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7 正弦稳态分析 7－1 正弦量 7－2 正弦量的相量表示法 7－3 正弦稳态电路的相量模型 7－4 阻抗和导纳
7 正弦稳态分析 7－1 正弦量 7－2 正弦量的相量表示法 7－3 正弦稳态电路的相量模型 7－4 阻抗和导纳 7－5 正弦稳态电路的相量分析法 7－6 正弦稳态电路的功率 7－7 三相电路 7－8 非正弦周期电路的稳态分析
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本章研究线性动态电路在正弦电源激励下的响应。线性时不变动态电路在角频率为ω的正弦电压源和电流源激励下，随着时间的增长，当暂态响应消失，只剩下正弦稳态响应，电路中全部电压电流都是角频率为ω的正弦波时，称电路处于正弦稳态。满足这类条件的动态电路(渐近稳定电路)通常称为正弦电路或正弦稳态电路。
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正弦稳态分析的重要性在于：(1) 正弦信号是最基本的信号，它容易产生、加工和传输；(2) 很多实际电路都工作于正弦稳态。例如电力系统的大多数电路。(3) 用相量法分析正弦稳态十分有效。(4) 已知电路的正弦稳态响应，可以得到任意波形信号激励下的响应。 分析正弦稳态的有效方法——相量法。
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7－1 正 弦 量 7-1-1 正弦量的三要素 正弦量——按正弦规律随时间变化的物理量。 函数式表示： Fm——振幅；
ω——角频率；rad/s ωt+ ——相位；弧度（rad）或度()； ——初相位。| |
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f——频率；赫（Hz） ω=2f T——周期；秒（s） T=1 / f 波形图表示如下（以电流为例）：
(a) >0 (b) =0 (c) <0
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由于已知振幅Fm ，角频率ω和初相 ，就能完全确定一个正弦量，称它们为正弦量的三要素。
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例1 已知正弦电压的振幅为10伏，周期为100ms，初相为/6。试写出正弦电压的函数表达式和画出波形图。
解：角频率 函数表达式为 波形如右图。
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例2 试求正弦量 的振幅Fm 、初相与频率f 。
解：将正弦量表达式化为基本形式： 所以 Fm =10， = /3rad, =100rad/s, f =/2=50Hz
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7-1-2 正弦量间的相位差 正弦稳态电路中，各电压电流都是频率相同的正弦量，常常需要将这些正弦量的相位进行比较。两个正弦电压电流相位之差，称为相位差。如两个同频率的正弦电流 电流i1(t)与i2(t)间的相位差为
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上式表明两个同频率正弦量在任意时刻的相位差均等于它们初相之差，与时间t无关。
相位差反映出电流i1(t)与电流i2(t)在时间上的超前和滞后关系： 当=1-2>0时，表明i1(t)超前i2(t)， 超前的角度为 。 当=1-2<0时，表明i1(t)滞后i2(t)， 滞后的角度为||。
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(a) 电流i1超前于电流i2, (b) 电流i1滞后于电流i2
当=1-2 =0时， i1(t)与i2(t)同相。 当=1-2 =时， i1(t)与i2(t)反相。 当=1-2 =/2时， i1(t)与i2(t)正交 (a) 电流i1超前于电流i2, (b) 电流i1滞后于电流i2
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(c) 同相 (d) 正交 (e) 反相 注意：角频率不同的两个正弦间的相位差为 是时间t的函数，不再等于初相之差。
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例3 已知正弦电压u(t)和电流i1(t), i2(t)的表达式为
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习惯上将相位差的范围控制在 -180°到 +180°之间。
如：我们不说电压u(t)与电流i2(t)的相位差为-240 ，而说电压u(t)与电流i2(t)的相位差为(360-240)=120, 即：u(t)超前于i2(t) 120 。
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7-1-3 正弦量的有效值 将直流电流I和正弦电流i(t)通过电阻R时的功率和能量作一比较，导出正弦电压电流的有效值。 电阻R通过直流电流I时，吸收的功率P=I2R，在时间T内获得的能量为W=PT=I2RT .
