林壽福 數學領域 中央輔導團 組長 （引用林福來及陳建誠教授簡報） 2016/04/22

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1 林壽福 數學領域 中央輔導團 組長 （引用林福來及陳建誠教授簡報） 2016/04/22
數學奠基模組設計經驗分享 林壽福 數學領域 中央輔導團 組長 （引用林福來及陳建誠教授簡報） 2016/04/22

2 為什麼要奠基? 台灣學生的數學學習非常重視計算能力的呈現。為考高分往往太快 就 進入演算，缺少發展數學概念需要仰賴的先備經驗。在還沒有具 體感受概念內涵的共通性或不變性前，就直接告知規則，以至於很 多學生感覺數學很抽象，學習的時候缺乏具體的感覺，然後與數學 漸行漸遠，乃至於最後只能放棄。 為了使學生在教室內可以參與「有意義的學習」，奠立學習數學必 要的具體經驗也就顯得非常重要。由於「數學能力」牽涉到許多的 面向，因此除了概念之外，如程序性知識、問題解決及論證等相關 先備經驗都是我們要去奠立的。 奠基活動除了在進行的時候，可以讓學生先了解與教學單元相關的 關鍵點之外，活潑有趣的特色會將學生對數學的興趣激發出來，引 起學生的數學學習動機，甚至在好奇心的驅使下主動探索問題。 ~~台灣師大數學系林福來講座教授~~

3 1.熟悉的主體或概念活動：如魔術、遊戲~ 2.重要的概念或單元主題：如負數的引入~ 3.學生的迷思概念、學習困難點：如分數、函數～
怎麼開始？ 1.熟悉的主體或概念活動：如魔術、遊戲~ 2.重要的概念或單元主題：如負數的引入~ 3.學生的迷思概念、學習困難點：如分數、函數～

4 近兩年入選作品 數字神蹟（代表數符號引入、一元一次方程式）【魔術】 你排我猜（以符號表達二元一次式、二元一次恆等式）【魔術】
牌堆裡的祕密（一次函數）【魔術】 數列魔法（等差數列）【魔術】 機會大轉盤（事件發生可能性探索） 旋轉乾坤（對稱概念）【魔術】 三角族趴趴熊傳奇（放大圖、縮小圖；相似形）【魔術】 向左走向右走（正負數加減法運算） 向左跳向右跳（正負數乘法運算） 向左跳向右跳（正負數四則運算） 黑白配（正負數加減法運算） 長方形數續篇（因數大老二遊戲） 分數相等遊戲（等值分數概念） 分數拆合遊戲（分數加減法） 分數拉斯維加斯（分數四則運算）

5 奠基涉及的能力面向？ 1.概念 2.程序性知識 3.解決問題 4.論證

6 數學奠基活動的設計進路 1. 數學課程的結構主義進路：圖像表徵轉化成操作活動。 2. 認知探索學習理論：診斷式臆測活動設計
例: 長方形數 、旋轉乾坤 2. 認知探索學習理論：診斷式臆測活動設計 特徵 學習主題 教材內容 學習目標 促進概念瞭解與臆測思維 臆測起點 學生可能的迷思概念(錯誤命題) 認知類型 案例歸納形成臆測 學習策略 程序性反駁模式 活動序列 情境啟動 Students observe a mathematics situation that can elicit their misconceptions 造例檢驗 Students generate both supportive and counter-examples based on the observation of the mathematics situation 觀察正例通性 Students identify common properties embedded in the supportive examples 修改敘述 Students revise the mathematics situation and provide correct statements 反思回顧 Students justify the revised mathematics situation 學生表現 試驗學生的表現

7 數學奠基活動的設計進路 案例：主題式螺旋課程 例如:關於 乘法公式 (a+b) 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 +2ab 分三階段設計奠基活動
小學中年級 數學物件:正整數、零 乘法表徵:面積 數表徵:數字、語言 小學高年級 數學物件:正整數、零、分數、小數 數表徵:□ 國中 數學物件:實數 數表徵:文字符號

8 4. 數學式語言的哲學觀：目前在開發階段中，未來可 持續發展 5.繪本：如比與比例～
3. 以數理直觀理論進行設計 (例如: same A, same B 直觀律； more A, more B 直觀律) ＊等周長，等面積 ＊等面積，等體積 ＊越乘越大、越除越小 ＊等垂直平移，等斜平移 ※ 學習機制： 好的直觀類推，不好的直觀抑制 4. 數學式語言的哲學觀：目前在開發階段中，未來可 持續發展 5.繪本：如比與比例～ 6.運用桌遊機制和故事：如法老密碼、sumoku、拉密～

9 數學奠基活動的特徵 三面向： 四要點： 激發需求 延伸發展 掌握本質 循序漸進 從數學內容下手… 從學習活動下手… 從教學方式下手…

10 奠基活動的檢核要點 根本關鍵原則 序列流暢原則 激發需求原則 延伸發展原則 奠基活動的內容是否明確與重要？ 奠基活動的序列是否順暢與落實？
奠基活動的遊戲是否有趣且吸引人？ 延伸發展原則 奠基活動的長遠目標是否清楚描述？

