第十章 机械波 波动的种类: 机械波：机械振动在弹性介质中的传播过程. 电磁波：交变电磁场在空间的传播过程.

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1 第十章 机械波 波动的种类: 机械波：机械振动在弹性介质中的传播过程. 电磁波：交变电磁场在空间的传播过程.
第十章 机械波 振动: 于平衡位置，无随波逐流. 波动: 振动的传播过程. 波动的种类: 机械波：机械振动在弹性介质中的传播过程. 电磁波：交变电磁场在空间的传播过程. 物质波：微观粒子的运动, 其本身具有的波粒二象性.

2 波动的共同特征： 声波 具有一定的传播速度，且都伴有能量的传播。能产生反射、折射、干涉和衍射等现象. 天线发射出电磁波 水波

3 §10.1 机械波的产生和传播 特征：具有交替出现的波峰和波谷. 一、机械波的产生 1、机械波:机械振动在弹性媒质中的传播。
§10.1 机械波的产生和传播 一、机械波的产生 1、机械波:机械振动在弹性媒质中的传播。 2、机械波产生的条件: (1)要有振源(波源)； (2)要有传播振动的弹性媒质。 由弹性力结合的连续媒质 3、横波和纵波 (1)横波:传播方向与振动方向垂直（如：绳上波） 横波有波峰和波谷；只能在固体中传播。 特征：具有交替出现的波峰和波谷.

4 特征：具有交替出现的密部和疏部. (2)纵波:传播方向与振动方向平行（如：声波） 纵波有疏部和密部；可在固体、液体和气体中传播。
注意：波动只是振动状态在媒质中的传播，不论横波还是纵波，在传播过程中，媒质中各质点并不随波前进，只是在各自的平衡位置附近振动。 ■相位滞后原理：顺波的传播方向，各介质质点相位依次滞后

5 任一波，例如水波、地表波，都能分解为横波与纵波来进行研究。
水表面的波既非横波又非纵波

6 (1)波面:t 时刻相位相同的点组成的空间曲面(波阵面)
4、波的几何描述——波面、波线、波前 (1)波面:t 时刻相位相同的点组成的空间曲面(波阵面) 波面 波线 波线 波面 (2)波前:某时刻在最前面的波面 (3)波射线:沿波的传播方向作的射线,简称波线 在各向同性均匀介质中，波线与波面垂直. 可用任意一条波线上的波动情况代表整个波的传播情况。 6

7 二、 描写波动的物理量 1、波长:同一波线上相邻的、相位差为2π的两质元间的距离。 即一个完整波形的长度.（ ） 横波: 相邻的两个波峰（或波谷）之间的距离; 纵波: 相邻的两个密部（或疏部）之间的距离。 波长反映了波的空间周期性。 2、周期：波前进一个波长的距离所需要的时间 ，或一个完 整的波通过波线上某一点所需要的时间（ T ） 周期反映了波的时间周期性。 3、频率：单位时间内波前进距离中所包含的完整波的数 目。（ ）

8 4、波速：在波动过程中，某一振动状态在单位时间内传播的
距离叫做波速，也称相速。（u ） 说 明： 仅由波源决定，与媒质无关。 1） 2）波速的大小取决于媒质，与频率无关。 3）波长由波源和媒质共同决定。同一频率的波其波 长将随媒质的不同而不同。 5、波程差对应的相位差 由于波线上单位长度对应的相位差为 ，所以： 波线上相距为 的两点间的相位差 为

9 §10.2 平面简谐行波 一、平面简谐行波 1、平面简谐行波
§10.2 平面简谐行波 一、平面简谐行波 1、平面简谐行波 在平面波的传播过程中，若波源作简谐振动，媒质中各质元均按余弦（或正弦）规律振动，则此平面波称为平面简谐波。 平面简谐波是一种最简单、最基本的波动过程。 2、平面简谐行波波形曲线--波的图像 描述某时刻，波线上各点位移（广义）分布 对横波：直观给出该时刻波形和波峰、波谷的位置， 波峰 波谷 各质点的位移 各质点平衡位置