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通过周期电流信号i(t)时，电阻吸收的功率p(t)= i2(t)R是时间的函数，在一个周期T内获得的能量为
当直流电流I或者电流i(t)通过同一电阻R时，假设它们在一个周期的时间内获得相同的能量，即
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由此解得 电流i(t)的方均根值，称为有效值。 对于正弦电流i(t) =Imcos(t+),方均根值(有效值):
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结果表明，振幅为Im的正弦电流与数值为I=0
结果表明，振幅为Im的正弦电流与数值为I=0.707Im的直流电流，在一个周期内，对电阻R提供相同的能量。也就是说正弦电压电流的有效值为振幅值的0.707倍，或者说正弦电压电流的振幅是其有效值的 倍 正弦电压u(t)=Umcos(t+)的有效值为
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对于半波整流波形，其表达式 ： 可得半波整流波形的有效值是振幅值的0.5倍。
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由此可见： (1)正弦量的有效值只与振幅值有关，与角频率和初相无关； (2)非正弦周期量的有效值没有上述关系，需要单独计算。 当然，还有平均值的定义。即：一个周期内取其平均。
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三角形式： A =a (cos +jsin)
7-2 正弦量的相量表示法 复数 直角坐标形式：A=a1+ja2 三角形式： A =a (cos +jsin) 指数形式： A =a e j +1 j a a1 a2 复数的复平面表示 极坐标形式： A =a a1=acos a2=asin
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分析正弦稳态的有效方法是相量法(Phasor method)，相量法的基础是用相量（向量）或复数来表示正弦量的振幅和初相。注意：其频率不变。
正弦量的相量表示 分析正弦稳态的有效方法是相量法(Phasor method)，相量法的基础是用相量（向量）或复数来表示正弦量的振幅和初相。注意：其频率不变。 +1 j Fm 相量图 Fm sin Fm cos 称为：f (t)的振幅相量
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有效值相量 正弦量有效值与复值的关系： 正弦量 f (t) 的有效值相量
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正弦量f(t)是以角速度ω沿反时针方向旋转的旋转相量 在实轴投影。即：
正弦量与其相量的对应关系： 正弦量f(t)是以角速度ω沿反时针方向旋转的旋转相量 在实轴投影。即： 1 j t2 t2 t f(t)
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可见，一个按正弦规律变化的电压和电流，可以用一个相量(复常数)来表示。已知正弦量的时间表达式，可得相应的相量。反过来，已知电压电流相量，也就知道正弦电压电流的振幅和初相，再加上角频率，就能写出正弦电压电流的时间表达式(两者存在一一对应关系)。即
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或： 显然，有
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一般地：可以任意选用振幅相量或有效值相量来表示同一个正弦量；但选用有效值相量更为普遍些。
在没有特指的情况下，指的是有效值相量。 相量：用复平面(二维空间)中的复常数表示正弦量的振幅或有效值、初相。
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以正弦电压为例： 相量图：为了形象描述各个相量(表示正弦量)之间的相位关系，把一些相量画在同一张复平面内。 参考相量：上图中假设为零相位的相量。
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例4 已知电流i1(t)=5cos(314t+60)A , i2(t)=-10sin(314t+60)A。写出它们的相量，画出相量图，并求i(t)=i1(t)+ i2(t) 。
解：
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相量图如图所示。 从相量图容易看出各正弦电压电流的相位关系： i2(t)超前于 i1(t) 90°。 相量图的另一个好处是可以用向量和复数的运算法则求同频率正弦电压或电流之和。平行四边形法则。
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可得电流的表达式为
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7－3 正弦稳态电路的相量模型 7-3-1 基尔霍夫定律的相量形式 KCL: 电路中全部电流都具有同一频率ω，则可用振幅相量或有效值相量表示：
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代入KCL中得: 相量形式的KCL定律：对于具有相同频率的正弦电路中的任一节点，流出该节点的全部支路电流相量的代数和等于零。
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注 意 ： 1 流出节点的电流取”+”号，流入节点的电流取”-”号。
2 流出任一节点的全部支路电流振幅(或有效值)的代数和并不一定等于零。即,一般情况下:
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例5 已知 试求电流i(t)及其有效值相量。 i i1 i2 (a) iS (b) 解：根据图(a)电路的时域模型，得图 (b)所示的相量模型——将时域模型中各电流符号用相应的相量符号表示。
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有效值相量 列图(b)相量模型中节点1的KCL方程， 由此可得 则： Í Í2 Í1 +1 j 相量图如右图所示，用来检验复数计算的结果是否基本正确。
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KVL: 相量形式为： 相量形式的KVL定律：对于具有相同频率的正弦电流电路中的任一回路，沿该回路全部支路电压相量的代数和等于零。
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注意 1 与回路绕行方向相同的电压取”+”号，相反的电压取”-”号。 2 沿任一回路全部支路电压振幅(或有效值)的代数和并不一定等于零，即一般来说
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例6 求uS(t)和相应的相量，并画出相量图。已知
+ u2 - uS + - 解：根据电路的时域模型，画出右图相量模型,并计算出电压相量。
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图(b)，以顺时针为绕行方向，列出的相量形式KVL方程
j 由相量得时间表达式 各相量的关系如右图 +1