11 根本關鍵原則 活動目標的多樣性 活動內容的重要性 案例 知識面向：數與量、代數、幾何、統計等；
能力面向：概念理解、解題策略、合適推理、程序流 暢或建設性意向； 學習力面向：溝通、推理或連結。 活動內容的重要性 需以特定的數學內容為載體，用來奠定重要且基本的 數學知識、能力或素養的內涵。 案例 長方形數活動建立與發展正整數的因數概念。

12 Brunner’s 概念學習三階段 抽象概念的學習需要學習者主動參與，並包含以下 三種階段(表徵) 操作階段(enactive stage)
最初階段，學習者需要與具體可操作物件進行互動，如學習位 值概念透過積木操弄； 圖象階段(iconic stage) 第二階段，學習者需要與視覺心象進行互動，圖象包含實體的 照片，如教科書內容表徵。有些數學概念可以直接並不需要操 作便可透過圖象學習。 符號階段(symbolic stage) 最終階段，學習者需要使用特定語言或符號來表徵數學結構或 觀念。有些數學概念可以直接透過語言和符號進行學習，不需 要操作與圖象的表徵。

13 數學遊戲學習六階段(Dienes, 1981) 數學概念的建立可透過六階段歷程 自由玩耍(free play)：留意屬性
創造學生可自由交互作用的環境，如任意排列棋子 有規律遊戲(games) ：做出反映與適應，發現規律 導引學生感受到遊戲中的規則，如棋子可排成長方形的規則 找尋共同結構(searching for communality) ：分類和比較後…… 引導學生觀察與分析案例的結構，如乘法分解及類型 形成結構表徵(representation) 引導學生使用實物、語言或圖表來表現案例的結構，如圖畫表示特定數量棋子 的各種乘法分解 符號化(symbolization) ：使用符號整理上述描述 引導學生使用數學語言或符號表示數學結構，如12=1 × 12=2 × 6=3 × 4 發展數學系統(system of math) 引導學生將數學符號表徵的結構結合在既有數學系統內，如1, 2, 3, 4, 6, 12都是 12的因數

14 Skemp’s 智性學習模式 雙層次模式 △1內直接作用在環境 △2作用在△1上並進行計畫與監控 概念 抽象化程度：初階概念VS.二階概念

15 Skemp’s 概念瞭解類型 工具性瞭解(instrumental understanding)
只知其然，但不知其所以然； 學生知道三角形面積是底乘以高除以2，但不知原因， 若訊息太多或不足時便無法正確處理。 關係性瞭解(relational understanding) 既知其然，又知其所以然，能說服自己； 學生知道三角形面積是底乘以高除以2，並能說明原因， 能根據訊息彈性處理。 符號性瞭解(symbolic understanding() 特別針對用來表徵抽象數學的符號所處的形式與邏輯 的瞭解。

16 Skemp’s 基模建構 基模建構的三種模式 建築(buliding) 模式 檢驗(testing)
經驗(experience)，來自我們自己遭遇物理世界所得 1 試驗(experiment)，針對物理世界事件的預期 溝通(communication)，來自其他人所表達的基模 2 討論(discussion)，針對不同他人表達基模的比較 創造(creativity)，來自個人內部的延拓(extrapolation)、想像(imagination)或直觀(intuition)所產生的高階概念 3 內部一致性(inner consistency)，針對自己既存的知識與信念的比較

17 奠基的基是數學能力、數學思維、數學概念，假如數學內容目標不明確，會導致奠基活動設計太偏向遊戲面，所以如何檢核設計，是重要的議題。
奠什麼基? 奠基的基是數學能力、數學思維、數學概念，假如數學內容目標不明確，會導致奠基活動設計太偏向遊戲面，所以如何檢核設計，是重要的議題。 遊戲必須要有明確認知(cognitive)和情意(affective)目的，不能喧賓 奪主。 (Bell,1978)

18 牛頓給的圖形考驗

19 魔術的關卡—分類、比較

20 一、國中小數學學習問題 1. 「高成就、低興趣、低信心」(TIMSS)
《表一》數學學習成就表現 TIMSS 2003 優越(625) 高(550) 中(475) 低(400) 四年級 八年級 台灣 16% 38% 61% 66% 92% 85% 99% 96% 新加坡 44% 73% 77% 91% 93% 97% 香港 22% 31% 67% 94% 98% 日本 21% 24% 60% 62% 89% 88% 韓國 35% 70% 90%

21 《表二》低成就群百分比(TIMSS2003)

22 我國學生數學表現出色，但數學學習興趣的國際排名卻得倒過來數。國小四 年級至國中二年級的興趣滑落也比國際平均來得嚴重。（表三）
《表三》低成就群與低興趣群 TIMSS 2003 低成就 低興趣 四年級 八年級 台灣 8% 15% 34% 58% 國際平均 37% 51% 22% 35% 新加坡 9% 7% 25% 香港 6% 28% 41% 日本 11% 12% 61% 韓國 10% 57% 荷蘭 20% 31% 69%

