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4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)

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1 4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
第4章 电路定理 (Circuit Theorems) 4.1 叠加定理 (Superposition Theorem) 4.2 替代定理 (Substitution Theorem) 4.3 戴维宁定理和诺顿定理 (Thevenin-Norton Theorem) 4.4 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem) 4.5 互易定理 (Reciprocity Theorem) 4.6 对偶原理 (Dual Principle)

2 重点: 掌握各定理的内容、适用范围及如何应用。

3 4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
1. 叠加定理 在线性电路中,任一支路的电流(或电压)可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时,在该支路产生的电流(或电压)的代数和。 G1 is1 G2 us2 G3 us3 i2 i3 + 1 2 .定理的证明 用结点法: (G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1

4 = + + 可表示为: R1 is1 R2 us2 R3 us3 i2 i3 + – R1 is1 R2 R3 R1 R2 us2 R3 +

5 结点电压和支路电流均为各电源的一次函数,均
同理,支路电流也可表示为: 结论 结点电压和支路电流均为各电源的一次函数,均 可看成各独立电源单独作用时,产生的响应之叠加。 3. 几点说明 1. 叠加定理只适用于线性电路。 电压源为零—短路。 2. 一个电源作用,其余电源为零 电流源为零—开路。

6 = + + is1单独作用 us2单独作用 us3单独作用 R1 is1 R2 us2 R3 us3 i2 i3 + – R1 is1 R2
三个电源共同作用 R1 R2 us2 R3 + 1 R1 R2 us3 R3 + 1 + + us2单独作用 us3单独作用

7 3. 功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积,为电源的二次函数)。
4. u,i叠加时要注意各分量的参考方向。 5. 含受控源(线性)电路亦可用叠加,但叠加只适用于独立源,受控源应始终保留。

8 + 4. 叠加定理的应用 例1 解 8 12V 3A + – 6 3 2 - U 求电压U. 12V电源作用: 3A电源作用: 8
画出分电路图

9 + 例2 u (2) u + - 12V 2A 1 3A 3 6 6V 计算电压u。 3A电流源作用: 其余电源作用: + - 12V
i (2) 1 3A 3 6 u(1) 画出分电路图 说明:叠加方式是任意的,可以一次一个独立源单独作用,也可以一次几个独立源同时作用,取决于使分析计算简便。

10 + 例3 i i (2) u + - 10V 2i 1 2 5A 计算电压u电流i。 10V电源作用: 5A电源作用: 受控源始终保留
画出分电路图

11 无源 线性 网络 uS i - + iS 例4 解 封装好的电路如图,已知下列实验数据: 研究激励和响应关系的实验方法 根据叠加定理,有:
代入实验数据,得:

12 齐性原理 例6. RL=2 R1=1  R2=1  us=51V 解 us1 k us1 r k r us2 R k us2 R
线性电路中,所有激励都增大(或减小)同样的倍数,则电路中响应也增大(或减小)同样的倍数。 例6. RL=2 R1=1  R2=1  us=51V 求电流 i 。 i R1 R2 RL + us 3A 21A 8A + 21V + 8V i '=1A + 3V + 2V + us'=34V 5A 13A 2A 采用倒推法:设i'=1A。

13 4. 2 替代定理 (Substitution Theorem)
1.替代定理 对于给定的任意一个电路,若某一支路电压为uk、电流为ik,那么这条支路就可以用一个电压等于uk的独立电压源,或者用一个电流等于ik的 独立电流源,或用一R=uk/ik的电阻来替代,替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。 ik + uk R=uk/ik k ik + uk + uk ik

14 2. 定理的证明 A ik + uk k A + uk uk A ik + k 证毕!

15 例 i3 i2 i1 u 解 i3 i2 i1 60V 5 求图示电路的支路电压和电流。 10 + 110V - 替代 5
替代以后有: 替代后各支路电压和电流完全不变。

16 1.替代定理既适用于线性电路,也适用于非线性电路。
原因 替代前后KCL,KVL关系相同,其余支路的u、i关系不变。用uk替代后,其余支路电压不变(KVL),其余支路电流也不变,故第k条支路ik也不变(KCL)。用ik替代后,其余支路电流不变(KCL),其余支路电压不变,故第k条支路uk也不变(KVL)。 2.5A 10V 5V 2 5 5V + 1A 注: 1.5A 1.替代定理既适用于线性电路,也适用于非线性电路。 无电压源回路; 2. 替代后电路必须有唯一解 无电流源节点(含广义节点)。

17 = + 3. 替代定理的应用 例2 解 U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2
0.5 + U1 3 1 Rx Ix U I 例2 若要使 试求Rx。 用替代: 0.5 1 + U'' 0.5 1 + U I 0.5 1 + U' I = + U=U'+U"=( )Ix=0.2Ix Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2

