§8.2.3 区间估计 区间估计的具体做法是，构造两个统计量 及 且 ，用区间 来估计未知参数 的可能取值范围，要求 落在区间 的概率尽可能的大。通常，我们事先给定一个很小的数.

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1 §8.2.3 区间估计 区间估计的具体做法是，构造两个统计量 及 且 ，用区间 来估计未知参数 的可能取值范围，要求 落在区间 的概率尽可能的大。通常，我们事先给定一个很小的数 按概率 估计总体参数 可能落入区间 的概率。 称为置信度或置信水平, 称为检验水平(估计不成功的概率),区间 称为置信度为 的置信区间。

2 一、正态总体数学期望的区间估计 1．标准差 已知时，均值 的区间估计 对于正态分布总体（对其他分布的总体，当容量
1．标准差 已知时，均值 的区间估计 对于正态分布总体（对其他分布的总体，当容量 30时，可近似看成正态分布）如果已知总体标准差为 ，样本均值为 ，则在置信度 下总体均值 的置信区间为 （8.16） 其中： 为样本容量， 为标准正态分布的双侧 分位点，即

3 在置信区间中， 为点估计值。置信区间实际上是以 为中心，以 为半径的区间。我们将 称为边际误差。

4 案例8. 3 CJW公司是一家专营体育设备和器材的邮购公司. 为了跟踪服务质量,CJW每个月选取100位顾客的邮购订单组成简单随机样本
案例8.3 CJW公司是一家专营体育设备和器材的邮购公司.为了跟踪服务质量,CJW每个月选取100位顾客的邮购订单组成简单随机样本.每位顾客对公司的服务水平在0(最差等级)到100(最好等级)间打分,然后计算样本平均值. 根据以往的资料显示,每个月顾客满意得分的平均值都在变动,但满意得分的样本标准差趋于稳定的数值20附近.所以我们假定总体标准差为20.又最近一次顾客对CJW满意程度的平均值为82.试求置信度为95%的总体均值的置信区间。

5 解： 样本容量大于30，近似按正态分布处理。总体方差 ，样本均值 。置信度为 ，则 。通过查正态分布表得 ，代入公式（10.1）得置信度为95%时，顾客满意度的边际误差为 ，所以置信区间为 即 。即有95%的把握认为顾客的满意分数落在区间 内。

6 案例8.4 在一批包装商品中，抽取100个小包装袋，已知样本的质量平均数是21克，总体标准差为6克，在置信度为95%的要求下，计算置信区间。
解： 计算平均误差： 置信区间的上限是： 置信区间的下限是： 即这批小包装的质量平均在22.18至19.82之间，可信度为95 %。

7 2．标准差 未知时，均值 的区间估计 对于正态分布总体（对其它分布的总体，当样本容量 30时，可近似看成正态分布）如果已知样 本均值为 ，但总体标准差 为未知，则总体均值 在置信度 下的置信区间为 （8.17） 其中， 为自由度为 的 分布的双 侧 分位点， 为样本容量， 为样本标准差即 。

8 （8.17）式说明，总体标准差 为未知时，总体均值的置信区间为以 为中心，以 为边际误差的区间。

9 案例8. 5 斯切尔公司对培训企业维修工的计算机辅助程序感兴趣
案例8.5 斯切尔公司对培训企业维修工的计算机辅助程序感兴趣.为了了解这种计算机辅助程序能缩短多少培训时间,需要评估这种程序在95%置信水平下培训时间平均值的置信区间。已知培训时间总体是正态分布，管理者对15名维修工进行了测试，所得培训时间如表8-2所示，试估计95%置信水平下总体均值的置信区间。 返回案例8.10 表 名维修工的培训天数 维修工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 培训天数 52 44 55 45 59 50 54 62 46 58 60 63

10 已知总体是正态分布，但总体方差 未知，应用（8.17）式进行计算，首先计算样本均值和样本方差.
解： 已知总体是正态分布，但总体方差 未知，应用（8.17）式进行计算，首先计算样本均值和样本方差. 置信水平为95%，则 ,自由度为 , 查表得 所以边际误差 ：

11 因而由（8.17）式在应用辅助程序后该公司培训维修工时间在95%置信度下的置信区间为
即：

12 案例8.6 表8-3列出了选取36名投保人组成的简单随机样本的年龄数据。在90%置信水平下，求总体年龄均值的置信区间。
表8-3 投保人样本的年龄

13 解： 总体分布未知，但样本量为 ，大于30。近似看成正态分布处理。由于总体的方差未知，所以应用(8.17)式来求总体的置信区间 从表8-3中通过计算可得，样本均值为39.5岁，这是总体均值的点估计。 另可算得样本标准差 : 在置信度为90%时:

14 所以在90%的置信度下，总体年龄均值的置信区间为，
即：

15 案例8.7 《纽约时报1988年年鉴》公布了各行业每人每周的平均工作收入。在服务行业，假如由36名服务业人士组成的样本的个人周收入均值为369美元，样本标准差为50美元。计算服务业人士周收入总体均值的95%置信区间。 解： 总体分布未知，样本容量 ，可近似为正态分布抽样。由于总体方差未知，应用（8.17）式处理。 置信度为95%， ， 自由度

16 所以服务业人士总体均值的95%置信区间为 即（ ， ）.

17 二、正态总体方差的区间估计 对于未知方差的正态分布总体，因统计量 所以对给定的置信度 ，由 分布有 成立，即有 成立。

18 故 的 置信区间为 而均方差 的 置信区间为

19 案例8.8 计算案例8.7中服务业人士总体标准差的95%置信区间。
解： 由案例8.7已知样本容量 ，样本标准差 ，置信度 ，查表得 将以上数据代入(8.19)式得总体标准差的95%置信区间为( , ).

