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数字信号处理 (Digital Signal Processing)

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1 数字信号处理 (Digital Signal Processing)
国家电工电子实验示范中心 数字信号处理课程组

2 第5章 离散时间系统的相位、 结构与状态变量分析法
CUST 第5章 离散时间系统的相位、 结构与状态变量分析法 5.1 离散时间系统的相频响应; 5.2 FIR 系统的线性相位; 5.3 具有线性相位系统的零点分布; 5.4 全通系统和最小相位系统; 5.5 谱分解; 5.6 FIR 系统的结构; 5.7 离散时间系统的 Lattice 结构; 5.8 状态变量

3 CUST 5.1 离散时间系统的相频响应 幅频响应 相频响应 如果: 我们称其为线性相位。 若: 也称线性相位

4 CUST 假定: 对输入 ,有 所以: 输出是输入的简单移位,移位的大小正比于 因此不会发生失真。

5 CUST 例:令 具有线性相位 则: 没有发生相位失真

6 CUST 例:令 若: 则: 发生了相位失真

7 CUST

8 CUST 由于: 如果令: 则: 再令: 则:

9 CUST 定义: 为系统的相位延迟(Phase Delay, PD)
如果系统的相频响应不是线性的,那么系统的输出将不再是输入信号作线性移位后的组合,因此,输出将发生失真。 定义: 为系统的群延迟(Group Delay, GD)

10 CUST ? 显然,若系统具有线性相位,则其GD为常数。 若: 则: 即:相位延迟 反映了载波信号的延迟, 而群延迟 反映了输出包络的延迟。
即:相位延迟 反映了载波信号的延迟, 而群延迟 反映了输出包络的延迟。 思考:如何实现对信号的零相位滤波?若 要保证系统是因果的,又如何实现?

11 在绝大部分信号处理的场合,人们都期盼系统具有线性相位,但是,如何实现线性相位?
CUST 5.2 FIR 系统的线性相位 在绝大部分信号处理的场合,人们都期盼系统具有线性相位,但是,如何实现线性相位? 对 FIR 系统,如果保证: 则该系统具有线性相位。

12 CUST 上述对称有四种情况: 偶对称 第一类 FIR 系统 奇对称 第二类 FIR 系统

13 CUST 第一类 FIR 系统 为奇数 令: 并利用 的对称性,有

14 CUST 令: 实数 令:

15 CUST 最后有: 相位 增益 所以,只要保证滤波器的系数偶对称,该滤波器必然具有线性相位。

16 CUST 为偶数 令: 则:

17 CUST 第二类 FIR 系统: 为奇数

18 CUST 为偶数 请掌握四种情况下线性相位表达式的推导方法。

19 CUST 说明: 第一类 FIR 系统是 的线性组合,在 时, 易取得最大 值,因此这一类滤波器易体现低通特性,且是
的线性组合,在 时, 易取得最大 值,因此这一类滤波器易体现低通特性,且是 偶函数。通过频率移位,又可体现高通、带通、 带阻特性。所以,经典的低通、高通、带通和 带阻滤波器的 都是偶对称的。

20 CUST 第二类 FIR 系统是 的线性组合,在 时, 的值为零,且是奇函数。这一类滤波器都是作为特殊形式的滤波器,如 Hilbert变换器、差分器等。 思考:四类滤波器的对称点在何处 最好取为奇数,以便以中心点为对称。

21 CUST 5.3 具有线性相位系统的零点分布 则: 令: 所以, 的零点也是 的零点, 反之亦然

22 的零点分布: CUST 零点分布可能有四种情况: 不在实轴也不在圆上,应是一对共轭零点,模<1;
不在实轴,但在圆上,也是一对共轭零点;模=1; 在实轴但不在圆上,无共轭,角度=0, 模<1; 在实轴,但在圆上,无共轭,角度=0, 模=1;

23 CUST 在单位圆内 四个零点同时存在, 构成四阶系统. 把该式展开,其系数也是对称的,是具有线性相位的子系统。

24 CUST 无共轭零点, 有镜象零点 无镜象对称零点, 有共轭零点.

25 CUST 无镜象零点, 也无共轭零点. 很容易证明,每一个子系统的系数都是对称的,因此它们都具有线性相位。
一个具有线性相位的FIR数字滤波器的转移函数可表示为上述四类 FIR 子系统的级联,即: 很容易证明,每一个子系统的系数都是对称的,因此它们都具有线性相位。

26 5.4 全通系统和最小相位系统 全通系统 CUST 如果一个系统的幅频响应对所有的 频率都等于1 (或一个常数), 即
5.4 全通系统和最小相位系统 全通系统 如果一个系统的幅频响应对所有的 频率都等于1 (或一个常数), 即 则称系统 为全通系统。 最简单的全通系统,纯延迟

