索瑪立方塊 Soma Cube 財團法人台北市九章數學教育基金會 孫文先.

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1 索瑪立方塊 Soma Cube 財團法人台北市九章數學教育基金會 孫文先

2 索瑪立方塊的誕生 索瑪立方塊是由丹麥詩人及科學家皮亞特‧海恩（Piet Hein）發明的。
1936年，皮亞特‧海恩是在聆聽偉納‧海森伯格演講「量子物理」的場合，構思出索瑪立方塊的。

3 索瑪立方塊的誕生 當時這位德國物理學家正在講述把空間切割成立方體。皮亞特‧海恩敏銳的想像捕捉到以下的幾何原理：
將4個以內，大小相同的立方體，以面相連接，構成的所有不規則形狀，可以重組成一個較大的立方體。

4 索瑪立方塊的誕生 海森伯格還在演講，海恩已經很快地在紙上塗塗畫畫，確定這總體積為27單位的7片形狀可以組成一個3×3×3立方體。
演講結束後，他把27個單位立方體黏成這7個形狀，並很快地證實他的想法。索瑪立方塊從此誕生。

5 索瑪立方塊的誕生 1969夏，派克兄弟公司（Parker Brothers Inc.）首度將索瑪立方塊上市。
在此之前，馬丁‧嘉德納（Martin Gardner）曾撰文在《科學美國人（Scientific American）》的數學遊戲專欄中介紹過，並使它風靡全球。

6 索瑪立方塊的誕生 索瑪立方塊可以用來協助人們增進空間關係的思維技能，它能讓人們沈迷數小時享受探索的樂趣。

7 索瑪立方塊的組件 索瑪立方塊的基本結構是單位正方體。

8 索瑪立方塊的組件 2個單位正方形以面相連接，只有1種形狀（旋轉、翻轉視為相同），但它是規則的長方體，不符合皮亞特‧海恩的設計原意，所以不採用。

9 索瑪立方塊的組件 3個單位正方形以面相連接，有2種形狀，但右邊成「I」字型的那片是長方體，不採用。

10 索瑪立方塊的組件 4個單位正方形以面相連接，有8種形狀，其中「I」字型及「田」字型是規則形狀，亦不採用。

11 索瑪立方塊的組件 這7片就是索瑪立方塊的組件，總體積為27單位，可以重拼成3×3×3的正立方體。 3D 旋轉

12 索瑪立方塊組件的編號與配色 我們把每片組件編上號碼1～7。
如果圖形是由二套索瑪立方塊拼成，則第二套索瑪立方塊用V、L、T、Z、A、B、P作為編號。 此編號是國際通用的。 1 V 2 L 3 T 4 Z 5 A 6 B 7 P

13 索瑪立方塊組件的編號與配色 「5號」與「6號」的簡易辨認規則：
豎起大姆指，則5號的形狀像我們的左手，6號的形狀像我們的右手，阿拉伯數字的寫法依序是由左到右，所以左＝5，右＝6。

14 索瑪立方塊組件的編號與配色 3號及4號的外型很像阿拉伯數字的3和4，應不難辨認。
1號、2號都是L形，1號是最小的3單位那片；2號則是4單位那片。 剩下的7號無論從那個方向翻轉，它都是對稱的。 3 4 1 2 7

15 索瑪立方塊組件的編號與配色 彩色索瑪立方塊的配色方法是採用Conway的建議，它便我們對拼出的作品進行分類。
另外，我們把七片索瑪立方塊組件用黑、白相間塗色，這可以方便我們作一些數學證明。 1 V 2 L 3 T 4 Z 5 A 6 B 7 P

16 索瑪立方塊DIY 用單位摺紙的方式製作索瑪立方塊： 首先您必須準備122張正方形的色紙。
正方形的邊長大小不拘，視您希望的成品大小而定，適當的尺寸是8～12公分。 裁切的正方形要儘量精確，否則成品會歪七扭八。

17 索瑪立方塊DIY 首先沿直線A對摺，再展開。然後沿直線B、C對摺。

18 索瑪立方塊DIY 接著沿直線D、E摺，再把全張紙展開。

19 索瑪立方塊DIY 把F、G向摺起來。→把H摺起來。 →把三角形I及梯形J摺起來。 →把三角形K摺起來塞進L底下。
→最後把三角形M及N往下摺，留下摺痕P，即完成一個配件。

