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第7章 线性离散系统的理论基础 7.1 采样控制系统的基本概念 7.2 信号的采样和保持 7.3 Z变换 7.4 脉冲传递函数
第7章 线性离散系统的理论基础 7.1 采样控制系统的基本概念 7.2 信号的采样和保持 7.3 Z变换 7.4 脉冲传递函数 7.5 采样控制系统的时域分析
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7.1 采样控制系统的基本概念 控制系统的类型: 1 连续控制系统 每处的信号都是时间的连续函数的控制系统称为连续控制系统 2 离散控制系统
有一处或几处的信号是时间的离散函数的控制系统称为离散控制系统
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7.1 采样控制系统的基本概念 离散信号（采样信号）
在时间上离散的脉冲序列称为离散信号，离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而得到的，故又称为采样信号。 图为典型采样控制系统方框图。
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7.1 采样控制系统的基本概念 采样开关 在采样控制系统中，采样误差信号是通过采样开关对连续信号进行采样后得到的。
采样开关每经过一定的时间T闭合一次，每次闭合时间为 ，( )。T称为采样周期。而 及 分别称为采样频率和采样角频率。
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7.1 采样控制系统的基本概念 （1）等周期采样，即采样时刻为，为常量。 （2）多阶采样，即采样时间是周期性重复的。
采样方式是多种多样的，例如： （1）等周期采样，即采样时刻为，为常量。 （2）多阶采样，即采样时间是周期性重复的。 （3）多速采样，即用两个具有不同采样周期的采样器对信号同时进行采样。 （4）随机采样，即采样时间是随机变量。
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第7章 线性离散系统的理论基础 7.1 采样控制系统的基本概念 7.2 信号的采样和保持 7.3 Z变换 7.4 脉冲传递函数
第7章 线性离散系统的理论基础 7.1 采样控制系统的基本概念 7.2 信号的采样和保持 7.3 Z变换 7.4 脉冲传递函数 7.5 采样控制系统的时域分析
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7.2 信号的采样与保持 将开关闭合期间模拟量的传输称为采样。 把离散的脉冲序列恢复为连续信号的过程，称为信号的复现过程。
7.2 信号的采样与保持 采样控制系统是通过采样开关将连续的模拟量转换为离散量的。 将开关闭合期间模拟量的传输称为采样。 把离散的脉冲序列恢复为连续信号的过程，称为信号的复现过程。
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7.2 信号的采样与保持 1 采样过程及采样函数的数学表达式 2 采样定理 3 信号的保持
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1 采样过程及采样函数的数学表达式 采样过程 按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列的过程称之为采样过程。
用来实现采样过程的装置称为采样器或采样开关。 借助单位脉冲序列函数
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1 采样过程及采样函数的数学表达式 因此，采样函数e*(t)可表示为： 实际系统中，当t<0时，e(t)=0因而上式可改写为：
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1 采样过程及采样函数的数学表达式 脉冲调制过程 图中各脉冲的高度应该理解为脉冲强度。
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7.2 信号的采样与保持 1 采样过程及采样函数的数学表达式 2 采样定理 3 信号的保持
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2 采样定理 香农定理 如果采样器的输入e(t)信号具有有限带宽，并且有直到 频率分量，则只要采样角频率 满足下列条件：
2 采样定理 香农定理 如果采样器的输入e(t)信号具有有限带宽，并且有直到 频率分量，则只要采样角频率 满足下列条件： 这一定理，指明了复现原信号所必须的最低采样频率。其等价形式为：
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7.2 信号的采样与保持 1 采样过程及采样函数的数学表达式 2 采样定理 3 信号的保持
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3 信号的保持 信号保持 为了实现对被控对象的有效控制，必须把采样信号恢复成相应的连续信号，这种从采样信号中恢复出原连续信号的过程称为信号的保持（复现）。 用于实现这种过程的装置称为保持器。 采样控制系统中广泛采用的保持器是零阶保持器。
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3 信号的保持 零阶保持器 零阶保持器的作用是令前一采样时刻的采样值不增不减地保持到下一个采样时刻，其输入和输出的关系如图示。
3 信号的保持 零阶保持器 零阶保持器的作用是令前一采样时刻的采样值不增不减地保持到下一个采样时刻，其输入和输出的关系如图示。 零阶保持器的相位具有滞后特性。
