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分數的乘除法 張美玲老師製作
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生活中乘法 3×5代表什麼意思? 4×6代表什麼意思? 2×7代表什麼意思?
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數東西 有5堆蘋果,每堆3個,共有幾個? 3×5= =15
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排列 有6排,每排4人,總共有多少人? 4×6= =24
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長方形面積 長7公分,寬2公分的長方形面積為多少平方公分? 2×7= =14
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乘法的起源 乘法產生於求若干個相同數之和的運算,它可以說是加法的一種特殊形式,因此早期的乘法既有點像加法又不等同於加法。
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乘法的歷史(埃及) 埃及人四千年前使用的“倍乘疊加法”就屬於這種既有點像加法又不等同於加法。比如32×17,算法是: 先將32倍乘,得32×2=64; 再將64倍乘,得64×2=128; 再將128倍乘,得128×2=256; 再將256倍乘,得256×2=512; 最後將512與32加起來,得544。
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乘法的歷史(巴比倫) 古代巴比倫人有乘法表,它的樣子是有些和現代的乘法表一樣,他們在做整數的乘法時,將取分乘相加的方法。
例如:A×27他們先乘A×20及A×7然後把結果相加A×27=A×20+A×7
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乘法的歷史(中國) 乘法不會憑空掉下來,在中國,由於生產的需要,逐漸發現一些數字遞加的規律,才總結出這乘法,以後為了記憶方便,就有九九表的口訣。 中國最早出現乘法表的可信記載是在春秋戰國時代(約西元二千多年前)的文獻。當時的「乘法表」歌訣是由「九九八十一」開始,一直往下到「二二而四」。
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乘法的歷史(中國) 公元五~十世紀才把「九九歌」擴充到「一一如一」,大約在公元十三、四世紀時人們覺得九九歌的順序不合理,才把他反轉過來,由「一一如一」直到「九九八十一」。
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乘法的歷史(歐洲) 世界上最笨拙的乘法,要算十二世紀之前廣泛流行於歐洲的羅馬數字乘法。當時的歐洲學生,把學習乘法當作是一件可怕的事情。
在歐洲人為乘法傷透腦筋的時侯,中國人卻在這之前一千多年就發明了一種十分簡便的方法,這種方法與現在直式乘法的原理完全一樣,所不同的是古代從高位算起。
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分數的乘法
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真分數乘以正整數
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帶分數乘以正整數
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乘法具有交換性
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真分數乘以真分數(範例一)
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範例二
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範例三
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帶分數乘以帶分數 先將帶分數化為假分數,然後再分母乘以分母,分子乘以分子
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乘法小技巧 分數本身能約分盡量約分,不同的分數亦可上下同除以相同正整數,使數字盡量變小,計算較不易出錯
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範例四
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自我練習(一)
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自我練習(一)解答
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生活中的除法 12÷4=? 20÷5=? 28÷4=?
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分配 有12個蘋果,分給4位小朋友,每人可分得幾個? 12÷4=3 所以每人可分得3個
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平均 有5本書,共重20公斤,平均每本書重幾公斤? 20÷5=4 所以每本書重4公斤
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除法的歷史(中國) 如果說現在的除法是古代人所追求的除法的最終目標的話,那麼世界上最先達到這個目標的是中國。
公元五世紀左右寫的兩本算書──《孫子算經》和《夏侯陽算經》。據書中的記述,中國古代的除法很早就與現在的除法相一致了。
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金除法 當中國除法由印度經阿拉伯傳入歐洲時,歐洲人驚喜地把它叫做“金除法”而把算盤除法叫做“鐵除法”。可見,當時中國先進的數學,在歐洲人的心目中有很高的聲譽。
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除法的歷史(印度) 而古印度的數學文化則把除數寫於被除數之下,跟我們現在計算分數的方式相似。
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符號的誕生 1659年,瑞士的雷恩(Johann Heinrich Rahn, )在蘇黎世(Zurich)出版一本著作《代數》(Teutsche Algebra)中,首次以「÷」號代表除法運算。以致今天「÷」最終成為世界通用的符號。
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分數的除法
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生活中的例子 一塊蛋糕,分給3位小朋友,每位可分得_____ 公尺長的繩子,剪成等長的3段,則每段____公尺
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範例一 有一匹長 公尺的布,每 公尺剪成一段,可剪成多少段? 動態展示
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範例二 有5個大西瓜,每塊切成 個,共可切成幾塊? 答:共分成15塊
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範例三 有 公斤的黏土,每 公斤分成一小塊,共可分成幾小塊?
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範例四 有 公升的果汁,每 公升裝一瓶,可裝成幾瓶? 動態展示
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除法解題步驟 = 所以
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解題小技巧 1.帶分數先化為假分數 2.除法改為乘法,除數改為倒數,在運用乘法小技巧化簡之
PS:兩數乘積等於1,兩數互為倒數。 例如: 的倒數為 ; 的倒數為 的倒數為 ; 的倒數為
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範例五
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自我練習(二)
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自我練習(二)解答
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