20 索瑪立方塊DIY 重複上述步驟，每個正立方體需要6個配件。 把6個配件合併在一起成為小正立方體。
（注意：要把每個配件兩端的 三角形如右圖方式塞入另一配 件中。）

21 索瑪立方塊DIY 製作編號1號的索瑪立方塊組件，可以不用3個小立方體，只要用14個配件構造這個索瑪立方塊組件的外殼即可；也就是說2個小立方體交接的部份是空的。

22 索瑪立方塊DIY 繼續摺出其它的108個配件，製作索瑪立方塊其它的6個組件，每個索瑪立方塊組件都只需要18個配件。依索瑪立方塊組件的造型逐步連接它即可完成。 最後，還可以作個小紙盒子 包裝它，使它便於攜帶。

23 索瑪立方塊解答的記號 國際上通常以此圖形的正投影作為圖形的基底，由最上層至最底層，逐一在相對位置上填入索瑪立方塊組件的編號，有空洞的位置寫上「0」或「‧」。 上層 中層 下層 411 657 677 後面 415 455 667 333 432 222 前面 3 4 2 1 5 7

24 單組索瑪立方塊的拼圖 簡單的七片索瑪立方塊組件，可以構造變化萬千的圖形，有動物、傢俱、建築、飛機…等可愛的造型。
索瑪立方塊拼圖的基本技巧是試著以其中2片拼成階梯式樣。 解答

25 單組索瑪立方塊的拼圖 左圖可用索瑪立方塊組件中的3片拼成， 而右圖則是用另外的4片拼成。 解答

26 單組索瑪立方塊的拼圖 若取出最小的1號這片，用其它的6片可以拼成與它相似，且放大為2倍的造型。 解答

27 單組索瑪立方塊的拼圖 用7片組成3×3×3立方體有非常多種拼法，下面是一個非常特別的構造方法：先用其中的3片及4片拼成2個圖形，再將其合併在一起。 解答

28 單組索瑪立方塊的拼圖 http://users.ids.net/~salberg/soma/Soma.html

29 雙組索瑪立方塊的拼圖 利用兩組索瑪立方塊一起拼圖，不僅挑戰難度加大，樂趣也加倍。 解答

30 索瑪立方塊的數學 可以放在什麼位置？ 一個正立方體有6個面、8個頂點、12條邊。我們若把頂點所在的8個單位立方體塗上顏色，則索瑪立方塊的各組件能佔住角落的數量如下表：

31 索瑪立方塊的數學 可以放在什麼位置？ 組件編號 1號 2號 3號 可能佔住角落數 0或1 0、1或2 0或2 組件編號 4號 5號
6號 7號 可能佔住角落數 0或1

32 索瑪立方塊的數學 可以放在什麼位置？ 如果3號組件佔住0個角落，即使2號佔住2個角落，其它的組件各佔住1個角落，則全部組件最多也只能佔住7個角落，這樣就無法拼出有8個角落的正立方體。 組件編號 1號 2號 3號 4號 5號 6號 7號 可能佔住 角落數 1 2

33 索瑪立方塊的數學 可以放在什麼位置？ 因此，3號組件必須佔住2個角落，也就是說，它必須放置在邊緣的位置上。

34 索瑪立方塊的數學 可以放在什麼位置？ 我們若把3×3×3的立方體，黑白相間塗色，並使角落塗上黑色，則此立方體有14個單位立方體是黑的，13個是白的。

35 索瑪立方塊的數學 可以放在什麼位置？ 把索瑪立方塊的7片組件置入，其所佔位置的黑白數量可能值如下表所示： 組件 1號 2號 3號 4號 5號
6號 7號 總數 黑 2或1 2 3 3或1 14 白 1或2 1 1或3 13

36 索瑪立方塊的數學 可以放在什麼位置？ 以3號組件為例，它在3×3×3的正立方體內可能的位置如下圖： 3黑1白 3白1黑

37 索瑪立方塊的數學 可以放在什麼位置？ 由表中可知組件2號、4號、5號、6號無論放置在那個位置，都會佔住2黑2白。 組件 1號 2號 3號
7號 總數 黑 2或1 2 3 3或1 14 白 1或2 1 1或3 13