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3 信号的保持 零阶保持器的传递函数和频率特性
3 信号的保持 零阶保持器的传递函数和频率特性 在零阶保持器的输入端加上单位脉冲函数，其输出称为零阶保持器的单位脉冲响应。它是一个高度为1，持续时间为的矩形波。这个波形可以分解为两个单位阶跃函数的叠加，如图所示。
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3 信号的保持 零阶保持器的表达式为： 对上式求拉氏变换，得其传递函数为： 再令s=jw，得零阶保持器的频率特性为： 式中
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3 信号的保持 幅频特性为： 相频特性为：
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3 信号的保持 零阶保持器幅、相频率特性曲线如图： 零阶保持器的幅频特性 的幅值随频率的增加而衰减， 具有低通滤波特性，但它不
3 信号的保持 零阶保持器幅、相频率特性曲线如图： 零阶保持器的幅频特性 的幅值随频率的增加而衰减， 具有低通滤波特性，但它不 是理想的滤波器。另外，它 的相频特性具有滞后的相位 移，因此降低了系统的稳定 性。
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第7章 线性离散系统的理论基础 7.1 采样控制系统的基本概念 7.2 信号的采样和保持 7.3 Z变换 7.4 脉冲传递函数
第7章 线性离散系统的理论基础 7.1 采样控制系统的基本概念 7.2 信号的采样和保持 7.3 Z变换 7.4 脉冲传递函数 7.5 采样控制系统的时域分析
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7.3 Z变换 1 Z变换 2 Z反变换 3 差分方程
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1 Z变换 Z变换的定义 已知连续时间信号的采样信号表达式为： 两边取拉氏变换 ，有
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1 Z变换 令 有 称E(z)为e*(t)的z变换，并记作： 其中zK是一个时序变量
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1 Z变换 求Z变换的方法 Z变换方法就是求取采样函数的Z变换式。 1.直接法 2.级数求和法 3.部分分式法
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1 Z变换 级数求和法 级数求和法直接应用Z变换的定义进行求和。 由 有 逐项进行拉氏变换，有 或者
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1 Z变换 例7-3 求单位斜坡函数 的Z变换。 解 则 上式两边同乘以 则 两式相减得
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1 Z变换 部分分式法 例7-4 求 的Z变换。 解 又 所以
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1 Z变换 Z变换的基本定理 （1）线性定理 （2）延迟定理
连续函数f(t)当t<0时为零，且具有Z变换为F(z)，则对于延迟m个采样周期的函数f(t-mT)，其Z变换为
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1 Z变换 （3）超前定理 设连续函数f(t)当t<0时为零，且具有Z变换为F(z)。在时间上产生m个采样周期的超前，其表达式为f(t+mT)。其Z变换为 （4）复数位移定理 设Z[f(t)]=F(z)，则
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1 Z变换 （5）初值定理 设 ，且 存在，则函数的初值为 （6）终值定理 设 ，则函数的终值为
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1 Z变换 （7）卷积和定理 设 且有k<0时， 则
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7.3 Z变换 1 Z变换 2 Z反变换 3 差分方程
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已知Z变换函数求原来的采样函数的过程称为Z反变换。记为
特别地，Z反变换求出的离散时间序列f(kT)仅是连续时间函数在各采样时刻的数值，而不是采样点之间的值。
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2 Z反变换 幂级数展开法 幂级数展开法也称为长除法，这种方法是由函数的Z变换表达式，利用长除法求出按z-k 降幂排列的级数展开式，再经拉氏反变换，求出原函数的脉冲序列。 的一般形式为 按长除法规则，可以求出按z-k降幂排列的级数展开式
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2 Z反变换 将z=eTs代入上式再取拉氏反变换，则得到对应的原函数
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2 Z反变换 例7-6 求 的原函数。 解 其长除算式为
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2 Z反变换 于是得原函数
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2 Z反变换 部分分式法 由于连续时间信号f(t)大部分是由基本信号组合而成，而基本信号的Z变换可以借助于Z变换表得到。因此可以将F(z)分解为对应于基本信号的部分分式，再查表来求得其Z反变换。 基本信号的Z变换都带有因子Z，所以，将 分 解为部分分式，分解后，各项再乘以因子Z之后查表。