18 例3 解 b a 已知: uab=0, 求电阻R。 用替代: C R 8 3V 4 + - 2 + 20V 3 IR 1A I
用结点法: I1

19 例4 解 已知: uab=0, 求电阻R。 a b 0.5A 20 4 25 + 1A 20 R 10 42V 40 -
用断路替代,得: d c 短路替代:

20 (Thevenin-Norton Theorem)
4.3 戴维宁定理和诺顿定理 (Thevenin-Norton Theorem) 工程实际中,常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说,电路的其余部分就成为一个有源二端网络,可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路), 使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。

21 1. 戴维宁定理 i a b Req Uoc + - u A a b i u
任何一个线性含源一端口网络,对外电路来说,总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换;此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压uoc,而电阻等于一端口的输入电阻(或等效电阻Req)。 i a b Req Uoc + - u A a b i u

22 例 10 + – 20V UoC a b 10V I (1) 求开路电压Uoc Uoc a b + – Req 5 15V -

23 + 2.定理的证明 a b A i + – u a b A i + – u N' a b P i + – u'' a b A + – u'
替代 A中独立源置零 a b P i + u'' a b A + u' 叠加 Req + i Uoc + u N' a b Req

24 3.定理的应用 (1) 开路电压Uoc 的计算 戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开
算。 (2)等效电阻的计算 等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源 短路,电流源开路)后,所得无源一端口网络的输入电阻。 常用下列方法计算:

25 iSC 1 2 a b P i + – u a b P i + – u Uoc a b + – Req 3 2 3
当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和△-Y 互换的方法计算等效电阻; 1 外加电源法(加压求流或加流求压)。 2 a b P i + u Req a b P i + u Req iSC Uoc a b + Req 开路电压,短路电流法。 3 2 3 方法更有一般性。

26 例1. 注: 解 (1) 外电路可以是任意的线性或非线性电路,外电路发生改变时,含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。
(2) 当一端口内部含有受控源时,控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。 例1. 计算Rx分别为1.2、 5.2时的I; I Rx a b + 10V 4 6 保留Rx支路,将其余一端口网络化为戴维宁等效电路:

27 Uoc = U1 + U2 = -104/(4+6)+10  6/(4+6) = -4+6=2V Req=4//6+6//4=4.8
_ (1) 求开路电压 a b + 10V 4 6 U2 U1 I Rx Uoc = U1 + U2 = -104/(4+6)+10  6/(4+6) = -4+6=2V (2) 求等效电阻Req Req=4//6+6//4=4.8 I a b Uoc + Rx Req (3) Rx =1.2时, I= Uoc /(Req + Rx) =0.333A Rx =5.2时, I= Uoc /(Req + Rx) =0.2A

28 例2. 解 I=9/9=1A Uoc=6I+3I Uoc=9V 求U0 。 (1) 求开路电压Uoc 3 6 I + – 9V U0 a
b 6I I=9/9=1A + Uoc Uoc=6I+3I Uoc=9V Uoc a b + Req 3 U0 - (2) 求等效电阻Req 方法1:加压求流

29 U0=6I+3I=9I I=I06/(6+3)=(2/3)I0 U0 =9  (2/3)I0=6I0 Req = U0 /I0=6 
3 6 I + U0 a b 6I I0 U0=6I+3I=9I I=I06/(6+3)=(2/3)I0 U0 =9  (2/3)I0=6I0 独立源置零 Req = U0 /I0=6  (Uoc=9V) 方法2:开路电压、短路电流 I=0 3 6 I + 9V Isc a b 6I I1 I=-6I/3=-2I 6 I1 +3I=9 Isc=I1=9/6=1.5A Req = Uoc / Isc =9/1.5=6  独立源保留

30 例3. 解 a b Uoc + – Req 3 U0 - 6 9V (3) 等效电路
计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法,要具体问题具体分析,以计算简便为好。 100 50 + 40V RL a b 50V I1 4I1 5 例3. 求负载RL上的电流。 (1) 求开路电压Uoc

31 Isc 100 50 + – 40V a b I1 4I1 Uoc 100 50 + – 40V a b I1 200I1 Uoc
(2) 求等效电阻Req 用开路电压、短路电流法

32 IL A V 1 3 2 + - 例4. 1 A =2A 2 V =4V 解 a b Uoc + – Req 5 25 10V + -
线性 含源 网络 A V 5 U + S 1 3 2 1A 4V 例4. 1 A =2A 已知开关S 2 V =4V 求开关S打向3,电压U等于多少

33 4. 诺顿定理 任何一个含源线性一端口电路,对外电路来说,可以用一个电流源和电导(电阻)的并联组合来等效置换;电流源的电流等于该一端口的短路电流,而电导(电阻)等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导(电阻)。 a b Geq(Req) Isc A a b 诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。证明过程从略。

