數字系統與資料表示法.

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1 數字系統與資料表示法

2 電腦的基本單位 電腦，顧名思義，它必須是有電才有腦的，它是由許多電子電路所組合而成，它以1代表開，而以0代表關。
對於任一條電路，它只能有導電1或不導電0兩種狀況，這也構成了電腦的基本單位，我們稱它為位元(Bit)，而這種只有0或1兩種狀態的系統就叫二進位系統(binary system)。

3 電腦的基本單位 在日常生活中，我們習慣於使用十進位 (由0、1、2至9所組成，逢10就進位)。
　 舉例而言，若班上有52位同學，使用十進位只要二位數就夠了，因為十進位的二位數可代表0到99，共有100種狀況。 而在電腦中呢? 因為它使用二進位(由0至1所組成，逢2就進位)，故一位數只能代表兩種狀況，二位數只能代表四種狀況。 所以，班上有52位同學，若要用二進位來編座號，那至少得要有六位數才夠。

4 電腦的基本單位 # % & *…等)就超過九十三個字元了。而您在鍵盤所按下的每個字元都得是不同的代碼，電腦才能得以識別。 例如以ASCII碼來說，您按下”A”，它將傳送 的訊息至主記憶體中，而後在螢幕上顯示”A”。 如果是”B”呢? 它傳達的訊息是 。 所以，電腦的基本單位是位元(Bit)，但一個位元只能代表兩種狀況根本不敷使用，所以它將8個位元，組成一個位元組(byte)。 8位元(bit)=1位元組(byte) 因為一個位元組(8 bit)共有28=256 種狀況，已足以代表鍵盤上的任一按鍵及功能鍵了。

5 電腦的基本單位 對於使用英文的國家而言，都是由大小寫的A~Z所組成的。但對於中文呢? 教育部編地的常用字有4800字，次常用字有7652字，再加上不常用字共有13053字，區區的一個位元組怎夠用呢?如果使用兩個位元組呢? 兩個位元組共有65536種狀況，已足以代表任一中文字了，故一個中文字是由兩個位元組所組成的。 所以，電腦的基本單位是位元(Bit)﹔而一個位元組(8 bit)能代表任一字元(character)，亦即字元、數字或特殊符號；而對於中文字則須以兩個位元組來儲存。

6 電腦的基本單位 時至今日，電腦的儲存容量是相當大的，因為一個Byte只能代表一個小量的資訊，所以電腦記憶體和儲存媒體的容量通常以千位元組(1,024 byte)，百萬位元組(1,048,576 byte)，或十億位元組(1,073,741,824 byte)來表示。故byte的縮寫為大寫的B，若為小寫的b則是bit的意思。一個中文字需2 bytes來表示，若以60G的硬碟而言，約可容納30億個中文字，60億個英文字，因此要放入整個圖書館的資料是輕而易舉的事。

7 數位與類比 數位(Digital) 　　 在電腦中大部分所常見的資訊處理是以二進制位元的組合來編碼、儲存。也就是以兩個狀態(邏輯上的開與關)來代表兩個電壓的層次，並用以代表所有的資訊，包含文字、數字、圖形符號、程式命令。在這種情況下，電腦內的各電路元件之狀態會連續的改變，以移動、操作或儲存資料。一般而言是以高電壓和低電壓來呈現資訊，不像類比訊號是連續不斷變動的。

8 數位與類比 類比(Analog) 　　 某種裝置或訊號在數量或強度上具有連續不斷變動的屬性(如電壓或音頻訊號)，而不是以斷續的訊號為基礎(如電腦訊號中的0與1)。

9 數位與類比 另外為了因應某些工作上的需求，我們需要將數位與類比訊號做轉換，如工程師需要將電壓轉換成數據顯示在電腦上；或需要將溫度以數據表現…等。這時候就需要ADC(類比至數位轉換器)或DAC(數位至類比轉換器)，就是將連續變動訊號轉換成二進碼或反之。

10 數字系統 在日常生活中，我們最常用的數字系統是十進位的，也就是以0、1、2~9共十個數字來作為計數的基底(base)，逢10就進位了。但也有使用其他進制的，例如ㄧ斤有16兩，ㄧ兩有16錢，這就使用16進位系統。 而時間呢? 一小時有60分鐘，ㄧ分有60秒，這就是60進位系統了。 對於電腦呢? 它的基本單位是位元(Bit)，只能代表0或1兩種符號，所以它使用的是二進位系統，也就是說它只能有0與1二個數字，逢2就進位了。

