第十二讲的内容、要求、重难点 Mechanic of Materials 教学内容： 教学要求： 重点： 难点： 学时安排： 2

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1 第十二讲的内容、要求、重难点 Mechanic of Materials 教学内容： 教学要求： 重点： 难点： 学时安排： 2
利用M、Fs与q 间的微分关系绘剪力图和弯矩图 教学要求： 1、理解弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系； 2、掌握利用M、Fs与q间的微分关系绘剪力图和弯矩图 重点： 利用M、Fs与q的微分关系绘剪力图和弯矩图。 难点： M、Fs与q间的微分关系缘由 学时安排： 2

2 第十二讲内容目录 Mechanic of Materials 第四章 弯曲内力 §4.5　弯矩、剪力与荷载集度之间的关系

3 §4.5 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 Mechanic of Materials x 载荷集度、剪力和弯矩关系： 零平斜 平斜弯
§4.5　弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 一、引言： 请你写出图示梁各段的荷载集度方程、剪力方程、弯矩方程。 Mechanic of Materials x 载荷集度、剪力和弯矩关系： 零平斜 平斜弯

4 §4.5 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 Mechanic of Materials 二、微分关系的证明： 略去二阶微量后得： 零平斜
§4.5　弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 二、微分关系的证明： dx Fs(x) Fs(x)+dFs(x) Mechanic of Materials M(x) M(x)+dM(x) C q(x) 略去二阶微量后得： 零平斜 平斜弯 载荷集度、剪力和弯矩关系：

5 §4.5 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 一、 作内力图步骤: Mechanic of Materials
§4.5　弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 一、 作内力图步骤: Mechanic of Materials 1、根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面将梁分段； 2、求控制面上的剪力和弯矩数值。 3、建立Fs-x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值按比例绘出相应的内力竖标标在相应的坐标系中。 4、应用微分关系, 用直线或曲线连结各控制面的内力值的纵坐标值，进而画出剪力图与弯矩图。

6 §4.5 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 二、 注意: Mechanic of Materials
§4.5　弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 二、 注意: Mechanic of Materials 1．图上要注明单位、控制面值、特殊点纵坐标值。 2．梁的结构示意图、计算简图、剪力图和弯矩图要竖向排列，清晰表达各自对应关系，原图、内力图之间不要插入文字。

7 §4.5 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 Mechanic of Materials 探索:积分法作弯矩图 A C B Fs(kN) a b
§4.5　弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 探索:积分法作弯矩图 B C 35kN 25kN A Mechanic of Materials - + 2.5 Fs(kN) Fs(x) b c a M(kN▪m) - + d x dx 1、从左到右正面积取正，从右到左负面积取正。

8 §4.5 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 Mechanic of Materials 解：（1）确定约束力 1m （2）分段、特征
§4.5　弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 例 1 ：试画梁剪力图和弯矩图 解：（1）确定约束力 1kN.m Mechanic of Materials B A C D 2kN 1m FA FB （↓） （↓） 1 （2）分段、特征 Fs（kN） + Fs图：AD、DB 平 - 1 M图：AC、CD、DB 斜 从所得到的剪力图和弯矩图中不难看出AB段与CD段的剪力相等，因而这两段内的弯矩图具有相同的斜率。 此外，在集中力作用点两侧截面上的剪力是不相等的，而在集中力偶作用处两侧截面上的弯矩是不相等的，其差值分别为集中力与集中力偶的数值，这是维持集中力处、集中力偶处小段梁的平衡所必需的。 （3）控制面的Fs、M值。 M (kN▪m) 1 1 - - （4）作Fs、M 图。

9 §4.5 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 Mechanic of Materials 例 题 2 q qa A a q a 2q a
§4.5　弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 例 题 2 解：（1）分段、特征 q Fs图：AB（平）、BC （斜） qa Mechanic of Materials M图：AB（斜） 、 BC （弯） A B C （3）控制面的Fs、M 值。 a Fs图 - - q a 2q a M图 - （4）作Fs、M 图。

10 §4.5 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 Mechanic of Materials 例 题 3 解（1）求支反力 q qa2 A B C
§4.5　弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 例 题 3 解（1）求支反力 q qa2 A B Mechanic of Materials C D （2）分段、特征 FA qa FD Fs图： AB（平）、BC （斜） 、CD （平） a M图：AB（斜）、BC （弯） 、CD （斜） e qa/2 （3）控制面的M值。 Fs图 + - - qa/2 qa/2 qa2/2 M图 qa2/2 + qa2/2 - 3qa2/8

11 §4.5 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 Mechanic of Materials 例题4试画出梁剪力图和弯矩图。 解1：1．确定约束力
§4.5　弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 例题4试画出梁剪力图和弯矩图。 解1：1．确定约束力 q 校核 Mechanic of Materials B A C a 4a qa （2）分段、特征 Fs图： AB（斜）、BC （平） M图：AB（弯）、BC （斜） 9qa/4 7qa/4 （3）动点轨迹法画FS图。 + （4）控制面的M值。 81qa2/32 Fs图 e=9a/4 - qa qa2 + M图

12 §4.5 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 Mechanic of Materials 例题5 试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。
§4.5　弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 课外练习 例题5 试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。 qa2/2 B A a qa C D q Mechanic of Materials 解：1．确定约束力 从铰处将梁截开 3qa/2 q D C qa/2 FD qa FB （+） （-） qa/2 qa/2 Fs M qa2/2 （-） qa2/2

13  课堂练习1 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的内力图。 解： 1、求支反力 2、判断各段Fs、M图形状： FB FA
D A B C FA FB 2、判断各段Fs、M图形状： CA和DB段：q=0，Fs图为水平线， M图为斜直线。 4.2 Fs(kN) 1.41 E x=2.1m + 3 - - 3.8 3.8 2.2 AD段：q<0， Fs图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。 M(kN·m) + + 3 -

14 课堂练习2  结构对称， 载荷反对称， 则Fs图对称， M图反对称 + - Fs图 - + M图

15 结构对称，载荷对称，则Fs图反对称，M图对称
课堂练习3  + - Fs图 + M图 结构对称，载荷对称，则Fs图反对称，M图对称

16 作业 作业 利用微分关系绘制内力图 4-13ab、1f、6b