34 I =2.83A 例1 Req =10//2=1.67  解 I1 =12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6A
12V 2 10 + 24V a b 4 I Req 2 10 a b Isc I1 I2 Req =10//2=1.67  (3) 诺顿等效电路: (1) 求短路电流Isc 应用分流公式 4 I a b 9.6A 1.67 I1 =12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6A Isc=-I1-I2= =-9.6A I =2.83A

35 例2 解 + - 求电压U。 3 6 + – 24V a b 1A U 本题用诺顿定理求比较方便。因a、b处的短路电流比开路电压容易求。
Req Isc (1) 求短路电流Isc (2) 求等效电阻Req Isc a b 1A 4 U (3) 诺顿等效电路:

36 最大功率传输定理 i Uoc + – u Req RL A i + – u 负载 应用戴维宁定理
一个含源线性一端口电路,当所接负载不同时,一端口电路传输给负载的功率就不同,讨论负载为何值时能从电路获取最大功率,及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。 i Uoc + u Req RL A i + u 负载 应用戴维宁定理

37 RL P P max 对P求导: 最大功率匹配条件

38 RL为何值时其上获得最大功率,并求最大功率。
RL为何值时其上获得最大功率,并求最大功率。 (1) 求开路电压Uoc 20 + 20V a b 2A UR RL 10 I1 I2 Uoc 20 + I a b UR 10 U I2 I1 (2) 求等效电阻Req

39 时其上可获得最大功率 注 (3) 由最大功率传输定理得: 最大功率传输定理用于一端口电路给定, 负载电阻可调的情况;
一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于 端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大 功率时,电路的传输效率并不一定是50%; 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理 或诺顿定理最方便.

40 4.4 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem) 1. 特勒根定理1 功率守恒
4.4 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem) 1. 特勒根定理1 任何时刻,对于一个具有n个结点和b条支路的集总电路,在支路电流和电压取关联参考方向下,满足: 功率守恒 表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。 定理证明:

41 4 6 5 1 2 3 1 2 3 应用KCL: 支路电压用结点电压表示

42 1. 特勒根定理2 任何时刻,对于两个具有n个结点和b条支路的集总电路,当它们具有相同的图,但由内容不同的支路构成,在支路电流和电压取关联参考方向下,满足: 4 6 5 1 2 3 4 6 5 1 2 3 拟功率定理

43 定理证明: 1 2 3 4 6 5 1 2 3 对电路2应用KCL: 4 6 5 1 2 3

44 例1 解 I1 I2 R1 (1) R1=R2=2, Us=8V时, I1=2A, U2 =2V 无源 电阻 网络 P + + + Us
求此时的U2 。 把(1)、(2)两种情况看成是结构相同,参数不同的两个电路,利用特勒根定理2 由(1)得:I1=2A, U1=4V, U2=2V, I2=U2/R2=1A

45 P + 2 P + U1 U2 I2 I1 例2. 已知: U1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1A

46 应用特勒根定理需注意: (1)电路中的支路电压必须满足KVL; (2)电路中的支路电流必须满足KCL;
(3)电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向; (否则公式中加负号) (4)定理的正确性与元件的特征全然无关。

47 4. 5 互易定理 (Reciprocity Theorem)
互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互易性的网络在输入端(激励)与输出端(响应)互换位置后,同一激励所产生的响应并不改变。具有互易性的网络叫互易网络,互易定理是对电路的这种性质所进行的概括,它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。 1. 互易定理 对一个仅含电阻的二端口电路NR,其中一个端口加激励源,一个端口作响应端口,在只有一个激励源的情况下,当激励与响应互换位置时,同一激励所产生的响应相同。

48 情况1 c d i1 + – uS2 a b (b) i2 + – uS1 a b c d (a) 激励 电压源 电流 响应
线性电阻网络 NR i1 + uS2 a b (b) i2 线性电阻网络 NR + uS1 a b c d (a) 则两个支路中电压电流有如下关系: 当 uS1 = uS2 时,i2 = i1

49 证明: 由特勒根定理: 即: 两式相减,得

50 c d i1 + – uS2 a b (b) i2 + – uS1 a b c d (a) 将图(a)与图(b)中支路1,2的条件代入,即:
即: 证毕! c d 线性电阻网络 NR i1 + uS2 a b (b) i2 线性电阻网络 NR + uS1 a b c d (a)

51 情况2 c d u1 + – iS2 a b (b) u2 + – iS1 a b c d (a) 激励 电流源 电压 响应
线性电阻网络 NR u1 + iS2 a b (b) u2 线性电阻网络 NR + iS1 a b c d (a) 则两个支路中电压电流有如下关系: 当 iS1 = iS2 时,u2 = u1