27 CUST 一阶全通系统: 镜像对称

28 CUST 二阶全通系统: 一对位于单位圆内的共轭极点,一对共轭零点和极点以单位圆为镜像对称 。 高阶全通系统:

29 CUST 高阶全通系统的另一种表示形式: 即: 对该全通系统,请自己证明:

30 全通系统的特点: CUST CUST 1 . 是IIR系统(不考虑纯延迟形式); 2. 极点数和零点数相等;
2. 极点数和零点数相等; 3. 极点和零点是以单位圆镜像对称的; 4. 极点都在单位圆内,零点都在单位圆外; 5. 全通系统的群延迟始终为正值。

31 全通系统的应用: CUST IIR系统的 无限长,无法对称,即无法作 到线性相位。在实际中,可以用一个全通系统
对相频响应做矫正,使其接近线性相位。 全通系统还广泛应用在系统分析及一些特殊 滤波器的设计方面(如功率互补IIR滤波器组)

32 CUST 极-零图 幅频 一阶全通系统 相频 抽样响应

33 CUST 三阶全通系统

34 最小相位系统 CUST 一个离散系统,其极点必须在单位圆内,但对零点没有限制,如果: 所有的零点都在单位圆内: 最小相位系统;
2. 所有的零点都在单位圆外: 最大相位系统; 3. 单位圆内、外都有零点 : 混合相位系统。 电子信息工程学院

35 最小相位系统的性质: CUST ? 那一个是最小相位系统 在具有相同幅频响应的因果的稳定的滤波器
集合中, 最小相位滤波器具有最小的相位偏移; 例:作为作业,请证明如下两个系统具有相同 的幅频响应: 那一个是最小相位系统

36 CUST 幅频 相频

37 CUST 在所有具有相同幅频响应的离散系统中, 最 小相位系统的 具有最小的延迟; 令: 累计能量 有:
小相位系统的 具有最小的延迟; 令: 累计能量 有: 所以,最小相位系统的单位抽样响应又称最小延迟序列。 思考: 具有线性相位的FIR系统是否是最小相位系统?

38 CUST 例. 三个系统: 它们具有相同的幅频响应,试判断,那一个是最小相位系统?最大相位系统?混合相位系统?
例. 三个系统: 它们具有相同的幅频响应,试判断,那一个是最小相位系统?最大相位系统?混合相位系统? 请注意:为保证系统具有相同的幅频响应(相同的定标), 的表达式。

39 CUST

40 CUST 3. 设 为最小相位系统 令: 则: 构成一对Hilbert变换 复倒谱:Cepstrum

41 CUST 令: 的逆系统 记: Deconvolution(反卷积)System identification(系统辨识)
对于稳定因果系统,当且仅当其是最小相位 系统时, 该系统才有逆系统 (Inverse System)。 令: 的逆系统 记: Deconvolution(反卷积)System identification(系统辨识)

42 CUST 5. 任一非最小相位的因果系统的转移函数均可由 一个最小相位系统和一个全通系统 级联而成, 即:
5. 任一非最小相位的因果系统的转移函数均可由 一个最小相位系统和一个全通系统 级联而成, 即: 由于最小相位系统有着以上特殊的性质,因此有着广泛的应用,特别是在信号的建模与系统辨识方面。要理解,具有相同幅频响应的系统,它们所对应的转移函数可以是不相同的,区别就在于相位(或零点的位置)。那么,如何由一个最小相位系统得到具有相同幅频响应的最大相位、混合相位系统?

43 5.5 谱分解(Spectral factorization)
CUST 5.5 谱分解(Spectral factorization) 令: 显然, 具有线性相位。将一个转移函 数的极-零点重新分配,得到两个转移函数, 这一过程(或方法)就称为“谱分解”。最常 用的是将具有线性相位系统的转移函数作分 解,并且往往是分解成两个具有相同幅频响 应的子系统。

44 例. 令 CUST 显然,该系统具有线性相位,共有12个零点:
例. 令 ={ ,4.0500, , , , , , , , ,8.1000,4.0500,1.0000} 显然,该系统具有线性相位,共有12个零点:

45 CUST 谱分解的目的是想得到因果的、符合某种要求的系统,这在信号建模、特殊滤波器的设计中经常要用到。分解的一般方法是:
令一个系统是最小相位系统; 则另一个系统必然是最大相位系统。 这样,两个系统都有着相同的幅频响应。 另外一种分解方法是得到两个混合系统,目的是保证它们都具有线性相位。 下图是对 作谱分解的结果,可以看出, 分解后的两个系统具有相同的幅频响应。

46 CUST

47 CUST 5.6 FIR 系统的结构 一、 直接实现和级联实现 直接实现:

48 CUST 级联实现:

49 CUST 二、 具有线性相位的FIR系统的结构 乘法量减少一半

50 CUST 三、 FIR系统的递归实现及梳状滤波器 FIR 系统 该系统实际上是一个N点平均器。 IIR系统

51 CUST IIR 实现 该系统可由一FIR系统和一个一阶IIR系统级联而成,极-零点抵消后,仍是一FIR系统。

52 CUST 梳状滤波器 N点平均器

53 CUST 四、 频率抽样实现 思路:用DFT系数 表示系统函数

54 CUST 令: 梳状滤波器 N个一阶IIR系统 则: 可按上述级联方式得到系统的信号流图:

55 CUST CUST 该结构一方面反映了 Z 变换、DTFT、DFT之间的关系,另一方面,给出了FIR 滤波器设计的一种有效方法。

56 5.7 离散时间系统的 Lattice 结构 CUST
Lattice 结构又称“格形”结构,是一种非常新颖、有特色的结构,在基于模型的功率谱估计、语音信号处理、自适应滤波方面有着重要的应用。对一个FIR系统,其Lattice 结构是:

57 1. 全零点系统(FIR)的Lattice结构
CUST 1. 全零点系统(FIR)的Lattice结构 反射系数 Lattice 结构的基本单元

58 CUST Lattice结构中的基本关系 如何实现滤波器系数和 的相互转换 定义:

59 CUST :是Lattice 结构中第 m 个上、下结点相对输入端的转移函数。 得到由低阶倒高阶,或由高到低的递推关系。

60 CUST 得到时域递推关系: 低到高阶 高到低阶 MATLAB中有相应的 m 文件。

61 CUST 例:

62 2. 全极点系统(IIR)的Lattice结构
CUST 2. 全极点系统(IIR)的Lattice结构 看作是FIR系统的逆形式。

63 CUST 基本单元逆形式

64 CUST 系数 及 的求解方式同FIR系统Lattice结构的计算方 法, 只是将多项式的系数 换成 . 注意:在递推求解的过程中,反射系数
法, 只是将多项式的系数 换成 注意:在递推求解的过程中,反射系数 有关反射系数的更多讨论见第12章信号建模。

65 CUST CUST 3. 极-零系统的Lattice结构

66 CUST 两组Lattice系数 上半部对应全极系统 下半部对应全零系统 求出同全极系统; 递推求解

67 CUST 5.8 离散系统的状态变量描述 1. LSI系统的状态变量与状态方程 描述:差分方程、转移函数、线性卷积

68 CUST 转移函数、差分方程、中间变量的关系

69 CUST 作为系统的状态。 状态变量描述法的特点: “状态”指系统内一组变量, 它包含了系统全部 过去的信息, 由这一组变量和现在与将来的
输入,可求出现系统现在和将来的全部输出; 2. 可用于分析多输入、多输出系统; 如何选择状态变量?有着不同的方法。方法之 一是选择 作为系统的状态。

70 CUST 定义一组新的变量 相互关系 状态方程

71 CUST 输出方程

72 CUST 上述内容讨论了如何由差分方程转换为状态方程。当然,反过来也可以。

73 CUST 2.由状态方程求系统的转移函数 两边取Z变换:

74 CUST 3.由状态方程求输出及单位抽样响应 状态方程 输出方程

75 CUST 零输入解 零状态解 抽样响应为: {

76 CUST 例 对系统, 当 时, 即是系统的单位抽样响应 ,显然, ,该序列称为Fibonacci序列。试利用状态方程求 。 解:

77 与本章内容有关的MATLAB文件 CUST
1.fiftfilt.m 本文件实现零相位滤波。其调用格式是:y=filtfilt(B, A, x) 。式中B是 的分子多项式,A是分母多项式,x是待滤波信号,y是滤波后的信号。 2.grpdelay.m 求系统的群延迟。调用格式 [gd w]=grpdelay(B, A, N) , 或 [gd F]=grpdelay(B, A, N, FS) 式中B和A仍是 的分子、分母多项式,gd是群延迟,w、F是频率分点,二者的维数均为N;FS为抽样频率,单位为Hz。

78 CUST 3.tf2latc.m 和latc2tf.m:实现转移函数和Lattice 系数之间的相互转换。tf2latc的调用格式是:(1) k=tf2latc(b), (2) k=tf2latc(1,a), (3) [k, c]=tf2latc(b,a), 其中(1)对应全零系统,(2)对应全极系统,(3)对应极-零系统。latc2tf的调用格式和tf2latc正好相反。需要说明的是,tf2latc求出的Lattice系数k和本书求出的k差一个负号,这是由于我们在图中用的是-k。

79 CUST 4. latcfilt.m 用来实现Lattice 结构下的信号滤波。调用格式是:
(1)    [y, g]=latcfilt(k, x): 对应全零系统 (2) [y, g]=latcfilt(k, 1, x):对应全极系统 (3) [y, g]=latcfilt(k, c, x):对应极-零系统 x是待滤波的信号,y是用Lattice 结构作正向滤波的输出,g是作反向滤波的输出。若输入x是 则输出y是 的系数; g 是 的系数。

80 CUST 5. tf2ss.m 和 ss2tf.m 实现转移函数和相应状态变量之间的转换。二者的调用格式分别是: [A, B, C, D]=tf2ss(b, a), [b, a]=ss2tf(A, B, C, D)。式中b, a 分别是 分子、分母多项式的系数向量,A, B, C及D的定义见 书。 6.sos2ss.m 实现由转移函数的二阶级联形式转换为状态变量表示。调用格式: [A, B, C, D]=sos2ss(sos, g), A, B, C, D的定义见书。有关sos和g的说明见2.8节关于tf2sos.m的说明。


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