幾何教學單元與輔助軟體 教學單元，擁有多樣化的容與教學方法，包含
(a) 對於兒童幾何思維，理論上與經驗上 的支持 (b) 對領域教學活動的反覆測驗 (c) 幾何教學目標的一致性。

64 幾何的教與學 在教學幾何上其它的問題 教學的策略 主要改進就是要求教師教更多的幾何學。
教師如果能籌畫學生的訓練、讓學生更專心於，所設想處理路徑、驗算、對問題的反思，這些將改善高中學生中，高學習動機與低學習動機的學生。(Abravanel, 1977; Chinnappan & Lawson, 1992)

65 幾何的教與學 在教學幾何上其它的問題 教學的策略 研究顯示，教學概念可以分支為：
第一，結合講述法與發現法的教學方法，比結構發現法更有效(Klausmeier,1992)。 在講述教學裡，教師的語辭上的提示將可以協助學習者；肯定的回饋語和建議改善，也引領學習者在概念的特性上更精鍊並且避開迷失概念。

66 幾何的教與學 在教學幾何上其它的問題 教學的策略 研究顯示，教學概念可以分支為：
第二，同一教學時間裡將兩個或更多相關的概念互相比較，將比一次只講述一個概念更有效的被學生吸收。 第三，包含非典型到典型的例子，可以協助學生概念的進步。 第四，學生應該被要求操作檢查每個項目，看看每個項目是否它明確其屬性。

67 幾何的教與學 在教學幾何上其它的問題 教學的策略-文化上 日本成功的教學， 在於使用引導的教學方法，
這包含：在二維和三維空間幾何上、推論關係的要求上，均會使用一些代表性的幾何問題。 與美國比較， 日本課程在獨創性上比較少，也很少使用物理學上的例子；經常充斥著：定義的說明、使用圖示或作業例子、證實所測量的數據(Hafner, 1993)。

68 幾何的教與學 在教學幾何上其它的問題 教學的策略 班級內的文化，
高能力和高社經背景的學生，由於在教學中受到教師高度的期許，成為老師注意的唯一對象。 在合作學習策略的教室，學生的學習動機也比較高 美國的文化， 由於印地安學生，先天語言與文化背景，也間接影響學生的學習。

69 幾何的教與學 在教學幾何上其它的問題 專業訓練 教師的專業訓練，對於改善學生的幾何學習是有效的。
舉例來說，專業研習課程，將提升教師在數學上的幾何知識與認知上學生的幾何認知發展(e.g., the van Hiele theory)，這使得中學教師，對於幾何學的知識內容、van Hiele的水平認識，都有顯著的改變。 而且在教師的特色、應該教什麼、如何教， 也有顯著的改變。

70 幾何的教與學 在教學幾何上其它的問題 專業訓練 教師們需要兩個專業訓練， 引導教師在推行上與信念上的反省、 除去限制條件的系統改革。
同樣地， 師範教育也必須去啟發老師們在單元教學的概念知識。

71 特殊學生的需求 不願意聽講的學生會有低成就表現， 可能是以下幾個原因造成的， 缺乏適度的指引、 對於數學語言上的缺乏。
幾何的教與學 在教學幾何上其它的問題 特殊學生的需求 不願意聽講的學生會有低成就表現， 可能是以下幾個原因造成的， 缺乏適度的指引、 對於數學語言上的缺乏。

72 幾何的教與學 在教學幾何上其它的問題 特殊學生的需求
如果教材適合他們的特別的需求，有特別需求的學生將可能充分地學習(Mason, 1995)。 此外，電腦的操作也能提供協助—使用互動式輔助幾何教學軟體，協助不瞭解”角”的高中生

73 幾何的教與學 在教學幾何上其它的問題 特殊學生的需求 Mason (1997)有與6到8年級數學資優生合作，發現
他們當中有許多對多樣形體的必要屬性，並不十分清楚。 因此，需要去評估資優學生的幾何知識。 他們比一般學生擁有較高的van Hiele 水平並且能在更高層中推論， 但是他們仍然需要基礎的知識，如：各種形狀的屬性。

74 幾何的教與學 結論 幾何學，提供我們一種模式去考量我們的物質環境，也可作為學習其它數學上與科學上主題的工具，
但是它卻只在教學課程中獲得到小小的注意。 NCTM 標準，需要重新重視幾何教育並為所有的年齡的學生建立一套階段的學習發展，從學前教育(進入幼稚園以前)到12年級。

75 幾何的教與學 結論 儘管當前學校的幾何學，雖然促進了一些概念的轉變，但是當中”弊”仍然多餘”利”。 為了那些被遺棄的學生、
為了學習更艱深的幾何學、 更為了其它依賴幾何學知識的學科與主題， 仍然必須持續對幾何學的教學，研究並改進！

76 感謝！ 大家耐心的聽完， 累了吧！ 回家好好讓辛苦的大腦休息吧 …. ^_^
感謝！ 大家耐心的聽完， 累了吧！ 回家好好讓辛苦的大腦休息吧 …. ^_^