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2 Z反变换 例7-7 求 的原函数f(kT)。 解 查Z变换表有 所以
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7.3 Z变换 1 Z变换 2 Z反变换 3 差分方程
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3 差分方程 差分方程的定义 两个采样点信息之间的差值即称为差分。
3 差分方程 差分方程的定义 两个采样点信息之间的差值即称为差分。 对于一个单输入单输出线性定常系统，在某一个采样时刻的输出值 与这一时刻的输入值 有关，而且与过去时刻的输入值有关，还与过去的输出值有关。 描述阶线性离散系统的差分方程一般式为：
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3 差分方程 差分方程的卷积形式 差分方程与微分方程相似，也分齐次方程与非齐次方程。输入信号为零的方程为齐次方程，输入序列不为零的方程为非齐次方程。 与连续系统类似，齐次方程的物理意义是：在无外界作用的情况下，离散系统的自由运动反映了系统的自身物理特性，而非齐次方程的特解，则反映了在输入量作用下系统强迫运动的情况。
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3 差分方程 差分方程的解法 常系数线性差分方程的常用求解方法有两种： 基于解析方法的Z变换法 基于计算机求解的迭代法 （1）Z变换法
3 差分方程 差分方程的解法 常系数线性差分方程的常用求解方法有两种： 基于解析方法的Z变换法 基于计算机求解的迭代法 （1）Z变换法 Z变换法求解差分方程的步骤是： 对描述离散系统的差分方程进行Z变换，并利用Z变换的实数位移定理，将时域差分方程化为Z域的代数方程，求其解，再将Z域的代数方程经Z反变换求得差分方程的时域解。
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3 差分方程 例7-8 用Z变换法求解 初始条件： ， 解 由超前定理对差分方程两边求Z变换，有 将初始条件代入上式，并化简为 整理得
3 差分方程 例7-8 用Z变换法求解 初始条件： ， 解 由超前定理对差分方程两边求Z变换，有 将初始条件代入上式，并化简为 整理得 对上式两边进行Z反变换，有
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3 差分方程 （2）迭代法 初始条件： 解 将原差分方程改写成迭代式：
3 差分方程 （2）迭代法 迭代法是已知离散系统的差分方程和输入序列、输出序列的初始值，利用递推关系逐步计算出所需要的输出值的方法。 例7-9 用迭代法求解 初始条件： 解 将原差分方程改写成迭代式：
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3 差分方程 ①当k=0时， ②当k=1时， ③当k=2时， ④当k=3时， ⑤当k=4时， 考虑到初始条件，有
3 差分方程 考虑到初始条件，有 ①当k=0时， ②当k=1时， ③当k=2时， ④当k=3时， ⑤当k=4时， 差分方程的解，可以提供线性定常离散系统在给定输入序列作用下的输出序列响应特性，但不便于研究系统参数变化对离散系统性能的影响。所以需要引入脉冲传递函数。
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第7章 线性离散系统的理论基础 7.1 采样控制系统的基本概念 7.2 信号的采样和保持 7.3 Z变换 7.4 脉冲传递函数
第7章 线性离散系统的理论基础 7.1 采样控制系统的基本概念 7.2 信号的采样和保持 7.3 Z变换 7.4 脉冲传递函数 7.5 采样控制系统的时域分析
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7.4 脉冲传递函数 1 脉冲传递函数的定义 2 开环系统脉冲传递函数 3 闭环系统脉冲传递函数
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1 脉冲传递函数的定义 在离散控制系统中，把零初始条件下，环节或系统输出脉冲序列的Z变换式与输入脉冲序列的变换式之比，称为该环节或该系统的脉冲传递函数。记为G(z)即
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1 脉冲传递函数的定义 输出的采样信号
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1 脉冲传递函数的定义 例7-10 已知离散系统，其中连续部分的传递函数 求脉冲传递函数G(z)。 解 将G(s)分解为部分分式
1 脉冲传递函数的定义 例7-10 已知离散系统，其中连续部分的传递函数 求脉冲传递函数G(z)。 解 将G(s)分解为部分分式 查表得出其Z变换，即系统脉冲传递函数
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7.4 脉冲传递函数 1 脉冲传递函数的定义 2 开环系统脉冲传递函数 3 闭环系统脉冲传递函数
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2 开环系统脉冲传递函数 1.串联环节间无采样开关 即两个相串联环节间无采样开关时，脉冲传递函数等于这两个环节传递函数乘积的Z变换。
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2 开环系统脉冲传递函数 2.串联环节间有采样开关 即两个串联环节间有采样开关时，其脉冲传递函数等于这两个环节的脉冲传递函数的乘积。
