常用逻辑用语 （1）： 巧妙的转换 —两个命题互为逆否关系的应用

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1 常用逻辑用语 （1）： 巧妙的转换 —两个命题互为逆否关系的应用
常用逻辑用语 （1）： 巧妙的转换 —两个命题互为逆否关系的应用 微课爱我 我爱微课

2 引 例 例1:判断命题的真假： 若方程 至少有一个负实根，则

3 分 析 四种命题之间的关系 原命题 若p则q 互逆命题 真假无关 逆命题 若q则p 互否命题真假无关 互为逆否 同真同假 互为逆否 同真同假
互逆命题 真假无关 逆命题 若q则p 互否命题真假无关 互为逆否 同真同假 互为逆否 同真同假 备注：版权声明 本资源盘由数学中国网站（ 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆否命题 若﹁ q则﹁p

4 分 析 但是在遇到一个命题的真假不易判断时，学生常常不能灵活应用这一结论巧妙地转化为它的逆否命题来判断，这也是教材的难点.

5 同学想想：若从条件入手，求结论，会是怎样的情况？ 这时，我们可以把它转化为逆否命题进行判断.
点 拨 例1:判断命题的真假： 若方程 至少有一个负实根，则 注意：若从条件入手，求结论，方程可能是一元一次方程也可能是一元二次方程，需要讨论，若是一元二次方程，那么至少有一个负实根的情况包括一个正根一个负根，或两个负根，同样又需要讨论.这样，我们就需要讨论多种情况，比较复杂. 同学想想：若从条件入手，求结论，会是怎样的情况？ 这时，我们可以把它转化为逆否命题进行判断.

6 分 析 例1:判断命题的真假：若方程 至少有一个负实根，则 析：首先要准确地写出这个命题的逆否命题，写出逆否命题的步骤是什么呢？
也可以先写出逆命题，再写出逆命题的否命题. 可以先写出否命题，再写出否命题的逆命题即可. ①例如写出否命题： “至少有一个负实根”的否定是什么呢？ 应该是没有负实根. 的否定是什么？ 所以原命题的否命题是：若方程 没有负实根 则 ②交换否命题的条件与结论，得否命题的逆命题，即逆否命题为: 若 ，则方程 没有负实根.

7 解析 因为当 时，方程 是一元二次方程，由根的判别式 方程 没有负实根，由此逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题.
因为当 时，方程 是一元二次方程，由根的判别式 方程 没有负实根，由此逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题. 常常当命题含“至多”，“至少”，“没有”，“不等于”，“不都是”等关键词要判定命题的真假时，我们转化为判定逆否命题的真假.

8 变式思考 判断命题：“在 中，若 ,则 三个角不成等差数列”的真假. 很多同学感觉到若直接判断不太容易，所以我们也同样转化为逆否命题来判断.
判断命题：“在 中，若 ,则 三个角不成等差数列”的真假. 很多同学感觉到若直接判断不太容易，所以我们也同样转化为逆否命题来判断. 不难得到逆否命题为：在 中，若 三个角成等差数列，则 显然转化后的命题更好判定真假，一起来看： 因为 三角成等差数列，所以 由于在三角形中 ，所以可得到 即逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题.

9 小 结 1.当原命题的真假难以判定时，我们可通过逆否命题来判定，但要注意将逆否命题书写正确.
2.常常当命题含“至多”，“至少”，“没有”，“不等于”，“不都是”等关键词时，我们应用这种等价转换关系能化难为易.

10 点 评 当原命题的真假有时难以判定，通过逆否命题来判定，这是一种重要的数学方法，显然它更是一种策略，当“正面不易突破”时，要变换角度，从“反面进军”，往往能取得出奇制胜的效果.

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