20 三、总体比率的区间估计（大样本） 引例8.3在案例8.5中，我们对斯切尔公司职工培训时间的均值进行了区间估计。为了从多角度评估该项目，需进一步对培训质量进行评估，对45人的样本进行了测试， 结果有36人通过了考核。本次测试的通过率为80%。但再进行测试时，通过率可能就不一定正好是80%，可能是其它的数据。那么总体通过测试的比率该在什么范围内呢？ 我们可以通过样本比率 在一定置信度下确定总体比率 的置信区间。

21 可以证明，样本比率 是总体比率 的无偏估计，并且在大样本（样本容量>=30）的情形下 的分布近似服从正态分布。在置信水平 下，用样本比率 估计总体比率 产生的边际误差为:
所以总体比率的置信区间为 其中 为标准正态分布的双侧 分位点。

22 案例8.9 接着讨论引例8.3中斯切尔公司的培训质量，已知45培训维修工中有36人通过了考试。在95%的置信水平下求总体培训合格比率的置信区间。
解： 由于样本容量 ，近似将抽样分布看成正态分布，样本比率 置信水平为0.95，所以 ， 由（8.20）式，总体培训合格率的置信区间为 ，即（0.68,0.92）

23 四、正态总体在对均值的区间估计中所需的样本容量
在对方差已知的正态分布总体均值进行区间估计时，边际误差为 两个未知变量 和样本容量 共同确定了边际误差。一旦确定了置信水平 ，也就确定了 。此时影响边际误差的唯一因素就是样本容量 。如果对边际误差水平（用 表示）有约定，则需要的样本容量 也就唯一确定了。 和样本容量 共同确定了边际误差。一旦确定了置信水平 ，也就确定了 。此时影响边际误差的唯一因素就是样本容量 。如果对边际误差水平（用 表示）有约定，则需要的样本容量 也就唯一确定了。

24 样本容量 的公式推导如下： 令 代表希望的边际误差 解出样本容量 的表达式 在给定的置信水平下，该样本容量满足所希望的边际误差。

25 案例8.10在案例8.5所述斯切尔公司的培训安排中，计划总体标准差为 。如果希望的边际误差为2天，置信度为95%，样本容量应该为多大？
解： 由题意知 ： 则 。查表得 ， 代入（8.21）式有： 所以，应该抽取至少45个样本。

26 注意：公式(8.21)要求总体标准差 是已知的。当 未知时。通常用样本标准差 代替总体标准差。
案例8.11在《华尔街日报》的纽约股票交易所(New York Stock Exchange)版面上，给出了每支股票52周以来每股最高价、最低价、分红率、价格/ 收益(P/E)比率、日成交量、日最高价、日最低价、收盘价等信息。每支股票的P/E比率由公司最近四个季度公布的每股收益除价格得到。在一次大样本的抽查中，样本方差（the Wall Street Joural, ）。假定我们要求对纽约股票交易列示的所有股票P/E比率的总体均值进行估计，要求95%置信度下的边际误差，则样本容量应包含多少支股票？

27 解： 由于是大样本抽样，可将总体视为正态分布。总体标准差未知，用样本标准差代替，即 。置信度 则 ，通过查表得 ，代入（8.21）式有： 所以按要求，样本容量应包含26支股票。

28 五、正态总体在对总体比率的区间估计中所需的样本容量
现在考虑在给定边际误差时，应选用的多大的样本容量来估计总体比率。前面已知用样本比率 估计总体比率估计的边际误差 解得 （8.22） 其中， 是事先给定的边际误差。 为标准正态分布的双侧 分位点。

29 案例8.12 仍回到斯切尔公司的案例8.5中去，我们要对培训项目测验的总体比率进行估计。在测试中的45名维修工中有36名通过了测试,如果斯切尔公司的生产主管在95%置信水平和边际误差为0.10的条件下对总体比率进行区间估计。那么你建议抽取多少样本？

30 对总体比率评估的样本量的确定应用(8.22)式, 已知样本比率为 ,希望的边际误差为 ,置信度为95%,查表得 解： 由(8.22)式,样本容量： 样本量为整数,所以应取62个样本.

31 随堂练习 在95％置信度下未知总体方差时总体均值的置信区间为： 解：
1、某厂生产一种零件所需工时服从正态分布，现加工一批零件16个，平均用时为2.5小时，它们的标准差为0．12小时．计算在95％置信度下，总体均值的置信区间为多少；总体标准差的置信区间为多少？ 在95％置信度下未知总体方差时总体均值的置信区间为： 解：

32 总体标准差 的置信区间为：

33 2、设某地居民每户每月粮食平均需要量又服从正态分布，随机抽取10户，需要量(单位：公斤)为：
45，38，50．47，44，33，42，40，39，40， 已知该地有1500户居民．为保证至少有95％的把握能满足居民的需求，粮店每月最少应进多少粮食? 解： 设 则： 总体均值 的置信度0.95的置信区间为：

34 为保证至少有95％的把握能满足居民的需求，粮店每月最少应进45．3 1500＝67950公斤．

35 3、某厂生产一批金届材料，其抗弯强度服从正态分布．今从这
批金属材料中随机抽取11个试件，测得它们的抗弯强度为(单位：公斤)： 42．5， 42．7， 43．0， 42．3， 43．4， 44．5，44．0， 43．8， 44．1， 43．9， 43．7、 求：(1)平均抗弯强度 的置信度0.95的置信区间； (2)抗弯强度标准差 的置信度0.90的置信区间 解： （1）经计算 查表得： 平均抗弯强度 的置信度0.95的置信区间为：

36 （2） 正态分布总体的标准差的置信度 的置信区间为：