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11 注意：波形曲线与振动曲线比较 振动曲线 波形曲线 图形 研究 对象 物理 意义 特征 某质点位移随时间变化规律
A t P t0 T o x  某质点位移随时间变化规律 某时刻，波线上各质点位移随位置变化规律 由振动曲线可知 某时刻 其方向参看下一时刻状况 初相 周期T. 振幅A 由波形曲线可知 该时刻各质点位移 只有t=0时刻波形才能提供初相 波长 , 振幅A 某质点 方向参看前一质点 对确定质点曲线形状一定 曲线形状随t 向前平移

12 二、平面简谐行波波函数（波动方程的积分形式）
1、波函数：振动量y 随时间、空间的变化规律 在理想无吸收的均匀无限大媒质中，要建立平面简谐波的波函数，只要得到波线上任意点的振动表达式即可。 建立波函数的依据 波的空间、时间周期性 沿波传播方向各质点振动状态（相位）相继落后（滞后效应） 只讨论一维情况: 对平面简谐行波 已知： 波线上任一点O的振动方程 波线上任一点O的振动方程 求： 该平面简谐波波函数

13 解：以参考点O为坐标原点，波速u的方向为+x, 建立一维坐标。 设P为波线上任意一点，坐标 x
已知坐标原点振动方程 参考点 方法1 O的振动状态传到P所需时间 即 (1)

14 P点相位比 O 落后 方法2 即 (2) 由于 (1)、(2) 是一致的 由于P点的任意性，所以它的振动规律就反映了波动的整体规律。 (1)、(2) 式称为谐波函数

15 若波沿x轴负方向传播，则波函数的形式为：

16 1、 x 确定时（x = x0）为该处质点的振动方程，对应曲线为该处质点振动曲线。
二、 波函数的物理意义 x 确定时 1、 x 确定时（x = x0）为该处质点的振动方程，对应曲线为该处质点振动曲线。 其中: t 确定时 2、 t 确定时（t = t0）为该时刻各质点位移分布，对应曲线为该时刻波形图。 注意:波形图与振动曲线的区别

17 3、 t, x 都变化时，表示不同时刻,不同平衡位置处各质元的位移情况，即所有质元位移随时间变化的整体情况 —行波。
波函数描述了波形(相位)的传播，速度为u 在△t时间内，整个波形以速度u向前推进了△x=u△t。 波形曲线(波形图)

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19 例10.1、一平面简谐波沿x轴的正方向传播，已知其波函数为
(SI) 求：(1)波的振幅、波长、周期和波速；(2)媒质中质元振动的最大速度；(3) 画出t1= s 和 t2=0.005 s 时的波形曲线。 解: (1) 将已知的波函数写成标准形式 将上式与 比较，可得 (2) 媒质中质元的振动速度为 其最大值为

20 (3) t1= s 时，波形表达式为 t2=0.005 s 时，波形表达式为 波形图如下所示： y/m t/s

21 例10. 2、一平面简谐波以400m/s的波速沿x轴正方向传播。已知坐标原点O处质元的振幅为0. 01m，振动周期为0
例10.2、一平面简谐波以400m/s的波速沿x轴正方向传播。已知坐标原点O处质元的振幅为0.01m，振动周期为0.01s，并且在t=0时刻，其正好经过平衡位置沿正方向运动。求：(1) 波函数；(2) 距原点2m处的质点的振动方程；(3) 若以2m处为坐标原点，写出波函数。 解：(1)由题意，原点处质元在 t=0 时，初始位移 y0=0，初始速度v0>0，根据旋转矢量法得其初相位为 因此O点的振动方程为 所以其波函数为 (2)将x=2m代入波函数，得到2m处质点的振动方程为

22 例10. 3、一平面简谐波以400m/s的波速沿x轴正方向传播。已知坐标原点O处质元的振幅为0. 01m，振动周期为0
例10.3、一平面简谐波以400m/s的波速沿x轴正方向传播。已知坐标原点O处质元的振幅为0.01m，振动周期为0.01s，并且在t=0时刻，其正好经过平衡位置沿正方向运动。求：(1) 波函数；(2) 距原点2m处的质点的振动方程；(3) 若以2m处为坐标原点，写出波函数。 解：(3)如果坐标原点设在2m处，则x轴正方向x处质点的振动相位落后了 所以新坐标下的波函数为

23 例10.4、有一平面简谐波沿x方向传播，已知P点的振动规律为 ，在下列四种坐标选择下，写出波函数及距 P 点为 b 的 A 点的振动方程。

24 解：四种情况下A点的振动都比P点落后，根据相位差可写出它们对应的波函数：（此时A点为任意点，坐标为x）
P、A间距为b时，四种情况下A点的振动方程均为： A点相位比P点落后