38 索瑪立方塊的數學 由前面的結論得知，3號組件必須放置在邊緣處，也就是說，它必須在佔有3黑1白的位置。
2號、3號、4號、5號、6號等5片組件共佔住11黑9白。由此推論，1號及7號組件必須佔3黑4白，可得知，7號必須佔住1黑3白，1號必須2黑1白，否則將不合。

39 索瑪立方塊的數學 可以放在什麼位置？ 這個結論也告訴我們1號至7號組件可能擺置的位置只能如下圖：

40 索瑪立方塊的數學 有多少組解？ 尋求某個索瑪立方塊拼圖共有多少組結構完全不同的解，是一個非常有趣的數學問題。
要證明這類的問題並不容易，首先你要實證所宣稱的每一個解都可以達成，然後，你必須證明沒有其它的解。

41 索瑪立方塊的數學 有多少組解？ 在派克兄弟公司的索瑪立方塊手冊上宣稱：John Horton Conway和M. J.T. Guy二位劍橋大學的數學家，首先提出將索瑪立方塊組件組成3×3×3立方體的方法有 240種結構完全不同的解，並經過電腦程式證實。

42 索瑪立方塊的數學 有多少組解？ Conway和Guy兩人後來發現，由239種解法（有一個解法異常）中的任一種開始著手，其餘的238種解答，可經由每次改動三片以下的組件而逐步解出 Conway並畫了一大張圖表（索瑪譜），顯示這239種解法彼此之間的關聯。

43 索瑪立方塊的數學 有多少組解？

44 索瑪立方塊的數學 有多少組解？

45 索瑪立方塊的數學 有多少組解？ 一個正立方體的對稱立方體有48個：
假設固定最上層的面，經旋轉有4種，6個面均可翻轉到最上層，如此即有24種。每一種都有一個鏡面倒影（Mirror image），故共有48種。

46 索瑪立方塊的數學 有多少組解？ 相同的位置上，7號組件有三種對稱的放置方式，1號、3號、4號、5號、6號組件各有2種對稱的放置的方式。因此，拼成3×3×3立方體如果不論結構是否相同，其所有解答的個數為 240×48×3×2×2×2×2×2＝

47 索瑪立方塊的數學 有多少組解？ 如果把索瑪立方塊的組件依下圖方式黑白相間塗色，請問黑白相間且頂點為黑色的3×3×3正立方體結構不同的解有多少種？如何證明？

48 索瑪立方塊的數學 有多少組解？ 美國Design Science Toys公司出品了一組斜索瑪立方塊，它的每個面都變成菱形的，數學上稱它為菱形體。該公司宣稱它結構不同的解答只有一種，你相信嗎？你能證明嗎？

49 索瑪立方塊的數學 可不可能拼成？ 並不是任何體積為27單位的圖形都可以用索瑪立方塊拼成，例如：下圖即不可能拼出。

50 索瑪立方塊的數學 可不可能拼成？ 這個造型不可能用索瑪立方塊拼出的證明是由加州理工學院噴射推進實驗室的數學家所羅門‧W‧哥隆（Solomon W. Golomb）首先發現的。

51 索瑪立方塊的數學 可不可能拼成？ 他將圖形的底盤，依下圖的方式黑白交錯塗色。

52 索瑪立方塊的數學 底盤塗黑色之上的整柱小立方塊都塗黑色，底盤塗白色之上的整柱小立方塊都塗白色。 全圖形共有19個黑色，8個白色。

53 索瑪立方塊的數學 可不可能拼成？ 檢視7片索瑪立方塊組件，以各種方向把它們一一放在圖形內，求取它所佔黑色方塊最大數目，此時，它佔用白色方塊數最少。以下統計表列出了每一塊的可能數：

54 索瑪立方塊的數學 可不可能拼成？ 結果這七片索瑪立方塊組件最多可以佔用18黑和最少佔用9白，比圖形的19黑8白多了1白，因此不可能拼成。
索瑪立方塊組件編號 1號 2號 3號 4號 5號 6號 7號 總數 最多佔用黑色方塊數 2 3 18 最少佔用白色方塊數 1 9