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2 开环系统脉冲传递函数 3.带零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数 开环系统传递函数为 设 最后得
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2 开环系统脉冲传递函数 例7-12 系统结构中设 ， ，求G(z)。 解
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2 开环系统脉冲传递函数
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2 开环系统脉冲传递函数 4.并联环节的Z变换 上述关系可以推广到n个环节并联的情况。
2 开环系统脉冲传递函数 4.并联环节的Z变换 上述关系可以推广到n个环节并联的情况。 并联环节之间均有采样开关，则总的脉冲传递函数等于各并联环节脉冲传递函数的代数和。
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7.4 脉冲传递函数 1 脉冲传递函数的定义 2 开环系统脉冲传递函数 3 闭环系统脉冲传递函数
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3 闭环系统脉冲传递函数 (1) 具有负反馈的线性离散系统
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3 闭环系统脉冲传递函数 为系统的特征方程
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3 闭环系统脉冲传递函数 (2)具有数字控制器的线性离散系统
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3 闭环系统脉冲传递函数
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3 闭环系统脉冲传递函数 (3)具有扰动信号的线性离散系统 同分析连续系统一样，当离散系统在扰动量作用下, 一般都假设给定输入量为零，即
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3 闭环系统脉冲传递函数 扰动单独作用下的线性离散系统
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3 闭环系统脉冲传递函数
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3 闭环系统脉冲传递函数 推求脉冲传递函数的一般步骤 根据已知的结构图，首先不考虑采样开关，将其看作一个连续系统，写出闭环传递函数 。
3 闭环系统脉冲传递函数 推求脉冲传递函数的一般步骤 根据已知的结构图，首先不考虑采样开关，将其看作一个连续系统，写出闭环传递函数 。 由 写出输出的拉普拉斯变换表达式 。
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3 闭环系统脉冲传递函数 将采样开关的设置考虑进去，把 的分子和分母中的每个乘积项，按输入信号与环节、环节与环节之间有无采样开关，根据环节串联时的脉冲传递函数的求法，逐项写出相应的脉冲传递函数，进而写出 。 若 可以独立出来，则可由 写出闭环脉冲传递函数 。否则写不出 ，而只能写出 。
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3 闭环系统脉冲传递函数 总之，在求离散系统的闭环脉冲传递函数时，一定要注意采样开关的位置，其位置的所在，直接决定闭环传递函数的求取。
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第7章 线性离散系统的理论基础 7.1 采样控制系统的基本概念 7.2 信号的采样和保持 7.3 Z变换 7.4 脉冲传递函数
第7章 线性离散系统的理论基础 7.1 采样控制系统的基本概念 7.2 信号的采样和保持 7.3 Z变换 7.4 脉冲传递函数 7.5 采样控制系统的时域分析
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7.5 采样控制系统的时域分析 1 采样控制系统的稳定性分析 2 采样控制系统的稳态误差分析 3 采样控制系统的瞬态特性分析
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1 采样控制系统的稳定性分析 根据Z变换的定义，可知S平面与Z平面之间 （1）从Ｓ平面到Ｚ平面的映射关系 的映射关系为 T为采样周期。 若令
1 采样控制系统的稳定性分析 （1）从Ｓ平面到Ｚ平面的映射关系 根据Z变换的定义，可知S平面与Z平面之间 的映射关系为 T为采样周期。 若令 则 写成极坐标形式 其中
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1 采样控制系统的稳定性分析 从Ｓ平面到Ｚ平面的映射关系
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1 采样控制系统的稳定性分析 （2）离散控制系统稳定的充分必要条件 设离散控制系统其闭环脉冲传递函数由下式给出 该系统的稳定性由闭环特征方程
1 采样控制系统的稳定性分析 （2）离散控制系统稳定的充分必要条件 设离散控制系统其闭环脉冲传递函数由下式给出 该系统的稳定性由闭环特征方程 根的位置决定。
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1 采样控制系统的稳定性分析 如果离散控制系统闭环特征方程所有的特征根，全部位于Z平面的单位圆内部，即 则系统是稳定的，否则系统不稳定.