23 2. 高低群成就兩極化 (PISA) 在「學生基礎素養國際研究計畫」（PISA)中，數學素養水準2被視 為是數學 精熟度的基礎線，根據這個界定，2012年PISA臺灣有12.8%學生未達素養 水準2，在前七名的亞洲國家中，臺灣是最高的。而台灣學生高分群(水準5 與水準6)的比例為37.2%，僅次於上海55.4%以及新加坡的40%，我國學生 數學表現Ｍ型化，高低成就群的差異是全世界之最。(表四) 《表四》低分群與高分群(PISA2012) PISA 2012 素養水準 未達2 達到5或6 臺灣 12.8% 37.2% 上海 3.8% 55.4% 新加坡 8.3% 40% 香港 8.5% 33.7% 韓國 9.1% 30.9% 澳門 10.8% 24.3% 日本 11.1% 23.7% 瑞士 12.4% 21.4% 荷蘭 14.8% 19.3% 芬蘭 12.3% 15.3% OECD平均 23% 12.6%

24 二、診斷臺灣學習症狀 1. 學習現象與症狀表現 ＊八年級:高平均成就、低興趣、低信心 (TIMSS結果) ＊九、十年級: 數學素養表現M型、兩極化 (PISA結果) 學習現象: 考試多、反覆練習、偏記憶 症狀甲: 班後段學生缺乏合適的學習機會 症狀乙: 學習為考試、沒興趣、沒信心

25 二、診斷學習症狀 2.症狀診斷: 理論的開示（林福來） ＊西方(1950~)的理論派典轉換 行為主義 現實主義 新數學→結構主義→建構主義→社會建構主義

26 二、診斷學習症狀 ＊臺灣的數學教育哲學是什麼? (de Lange大哉問) 行為主義 ↓ 新數學 建構主義/社會建構主義/現實主義 診斷:缺乏結構主義進路所建設的基礎工程 結構主義

27 二、診斷學習症狀 3.結構主義進路簡介 代表人物: 布魯納(Bruner)、Dienes、Skemp 相關理論 ＊三種學習表徵：操作、圖像、符號(Bruner) ＊學習的三問題: 結構、系列、具象(Bruner, 1960) ＊六段學習過程(Dienes, 1970) ＊建築與檢驗六種方式的知識建構(Skemp,1979) 教學法: 發現式(Bruner)/遊戲式(Dienes)/活動式(Skemp) 教學序列: 螺旋式(Bruner)

28 三、曾執行的策略與方案 1. 教育部國科會95年度第一次業務協調決議案： 為提升我國中小學生數理素質及學習興趣，將下列兩點列為施政目標，
過去十年的努力之下，低成就群的學生有減少的趨勢，但興趣沒有提升。 1. 教育部國科會95年度第一次業務協調決議案： 為提升我國中小學生數理素質及學習興趣，將下列兩點列為施政目標， 並以TIMSS2011施測成績為績效查核指標。 ＊ 在「帶好每位學生」的教育理念之下，於六年內將低成就群的孩子由 15%減少至10%以內。 ＊提升學生對數理學習興趣，將「非常同意」及「有點同意」喜歡數學 的百分比提高至60%以上。 2. 攜手計畫—課後扶助(95年起)及其他方案。

29 3. 績效： (1)就國際趨勢來看，數學學習低興趣的狀況與過去沒有 明顯差異。 (2)數學學習成就表現未達成目標，但有逐年改善的趨
明顯差異。 (2)數學學習成就表現未達成目標，但有逐年改善的趨 勢。(表五) 《表五》 年度 (TIMSS) 國家 低成就 低興趣 四年級 八年級 2003 台灣 8% 15% 34% 58% 國際平均 37% 51% 22% 35% 2007 14% 29% 45% 33% 54% 26% 2011 7% 12% 32% 53% 31% 16% 新加坡 6% 19% 23% 香港 4% 11% 17% 日本 13% 韓國 3% 56% 芬蘭 27% 57%

30 四、未來挑戰 兼顧提升學習成就與增進學習興趣的方案。 1. 未來的挑戰：在減少低成就群比例的前提之下，同時增進學生 對數學學習的興趣。
2. 未來的目標與績效查核指標： ＊第一階段：將低成就群的孩子減少至11%以內，且使低興趣群的比例不 超過國際平均15%，並以TIMSS2015施測成績為績效查核指標。 ＊第二階段：將低成就群的孩子減少至10%以內、且使低興趣群的比例不 超過國際平均10%，並以TIMSS2019施測成績為績效查核指標。

31 五、翻轉 1. 翻轉的理念 2.奠基的理念 對學習數學準備不足之學生，藉由有趣的數學活動，奠立其學 習數學的先備經驗，提高學習意願。
學後補救績效不彰，學前奠基再配合學後補救。 對學習數學準備不足之學生，藉由有趣的數學活動，奠立其學 習數學的先備經驗，提高學習意願。 2.奠基的理念 具象經驗是數學有感學習的基礎。 奠基活動玩出學習的先備具象經驗。