55 索瑪立方塊的數學 可不可能拼成？ 你能用索瑪立方塊組件拼出下面圖形嗎？如果能，請拼出它；如果不能，請給證明。

56 索瑪立方塊的數學 可不可能拼成？ 你能用索瑪立方塊組件拼出下面圖形嗎？如果能，請拼出它；如果不能，請給證明。

57 索瑪立方塊的數學 可不可能拼成？ 你能用2組索瑪立方塊組件拼出下面圖形嗎？如果能，請拼出它；如果不能，請給證明。

58 索瑪立方塊的數學 可不可能拼成？ 你能用2組索瑪立方塊組件拼出下面圖形嗎？如果能，請拼出它；如果不能，請給證明。

59 索瑪立方塊的數學 放多少片？ 在6×6×6的立方體盒子中， 最多可以放入3號組件多少片？為什麼？ 最多可以放入4號組件多少片？為什麼？
最多可以放入5號組件多少片？為什麼？ 最多可以放入6號組件多少片？為什麼？

60 索瑪立方塊的數學 放多少片？ 能不能用3號組件拼成一個長方體？如果能，最少要多少片？ 能不能用4號組件拼成一個長方體？如果能，最少要多少片？

61 SOMAplus SOMAplus是將被皮亞特‧海恩（Piet Hein）捨棄的4個規則長方體加進來（編號如下圖）。 D 1 V 2 L 3
D 1 V 2 L 3 T 4 Z 5 A 6 B 7 P 8 I 9 Q $ S

62 SOMAplus 用這11個組件，可以組成一個2×4×5的長方體。

63 THE END Thank you for your attention!

64 皮亞特‧海恩小史 皮亞特‧海恩（Piet Hein, 1905～1996）是具有廣泛興趣的丹麥詩人及科學家。
他的詩集在丹麥以筆名「Kumbel」著稱，擁有數百萬計的讀者。

65 皮亞特‧海恩小史 他最有名的詩集叫《Grooks》，這是他在1940年當納粹侵佔丹麥時寫的。當時他是反納粹組織的首領，組織轉入地下活動後，他致力寫詩。根據資料，《Grooks》賣了7000多本，當時麻省理工學院出版社在美國出版此詩集後，它一度榮登紐約時報暢銷書排行榜。

66 皮亞特‧海恩小史 皮亞特‧海恩具有多方面的天才。除了發明索瑪立方塊外，他也創建了一個新的幾何型體—「超橢圓」，它近似於長方形及橢圓之間，這個型體也可以成為三度空間稱之為「超級蛋」或「超級橢圓體」。

67 皮亞特‧海恩小史 在五十到六十年代，皮亞特‧海恩從事藝術及建築工作，他設計了一些造型優美的傢俱並努力推展「北歐設計」的商品形象，使他成為國際精品的表徵。 在國際上，他經常試圖在「硬」的科技與「柔」的人文之間建立橋樑。

68 皮亞特‧海恩小史 皮亞特‧海恩的創造力證明他是思維聰穎縝密的人—用他的左腦創造索瑪立方塊及超橢圓，用他的右腦創作詩集及散文。
他在數學及科學上的貢獻可與波爾（Niel Bohr）與愛因斯坦（Albert Einstein）並駕其驅。事實上，他曾與愛因斯坦共事多年，也曾是哥本哈根的波爾研究所的一員。

69 皮亞特‧海恩小史 不僅是皮亞特‧海恩如此傑出聰明，他的父親是個土木工程師，其最著名的設計是哥本哈根Tivolo遊樂園的雲霄飛車。
他的母親是位眼科醫師。 皮亞特‧海恩有二個兒子都熱愛索瑪立方塊，並有專業的研究，作出許多漂亮的造型及證明。

70 不規則形狀 所謂「不規則形狀」在數學上稱作凹多面體──多面體上能找到相異的二點，使得此二點的連線除了兩端點外不在多面體內部。
長方體任二點的連線都在它的內部。

71 單組索瑪立方塊的拼圖解答 下層 上層 前 後 662 ‧6 ‧ 222

72 單組索瑪立方塊的拼圖解答

73 單組索瑪立方塊的拼圖解答

74 單組索瑪立方塊的拼圖解答

75 雙組索瑪立方塊的拼圖解答 上→下 6 7 2 A 4 B T P ‧ 5 Z L 1 3 V