1 采样控制系统的稳定性分析 由S平面到Z平面的映射关系，可以得到离散控制系统稳定的充分必要条件为： 如果离散控制系统闭环特征方程所有的特征根，全部位于Z平面的单位圆内部，即 则系统是稳定的，否则系统不稳定.
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1 采样控制系统的稳定性分析 例7-13 设离散系统如下图所示， 其中 ， ， 试分析其稳定性。
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1 采样控制系统的稳定性分析 解 由系统结构图写出此离散系统的开环传递函数 特征方程为 把 ， ，代入并整理得 由于 ，所以系统是不稳定的。
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1 采样控制系统的稳定性分析 （3）离散控制系统的劳斯稳定判据
1 采样控制系统的稳定性分析 （3）离散控制系统的劳斯稳定判据 连续系统的劳斯稳定判据，是通过系统特征方程的系数及其符号来判别系统稳定性的。这种对特征方程系数和符号以及系数之间满足某些关系的判断，实质是判断系统特征方程的根是否都在左半S平面。对于线性离散控制系统，不能直接应用劳斯稳定判据，因为离散系统需要判断系统特征方程的根是否都在Z平面的单位圆内。因此，必须采用一种变换方法，使Z平面上的单位圆，映射为新坐标系的虚轴。这种坐标转换称为双线性变换，又称为ω变换。
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1 采样控制系统的稳定性分析 令 或 再令 则 由上式可见：
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1 采样控制系统的稳定性分析 平面内 （虚轴）， 对应于Z平面内 （单位圆的圆周）。 平面内 （左半平面），
1 采样控制系统的稳定性分析 平面内 （虚轴）， 对应于Z平面内 （单位圆的圆周）。 平面内 （左半平面）， 对应着Z平面内 （单位圆的内部）。 平面内 （右半平面）， 对应于Z平面内 （单位圆的外部）。 这样，只要将Z平面上的特征方程式经过 变换， 就可以在平面上直接应用劳斯判据判别系统的稳定性。
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1 采样控制系统的稳定性分析 例7-14 已知离散控制系统闭环特征方程式 试判断系统的稳定性。 解 将 代入特征方程式，得 经整理，得
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1 采样控制系统的稳定性分析 列劳斯表 由于表中第一列元素的符号变化了2次，表示方程有2个根在 平面右半平面，即有2个根在Z平面上的单位圆外，故系统不稳定。
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7.5 采样控制系统的时域分析 1 采样控制系统的稳定性分析 2 采样控制系统的稳态误差分析 3 采样控制系统的瞬态特性分析
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2 采样控制系统的稳态误差分析 在分析连续系统时，系统的稳态误差与输入信号的形式和系统本身的特性有关，对于离散系统也是如此。当离散系统有稳态误差时，稳态误差的大小取决于系统的类型、开环放大系数和输入信号的类型。所以，研究稳态误差时，将从系统的类型和典型输入信号两个方面进行分析。
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2 采样控制系统的稳态误差分析 离散系统的稳态误差可以从Z变换的终值定理求出。 具有单位负反馈的离散控制系统，其误差信号的Z变换为
2 采样控制系统的稳态误差分析 离散系统的稳态误差可以从Z变换的终值定理求出。 具有单位负反馈的离散控制系统，其误差信号的Z变换为 对于稳定的闭环离散系统，从Z变换的终值定理得
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2 采样控制系统的稳态误差分析 上式表明，离散控制系统在采样时刻的稳态误差，与连续系统稳态误差一样，不仅与系统的结构和参数有关，而且也与输入信号的形式有关。
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2 采样控制系统的稳态误差分析 （1）单位阶跃输入时采样系统的稳态误差 （2）单位斜坡输入时采样系统的稳态误差
2 采样控制系统的稳态误差分析 （1）单位阶跃输入时采样系统的稳态误差 （2）单位斜坡输入时采样系统的稳态误差 （3）单位抛物线输入时采样系统的稳态误差
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2 采样控制系统的稳态误差分析 设离散系统开环脉冲传递函数一般的形式为 式中， 是开环脉冲传递函数的零点， 是开环脉冲传递函数的极点，且 ；