25 例10.5、一平面简谐波在t=0时的波形如图(a)所示，在波线上 x=1m 处质元P的振动曲线如图(b)所示。求该平面简谐波的波函数。
y/m x/m 图(a) t/s 图(b) 解: 由图(a)可得 由图(b)可得 由图(b)可知P点处质元在 t = 0 时向下运动，因此波是沿x轴负方向传播的。则对于O点处，t = 0 时： 由旋转矢量法可得O处质元的初相为 所以波函数为

26 例10.6、一平面简谐波在 t=1s 时的波形如图所示。若已知波的振幅A、波速u 和波长λ，求：(1)该简谐波的波函数；(2)P点处质点的振动方程。
y x 解：(1)由于波沿x轴负方向传播，设波函数为 对于x=0处的质点，在 t=1s 时： 由旋转矢量法： 所以波函数为: (2) 将 代入波函数，得 P点处质点的振动方程为：

27 §10.3 波动方程与波速 一、波动方程 1、弹性介质中纵波波动方程 取小质元 ab = dx
§10.3 波动方程与波速 一、波动方程 1、弹性介质中纵波波动方程 取小质元 ab = dx 体积为dV = sdx， 质量为 dm=sd x 设质元被拉伸形变： 受弹性力 受弹性力 利用胡克定律有： 小质元dx所受合力： 其加速度：

28 2、柔软弦中的横波波动方程

29 对位于x与x+△x处的波面所围的体积元作为隔离体，其所受合力：
3、弹性介质中横波波动方程 在x处的剪切应变为 胡克定律 对位于x与x+△x处的波面所围的体积元作为隔离体，其所受合力： 其加速度：

30 在密度为，扬氏模量为E 的介质传播的纵波的波速公式为
二、波速与介质的关系 一维波动方程 将方程 与上方程比较得弹性介质中的波速： 波速的大小取决于媒质 在密度为，扬氏模量为E 的介质传播的纵波的波速公式为

31 传播的横波的波速公式为 在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些. 弦中横波的波速 在液体和气体中波速为 K为媒质的体变弹性模量; 为质量密度. 在液体和气体只能传播纵波. 理想气体纵波波速 (声速) 为气体的摩尔质量, T为热力学温度； R为摩尔气体常数,  是气体的比热容比. 波速与温度有关 深水波 浅水波 深水波的波速依赖于频率，这种现象称色散.

32 §10.4 平均能流密度·声强与声压 波的传播过程: (1)振动状态的传播(相位) (2)能量的传播 一、介质中的能量分布
§ 平均能流密度·声强与声压 波的传播过程: (1)振动状态的传播(相位) (2)能量的传播 一、介质中的能量分布 以棒内简谐纵波为例： 细长棒，沿x轴放置，密度 、横截面为S。 任取质元dx，质元的体积为 ，质量为 。 （1）质元的动能 设平面纵波的波函数为（设 ）： 则质元的振动速度为 质元的振动动能为

33 （2）质元的势能 波在传播过程中，质元不断受到相邻质元的挤压和拉伸而产生弹性形变，因而具有弹性势能。 假设在 t 时刻，质元左端的振动位移为y，右端的位移为y+dy，则质元的伸长量为dy，其应变为 ① 根据胡克定律 ( Y为杨氏模量) 考虑到 可以得出 又 则质元的弹性势能为 将①式代入，结合 ，整理可得质元的势能为：

34 （3）质元的总机械能: （4）能量密度: （波场中单位体积的能量） （5）平均能量密度（能量密度在一个周期内的平均值） 说明 ① 的相位、大小均相同；机械能不守恒。 ( 注意与振动能量相区别 ) 所以，波动过程中，某个质元的动能和势能同时达到最大（平衡位置处），也同时达到最小（最大位移处），而总机械能随时间作周期性变化。 ②波动是能量传递的一种方式，能量以速度 u 传播。

35 二、平均能流密度 1.平均能流密度 平均能流密度 ——单位时间通过垂直于波的传播方向上单位面积的平均能量. 平均能流密度是矢量,方向沿波的传播方向. 简称能流密度，或波强(坡印廷矢量). 2. 波的功率P（平均能流） 功率——单位时间通过截面 S 的平均能量 S与I垂直 P = IS

36 S与I不垂直, I与S法向成角, P = IS cos  S为任意曲面时 波源功率 [求证]在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变. [证明]平面波,在垂直于I方向取两平面 S1=S2 所以,平面波振幅相等： 得证.