52 情况3 c d u1 + – uS2 a b (b) i2 iS1 a b c d (a) 激励 电流源 电压源 图b 图a 电流 响应
线性电阻网络 NR u1 + uS2 a b (b) i2 线性电阻网络 NR iS1 a b c d (a) 则两个支路中电压电流在数值上有如下关系: 当 iS1 = uS2 时,i2 = u1

53 应用互易定理分析电路时应注意: c d i1 + – uS2 a b (b) i2 + – uS1 a b c d (a)
(1) 互易前后应保持网络的拓扑结构不变,仅理想电源搬移; (2) 互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致(要么都 关联,要么都非关联); (3) 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下, 两个支路电压电流关系。 (4) 含有受控源的网络,互易定理一般不成立。 c d 线性电阻网络 NR i1 + uS2 a b (b) i2 线性电阻网络 NR + uS1 a b c d (a)

54 例1 + - - 解 求(a)图电流I ,(b)图电压U。 6A 1 6 I + – 12V 2 (a) 4 (b) 1 2
利用互易定理

55 例2 解 I1 = I'2/(4+2)=2/3A I2 = I'2/(1+2)=4/3A I= I1-I2 = - 2/3A
2 1 4 + 8V I a b c d 利用互易定理 2 1 4 + 8V I a b c d I1 I2 I' I1 = I'2/(4+2)=2/3A I2 = I'2/(1+2)=4/3A I= I1-I2 = - 2/3A

56 4.6 对偶定理 (Dual Principle) 一、网络对偶的概念 1. 平面网络;
4.6 对偶定理 (Dual Principle) 一、网络对偶的概念 1. 平面网络; 3. 两个方程中对应元素互换后方程能彼此转换 , 互换的元素 称为对偶元素 ; 这两个方程所表示的两个电路互为对偶。 2. 两个网络所涉及的量属于同一个物理量(电路); 例1 R2 + us il R1 G1 G2 un is 网孔电流方程: (R1 + R2)il = us 节点电压方程: (G1 + G2 )un = is

57 (R1 + R2)il = us (G1 + G2 )un = is R2 + us il R1 G1 G2 un is 对应元素互换,两个方程可以彼此转换,两个电路互为对偶。 电阻 R 电压源 us 网孔电流 il KVL 串联 网孔 电导 G 电流源 is 节点电压 un KCL 并联 节点

58 二、对偶原理 两个对偶电路N,N,如果对电路N有命题 (或陈述)S成立,则将S中所有元素分别以其对应的对偶 元素替换,所得命题(或陈述)S对电路N成立。 对偶关系 基本定律 U=RI I=GU U= I=0 分析方法 网孔法 节点法 对偶结构 串联 并联 网孔 节点  Y 对偶状态 开路 短路 对偶元件 R G L C 对偶结论 开路电流为零,短路电压为零; 理想电压源不能短路, 理想电流源不能开路; 戴维南定理,诺顿定理;

59 图示线性电路,当A支路中的电阻R=0时,测得B支路电压U=U1,当R=时,U=U2,已知ab端口的等效电阻为RA,求R为任意值时的电压U。
定理的综合应用 例1 图示线性电路,当A支路中的电阻R=0时,测得B支路电压U=U1,当R=时,U=U2,已知ab端口的等效电阻为RA,求R为任意值时的电压U。 线性 有源 网络 U + R RA a b A B

60 解 线性 有源 网络 I 解得: (1)应用戴维宁定理: (2)应用替代定理: U – + R RA a b A B R a b I + –
Uoc RA I (3)应用叠加定理: 解得:

61 例2 图a为线性电路,N为相同的电阻网络,对称连接,测得电流i1=I1, i2=I2, 求b图中的i’1 N US i2 i1 b a + - (a) N US i’1 b a + - (b) 对图(c)应用戴维宁定理 Uoc i=0 b a + - R N US i”1 b a + - (c)

62 - - - + N + N + N US i2 i1 b a 应用互易定理 i”2 b a US 再应用叠加定理 US i”1 b a
(c)

63 课后作业: P107:2,7, 9,12,16,18,20,24

64 叠加原理 superposition theorem 齐性原理 homogeneity property 输入/激励 input / excitation 输出/响应 output / response 线性电路 linear circuit 代数和 algebraic sum 替代定理 substitution theorem 戴维南定理 Thevenin’s theorem 诺顿定理 Norton’s theorem 二端网络 two-terminal circuit 开路电压 open-circuit voltage 短路电流 short-circuit current 特勒根定理 Tellegen’s theorem 功率平衡定理 power-balancing theorem 互易定理 reciprocal theorem 对偶原理 principle of duality 对偶元件 dual element 对偶图 dual graph 对偶电路 dual circuit


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