2 采样控制系统的稳态误差分析 设离散系统开环脉冲传递函数一般的形式为 式中， 是开环脉冲传递函数的零点， 是开环脉冲传递函数的极点，且 ； 表示在 处有N个重极点； 时，分别表示为0型，Ⅰ型和Ⅱ型系统， Ｎ称为无差阶数或无差度。
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2 采样控制系统的稳态误差分析 单位阶跃函数 （1）单位阶跃输入时采样系统的稳态误差 稳态误差为 式中， 为位置稳态误差系数。
2 采样控制系统的稳态误差分析 （1）单位阶跃输入时采样系统的稳态误差 单位阶跃函数 稳态误差为 式中， 为位置稳态误差系数。 则系统的稳态误差为
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（1）单位阶跃输入时采样系统的稳态误差 Ⅰ型系统 ， ， Ⅱ型系统 ， ， 0型系统 ，
0型系统 ， Ⅰ型系统 ， ， Ⅱ型系统 ， ， 当输入为阶跃输入时，对于0型系统，系统是一个有差系统；对于Ⅰ型系统及以上 系统而言，系统是一个无差系统。
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2 采样控制系统的稳态误差分析 （2）单位斜坡输入时采样系统的稳态误差 单位斜坡函数 稳态误差为 式中 为位置稳态误差系数
2 采样控制系统的稳态误差分析 （2）单位斜坡输入时采样系统的稳态误差 单位斜坡函数 稳态误差为 式中 为位置稳态误差系数 则系统的稳态误差为
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当输入为斜坡输入时，对于0型系统，系统输出无法跟上系统输入；对于Ⅰ型系统，系统是一个有差系统；对于Ⅱ型系统，系统是一个无差系统。
（2）单位斜坡输入时采样系统的稳态误差 0型系统 ， ， Ⅰ型系统 ， ， Ⅱ型系统 ， ， 当输入为斜坡输入时，对于0型系统，系统输出无法跟上系统输入；对于Ⅰ型系统，系统是一个有差系统；对于Ⅱ型系统，系统是一个无差系统。
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2 采样控制系统的稳态误差分析 （3）单位抛物线输入时采样系统的稳态误差 单位斜坡函数 稳态误差为
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（3）单位抛物线输入时采样系统的稳态误差 式中 为加速度稳态误差系数。 则系统的稳态误差为
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（3）单位抛物线输入时采样系统的稳态误差 Ⅰ型系统 ， ， Ⅱ型系统 ， ， 0型系统 ， ，
0型系统 ， ， Ⅰ型系统 ， ， Ⅱ型系统 ， ， 当输入为抛物线输入时，对于0型和Ⅰ型系统，系统输出无法跟上系统输入；对于Ⅱ型系统，系统是一个有差系统；对于Ⅲ型及以上系统，系统是一个无差系统。
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2 采样控制系统的稳态误差分析 单位负反馈离散系统的稳态误差
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2 采样控制系统的稳态误差分析 例7-15 已知采样系统的结构如下图所示，采样周期 ，求在输入信号 的作用下，系统的稳态误差。
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2 采样控制系统的稳态误差分析 解 采样系统的开环脉冲传递函数为：
100
2 采样控制系统的稳态误差分析 解得 均在单位圆内，故系统稳定。 由开环脉冲传递函数 可知，该系统为Ⅱ 型系统
2 采样控制系统的稳态误差分析 采样系统的闭环特征方程为 解得 均在单位圆内，故系统稳定。 由开环脉冲传递函数 可知，该系统为Ⅱ 型系统 根据单位负反馈离散系统的稳态误差表可知， 在阶跃和斜坡输入作用下的稳态误差为零。
101
2 采样控制系统的稳态误差分析 加速度稳态误差系数为 因此，在输入 作用下的稳态 误差为
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7.5 采样控制系统的时域分析 1 采样控制系统的稳定性分析 2 采样控制系统的稳态误差分析 3 采样控制系统的瞬态特性分析
103
3 采样控制系统的暂态特性分析 (1)采样系统的单位阶跃输入的瞬态响应 (2)闭环极点的位置与瞬态特性的关系
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3 采样控制系统的暂态特性分析 (１)采样系统的单位阶跃输入的暂态响应 已知系统的结构如下图所示 设 ， ，取 ,则
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(１)采样系统的单位阶跃输入的暂态响应 系统的开环脉冲传递函数为 系统的闭环脉冲传递函数为