37 对球面波：P1=P2 即 I1 S1=I2 S2 球面波 即振幅与离波源的距离成反比。 球面简谐波的波函数： 3. 各向同性均匀无吸收媒质中波的振幅变化 平面波 柱面波 球面波 S1 S2 S2 S1 S1 S2 S1S2, A1A2

38 §10.5 惠更斯原理 波的衍射 一、惠更斯原理 荷兰物理学家惠更斯(C.Huygens，1629-1695) 惠更斯提出:
§10.5 惠更斯原理 波的衍射 一、惠更斯原理 荷兰物理学家惠更斯(C.Huygens， ) 惠更斯提出: 媒质中波动传播到达的各点都可以看作是发射子波的波源，在其后的任意时刻，这些子波波面的包络（与所有子波的波前相切的曲面或曲线）就是新的波前，这就是惠更斯原理。

39 波在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过障碍物的边缘前进，这种现象称为波的衍射。
二、 波的衍射 波的衍射 波在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过障碍物的边缘前进，这种现象称为波的衍射。 衍射现象是波动的重要特征之一。 波长相同的水波通过宽度不同的窄缝 衍射现象显著与否，与障碍物的大小有关。

40 靠近狭缝的边缘处，波面弯曲，波线改变了原来的方向，即绕过了障碍物继续前进。
可用惠更斯原理定性解释波的衍射现象 A B 靠近狭缝的边缘处，波面弯曲，波线改变了原来的方向，即绕过了障碍物继续前进。

41 §10.6 波的叠加和干涉·驻波 一、 波的叠加原理 1、波传播的独立性原理
几列波在空间某点相遇后，每一列波都能独立地保持自己原有的特性(频率，波长，振幅，振动方向)传播，就像在各自的路程中，并没有遇到其他波一样. 2、波的叠加原理 在波相遇区域内，任一质点的振动，为各波单独存在时所引起的振动的合振动. 41

42 注：此原理只适用于线性行波，对非线性行波(如爆炸)不适用.
重要性：可将任一复杂的线性行波分解为简谐波的叠加. 波的叠加原理的基础是波动方程为线性微分方程 若 y1 、y2 分别是它的解，则 (y1+y2) 也是它的解, 即波动方程遵从叠加原理.

43 二、 波的干涉 1、干涉现象: 在一定条件下，两波相遇，在媒质中某些位置 的点振幅始终最大，另些位置振幅始终最小， 而其它位置，振动的强弱介乎二者之间，保 持不变，这种现象称为波的干涉现象。

44 ω 2、产生干涉的条件：  两波源具有相同的频率。 满足上述条件的称为相干波。  两波源具有恒定的相位差。  两波源的振动方向相同。
3、干涉加强、减弱条件： 设有两个频率相同的波源S 1 和S 2 A2 A1 O A ω y1p与y2p的合振动矢量图 传播到 P 点引起的振动为： 在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。 由叠加原理，P 点合振动为：

45 其中： 每一个空间点对应确定的位相差 干涉加强的条件 干涉减弱的条件 当两波源的初相位相同时，相干条件可写为： 干涉加强 干涉减弱

46 例10.7、如图所示，S1和S2是两相干波源，相距1/4波长，S1比S2的相位超前 。设两列波在S1、S2连线方向上的强度相同且不随距离变化，问S1、S2连线上在S1外侧各点处的合成波的强度如何？又在S2外侧各点处的强度如何？ 解：(1) S1外侧各点以任意点M表示，两波在此相遇时的相位差为： 所以在S1外侧各点的合振幅A=0，波的强度也为零。 (2) S2外侧各点以任意点N表示，两波在此相遇时的相位差为： 所以在S2外侧各点的合振幅A=2A0，合振动强度: 为两波源单独存在时强度的4倍。