11 數字系統 請看底下的十進制吧! 其中的5是千位數，故得乘上10的3次方﹔而2為十位數，故乘上10的1次方﹔8為個位數，於是乘上10的0次方，小數點以後的呢?它即由左而右依次為10的-1次方、10的-2次方… 方才說過，日常生活中我們最常使用十進制，這也就有如以下的問題：

12 數字系統 3斤11兩，要怎麼算出共有幾兩呢? 它的計算方法如下: 它一共有59兩

13 數字系統 又如3小時24分12秒，要怎麼算出一共有幾秒呢? 請看如下的計算方法： 答案是12252秒

14 數字系統 接下來的問題，二進位的101011是十進位的多少呢? 答案是十進位的 43
現在您已了解如何將二進位轉換成十進位了吧! 而為什麼您要了解如何將二進位轉換為十進位呢?因為電腦只懂得二進位，而我們習慣看的是十進位，故電腦得將最終的答案由二進位轉換成十進位於螢幕上秀出給您看，它的原理就是如此!

15 數字系統 反過來，您要如何將十進制轉換為二進制呢? 當您要將十進位的數字轉換乘二進位時，只要將該十進制的值一直除以2，求出它的餘數，直至商小於除數即可。 例如本例即除至商為1(已小於除數的2)最後，您只要寫下商值，再將餘數由下至上，一次寫下即得如下的二進位數值

16 八進位系統 請看底下的二進位數值 : 有問題了吧! 您只看到一堆0與1，但還要解讀共有幾個0幾個1、以及前後順序為何，這根本是個難題! 所以，為了方便閱讀或記憶，人們想出了各種不同的速記法，來取代二進制系統，這其中以八進位系統(octal system)與十六進位系統(hexade cimal system)最為普遍，也最方便轉換。 八進位以0、1、2~7，共八個數字來做為基底，逢8就進位，所以在八進位系統中，您只能看到0~7的八個數字。 為何二進位與八進位容易轉換呢?因為二進位的3位數正好等於八進位的1位數(23=8)，故只要將二進位的值由右至左，每3位取成一單位就可直接轉換成八近位了。 請看下表：

17 八進位系統 二進位的000至111轉換成八進位正好是0~7。 故： 您看! 二進位的1000111101轉換成八進位是1075。
　故： 您看! 二進位的 轉換成八進位是1075。 這又是個問題了，如果您先寫出1075，又如何判別這是十進位或八進位呢? 在數字的表示法中，我們將基底至於數字的右下角，以示出它是哪種進位系統! 例如10758代表是八進位制的，而107510或1075 (未標示基底)則代表為十進位制的，通常我們習慣使用十進位制，故未標示基底時，就表示為十進位制。

18 十六進位系統 就像一斤共有16兩一樣，十六進位系統是逢16才進位，所以它需要有能代表0、1、2~15的值，這十六個值必須是一位數的，阿拉伯數字的0、1~9一共才十個值，還少了六個，所以十六進位制就以A、B、C、D、E、F來代表10、11、12、13、14、15。

19 各種進位之間的轉換 前面曾經說過二進位與十進位之間的轉換，其實八進位、十六進位與十進位之間的轉換也是相同的做法，只是其基底不同而已。
底下即示範將十進位的125轉換成八進位： 當您需要將十進位的數字轉換成八進位時，只要將該十進制的值，一再除以8求出它的餘數，直至商小於除數為止。 例如本例即除至商為1(已小於除數的8)，最後，您只要寫下商值，再將餘數 由下至上一次寫下，即得該八進位數值：

20 各種進位之間的轉換 如何在二進位、八進位與十六進位之間進行轉換呢?
　先前曾談到，二進位由右至左依序取3位可轉換成八進位，依序取4位可轉換成十六進位。故反過來，若要將八進位轉換成二進位，只要將八進位的每一位數轉換成3位數的二進位。 如果是十六進位呢?那只要將它每一位數轉換成4位數的二進位即可。 底下即示範將175的八進位轉換成二進位： 由上述可知1758為二進位的 ，前置0是可以省略的。 例如十進位的069就等於69。

21 各種進位之間的轉換 底下再示範將十六進位的23D 轉換為二進位： 由上述可知23D8為二進位的10001111012。
同樣的，前置0是可以省略的。

22 各種進位之間的轉換 上面所談的都是整數之間的轉換，如果有小數呢? 底下即示範將含小數的二進位制轉換成十進制： 由上表得知