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(１)采样系统的单位阶跃输入的暂态响应 又 ，则 ，代入上式有 已知 ，所以
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(１)采样系统的单位阶跃输入的暂态响应 利用长除法 求Z反变换得
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(１)采样系统的单位阶跃输入的暂态响应 如果在系统中加入零阶保持器，设 ，取 则系统开环脉冲传递函数为
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(１)采样系统的单位阶跃输入的暂态响应 将 ，有 则系统的闭环脉冲传递函数为 所以 利用长除法，将 展开得
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(１)采样系统的单位阶跃输入的暂态响应 求Z反变换得 由此结果可见，由于系统增加了零阶保持器，使得
系统输出量的超调量增加，系统的暂态特性变差。
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3 采样控制系统的暂态特性分析 (2)闭环极点的位置与暂态特性的关系
3 采样控制系统的暂态特性分析 (2)闭环极点的位置与暂态特性的关系 在线性连续系统中，闭环极点在S平面上的位置与系统的动态响应有着密切的关系。与连续系统类似，采样系统的闭环极点在Z平面上的分布对系统的动态响应起着决定性作用，采样系统的暂态特性主要由闭环脉冲传递函数的极点来确定，下面主要讨论在单位阶跃信号作用下，系统的暂态特性和闭环极点的关系。
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(2) 闭环极点的位置与暂态特性的关系 设系统的闭环脉冲传递函数为 即 以Z平面上的零点、极点来表示可以写成 ， ，
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(2) 闭环极点的位置与暂态特性的关系 式中 为系统的m个零点， 为系统的n个极点，为分析方便，假设无重复的极点， 称为系统的闭环增益。
当系统有阶跃信号输入时，即 系统的输出为 将其展开为部分分式
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(2)闭环极点的位置与暂态特性的关系 对上式取Z反变换，得 式中: 第一项为稳态分量，是由输入信号决定的。
第二项为动态分量，其中每一项 的收敛与发散 是由系统的结构决定的，即由系统的闭环极点 在Z平面 上的位置决定的。 下面分四种情况进行讨论。
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(2)闭环极点的位置与暂态特性的关系 ① 位于单位圆内 由Z域的稳定性决定，系统的动态分量项 是收敛的。 为正实数时，单调收敛。
① 位于单位圆内 由Z域的稳定性决定，系统的动态分量项 是收敛的。 为正实数时，单调收敛。 为负实数时，由于 的偶次方大于零， 的奇次方小于零，故交错收敛。 为共轭复数时，振荡收敛。 位于单位圆内时，位置越靠近单位圆收敛越慢，越 接近原点则收敛越快。
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(2)闭环极点的位置与暂态特性的关系 ② 位于单位圆上 由Z域的稳定性决定，系统的动态分量 项是 临界稳定的。 时，恒值等幅振荡。
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(2)闭环极点的位置与暂态特性的关系 ③ 位于单位圆外 由Z域的稳定性决定，系统的动态分量项 是发散的。 为正实数时，单调发散。
③ 位于单位圆外 由Z域的稳定性决定，系统的动态分量项 是发散的。 为正实数时，单调发散。 为负实数时，由于 的偶次方大于零， 的奇次方小于零，故交错发散。
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(2)闭环极点的位置与暂态特性的关系 ④ 位于单位圆圆心 由于 位于单位圆内时，位置越接近原点， 分量项收敛越快。所以如果 位于圆心位置
④ 位于单位圆圆心 由于 位于单位圆内时，位置越接近原点， 分量项收敛越快。所以如果 位于圆心位置 上，应该具有无穷大稳定度。
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闭环极点的位置与动态响应图
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The End
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