47 求：两波源连线上因干涉而静止的各点位置。
例10.8、在同一媒质中相距为20m 的两平面简谐波源S1 和S2 作同方向，同频率( =100Hz )的谐振动，振幅均为A= 0.05m，点S1 为波峰时，点S2 恰为波谷，波速u = 200m/s 。 求：两波源连线上因干涉而静止的各点位置。 解 选S1 处为坐标原点O，向右为x 轴正方向,设点S1 的振动初相位为零,由已知条件可得波源S1 和S2 作简谐振动的运动方程分别为: S1 发出的向右传播的波的波函数为: S2 发出的向左传播的波的波函数为: 47

48 所以在两波源的连线上因干涉而静止的点的位置分别为:
因干涉而静止的点的条件为: 化简上式,得: 将 代入,可得: 所以在两波源的连线上因干涉而静止的点的位置分别为: 48

49 三、 驻波 （驻波是干涉的特例） 1、驻波: 两列振幅相同，而传播方向相反的相干波，其合成 波是驻波。

50 2、驻波的形成 : 设有两列相干波，振幅相同，初相皆为零，分别沿 x 轴正、负方向传播，选初相位均为零的表达式为： 其合成波称为驻波，其表达式 ： 整理可得： 驻波方程 振幅为 随x变化 各点作频率相同、振幅不同的简谐振动 。

51 3、驻波的特征： （1） 波节和波腹： 波节：振幅为零的点称为波节。 的各点。 即: 波节的位置为： 两相邻波节间的距离 / 2。 波腹：振幅最大的点称为波腹。 的各点。 即: 波腹的位置为： 两相邻波腹间的距离 / 2。 两相邻波节与波腹间的距离/4。 （应用）：可用之测量波腹间的距离，来确定波长。

52 * 在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向 最大或同时达到反向最小。速度方向相反。 分段振动
（2）相位 ： 相位为 相位为 结论： * 在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向 最大或同时达到反向最小。速度方向相反。 分段振动 * 两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到 最大或同时达到最小。速度方向相同。 （3） 波形： 驻波表达式中不含 项，所以驻波不是行波。 波形不传播。 能量不传播—— “ 驻” 52

53 当一列波从波疏媒质入射到波密媒质的界面时，反射波在反射点有π 的相位突变，等效于波多走或少走半个波长的波程，这种现象称为半波损失。
四、 半波损失 当一列波从波疏媒质入射到波密媒质的界面时，反射波在反射点有π 的相位突变，等效于波多走或少走半个波长的波程，这种现象称为半波损失。 弹性波：ρu 较大的媒质称为波密媒质； 较小的媒质称为波疏媒质。 波疏媒质 波密媒质 形成的驻波在界面处是波腹。 无半波损失 密 疏 无半波损失 波疏媒质 波密媒质 形成的驻波在界面处是波节。 半波损失 密 疏 半波损失 53

54 处发生反射，反射点为一自由端，求：（1）反射波的波函数；（2）合成波（驻波）的波函数，并由合成波的波函数说明哪些点是波腹，哪些点是波节？
例10.9 设入射波的波函数为 ，在x=0 处发生反射，反射点为一自由端，求：（1）反射波的波函数；（2）合成波（驻波）的波函数，并由合成波的波函数说明哪些点是波腹，哪些点是波节？ 解：（1）依题意，在x=0处反射，因此入射波在反射点的振动方程为 反射方向上任意一点P比反射点落后相位 ，又由于无半波损失，因此反射波的波函数为 （2） 合成波的波函数为 显然， 那些点，振幅最大(2A)，即波腹； 的那些点，振幅最小(0)，是波节。 54

55 B O x l1 例10.10、如图所示，已知：O点的振动方程为 求：（1）反射波的波动方程； （2）绳上波的波动方程。

56 反射波的波动 方程为： 入射波在B点的振动方程 反射波在B点的振动方程 反射波在O点的振动方程 O l1 x B

57 （2）半波损失取-，则反射波的波动方程为
（2）绳上波的波动方程。 绳上的波为驻波

58 例10.11 一列沿x轴正方向传播的入射波的波函数为 。该波在距坐标原点O为 x0=5λ处被 一垂直面反射，如图，反射点为一波节。
解 （1）从入射波的波函数可以确定在原点的振动方程为 反射波在O点的振动相位比入射波在O点的振动相位要落后 所以反射波在O点的振动方程为 据此可写出反射波的波函数 58

59 反射波的波函数为： （2）驻波表达式为 （3）因为原点O和 x0=5λ处均为波节，鉴于相邻波节的间距为λ/2，可知各波节点的坐标为 又两波节之间为一波腹，故波腹点的坐标为

60 §10.7* 多普勒效应 一、多普勒效应 如果波源或观察者或两者都相对于媒质运动，并且在二者连线方向上有相向或相反的运动分量时，则观察者接收到的频率将不同于波源发出的频率，这种现象称为多普勒效应。 二、三种不同情况下频率的变化 首先区别下面三种频率: 波的频率：单位时间内通过媒质中某点的“完整波” 的 数目。 波源频率：单位时间内波源振动的次数或单位时间内 发出的 “完整波” 的数目。 观察者接收到的频率：观察者在单位时间内接收到的 “完整波”的个数。

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62 表示波源相对于媒质的运动速度。 表示观察者相对于媒质的运动速度。 表示媒质中的波速 三种速度 1、波源相对于媒质静止，观察者以速度vR 相对于媒质运动 波源不动：波的频率 等于波源的频率 。 波在媒质中传播时的波长为  。 ① 观察者以速度vR 接近波源S ： 单位时间内波相对于观察者传播的距离: 观察者接收到的频率（单位时间内接收到完整波的个数）:

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64 表明: 观察者接收到的频率提高。 ②观察者以速度 vR 离开波源S ： 同理可得观察者接收到的频率： 表明: 观察者接收到的频率降低。 特例： 当 时， 即观察者与波面同速运动，接收不到声波。

65 2、观察者静止，波源相对于媒质以速度 vs 运动
观察者静止：观察者接收到的频率 等于波的频率 。 ①若波源S 以速度vs 接近观察者： 波长: 波传播时, 在同一波线上 两个相邻的相位差为2  的质元之间的距离。 波在媒质中的波长： 波的频率为： 波被挤压

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67 由于观察者不动，则观察者接收到的频率等于波的频率 ：
表明: 观察者接收到的频率升高。 ②若波源S 以速度vs 离开观察者， 同理可得观察者接收到的频率： 表明: 观察者接收到的频率降低。

68 3、波源和观察者同时相对媒质运动： ①当波源和观察者相向运动时： 观察者接受到的频率为： ②当波源和观察者彼此离开时， 观察者接受到的频率为：

69 多普勒效应的应用  利用声波的多普勒效应可以测定流体的流速、振动体的 振动和潜艇的速度  用来报警和监测车速  在医学上，如做超声心动、多普勒血流仪。 马赫波：当波源的速度超过波的速度时，波源前方不可能有任何波动产生。如 冲击波。

70 例10.12、当汽车迎着一固定波源驶来时，波源向汽车发射频率 为 100kHz的超声波。相对波源静止的观察者测得从汽车反射回 来的超声波的频率为110KHz。已知空气中声速u=340 m /s。
求：汽车行驶的速度v。 解: [第一步] 波 源：固定波源；静止 观察者：汽车；向着波源运动。速度为v 。 根据 所以汽车接收到的频率： [第二步] 波 源：汽车；向着观察者运动。 汽车发出的波的频率 即是它接收到的频率 观察者：人（接收器），静止。 根据 解得

71 例10.13、图中A、B为两个汽笛，其频率均为500Hz，A是静止 的，B是以60m/s的速率向右运动。在两个汽笛之间有一观察者O， 以30m/s的速率也向右运动。已知空气中的声速为330m/s，求： （1）观察者听到来自A的频率； （2）观察者听到来自B的频率； （3）观察者听到的拍频。 解:在式 中 已知 u=330m/s，vsA=0， vsB=60m/s，vR=30m/s， s=500Hz （1）由于观察者远离波源A运动，vR前应取负号，观察者 听到来自A的频率为 （2）观察者向着波源B运动，vR前取正号；而波源远离观察 者运动，vsB前也取正号，故观察者听到自B的频率为 （3）拍频

72 [例10.14] 如图表示用超声波多普勒效应测血球速度。换能器T发射超声波射于血球，并接受反射波. 试研究如何用此仪器测出血球速度大小.
[解] 声波从换能器T射向血球C，换能器和血球分别为静止波源和运动的观察者，血球接受到的频率为 (1) v和v血各表示声波在静止介质中的波速和血球速率，为T与血球C连线与血球速度夹角，为超声波发射频率.

73 换能器接受到的频率 (2) 由（1）和（2）得 换能器发出的和接受到的频率之差(多普勒频移) 血球速率为