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7-3-2 电路元件伏安关系的相量形式 1 电阻元件伏安关系的相量形式 时域： 当电流i(t)=Imcos(t+i)时，电阻上电压电流关系： 电压和电流是同频率的正弦时间函数。其振幅或有效值之间服从欧姆定律，其相位差为零(同相)，即
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电阻元件的时域模型及反映电压电流关系的波形如下图示。可见，在任一时刻，电压的瞬时值是电流的R倍，电压与电流 同相位。
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由上述推导，得 在关联参考方向下电阻电压电流的相量形式为
或 这是复数方程，同时提供振幅之间和相位之间的两个关系，即： (1) V=RI (2) u =i。
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相量模型如图(a)所示，反映电压电流相量关系的相量图如图(b)所示，由此可看出电阻电压与电流的相位相同。
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2 电容元件伏安关系的相量形式 电容电压电流关系为 当u(t)=Umcos(t+u )时 电容的电压和电流是同频率。其振幅或有效值以及相位间的关系为
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电容元件的时域模型如图(a)所示，电压电流的波形图如图(b)所示。由此可看出电容电流超前于电容电压90°。
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由上述推导，得在关联参考方向下电容元件电压和电流相量的关系式
或 这个复数方程包含振幅间与幅角间的关系。电容元件的相量模型如图(a)所示，其相量关系如图(b)所示。 (a) 1 j (b)
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3 电感元件伏安关系的相量形式 电感上电压电流关系： 当 i(t)=Imcos(t+i) 时
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电感元件的时域模型如图(a)所示 伏安关系的波形如图(b)。可看出电感电压超前于电流90°，当电感电流由负值增加经过零点时，其电压达到正最大值。
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由上述推导，得在关联参考方向下电感元件电压和电流相量的关系式
电感元件的相量模型如图(a)，伏安相量关系的相量图 如图(b)所示。
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KCL、KVL和元件VCR的时域和相量形式：
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例7 图示电路，已知 求:u1(t), u2(t), u(t)及有效值相量。 解：相量模型如图(b)，根据相量形式的KCL求电流相量
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根据相量形式的VCR，得： 根据相量形式的KVL，得到 时域表达式 相量图如图(c)所示。 (串联电路选取电流为参考相量 )
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例8 电路如图(a)所示,已知 求： i1(t), i2(t), i (t)及其有效值相量。 解:相量模型如图(b),电压相量 根据RLC元件相量形式的VCR方程求电流。
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相量形式的KCL，得到 时域表达式： 相量图如图(c)所示。 (并联电路选取电压为参考相量 )
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7-4 阻抗与导纳 一、R、L、C元件VCR的相量关系如下： 设电流、电压的参考方向关联，由 电阻 容抗 (与成反比) 感抗(成正比)
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电压与电流相量之比是一个与时间无关的量(单位：)
R、L、C元件电压与电流相量间的关系类似欧姆定律， 电压与电流相量之比是一个与时间无关的量(单位：)
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一般无源二端网络N0 N0 + - 阻抗： 导纳： 显然： 可得欧姆定律的相量形式：
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G、C、L元件的导纳以下 G、C、L元件的导纳是一个与时间无关的量，它是一个复数。
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一般情况： 阻抗是复数，实部R称为电阻分量，虚部X称为电抗分量，Z= v-i称为阻抗角，阻抗的模 |Z| = U/I R X |Z| Z 阻抗三角形：
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当X>0时，Z>0，端口电压超前电流，网络呈感性，电抗元件可等效为一个电感；
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实部G称为电导分量，虚部B称为电纳分量，导纳角 Y= i-u=-Z。
导纳三角形：
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当B>0时，Y>0，端口电流超前电压，网络呈容性，电纳元件可等效为一个电容；
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无源网络相量模型有两种等效电路，一种是根据阻抗Z=R+jX得到的电阻R与电抗jX串联电路，如图(c)；另一种是根据导纳Y=G+jB得到的电导G与电纳jB的并联，如图(e)。
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由于 且，一般情况下均为 的函数；阻抗角或导纳角在一、四象限内。
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在一般情况下，注意：
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阻抗串联和并联等效 1、阻抗串联 n个阻抗串联，等效阻抗为： 电流与端口电压相量的关系为
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第k个阻抗上的电压与端口电压相量的关系为
称为n个阻抗串联时的分压公式。
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2、导纳并联 n个导纳并联组成的单口网络，就端口特性来说，等效于一个导纳，其等效导纳值等于各并联导纳之和，即
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电压与其端口电流相量的关系为 第k个导纳中的电流与端口电流相量的关系为 这是导纳并联时的分流公式。
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例9 求图(a)网络在=1rad/s和=2rad/s时的等效阻抗和等效电路。 a
L=1H R=1 C=0.5F a b (a) 解： =1rad/s时的相量模型如图(b)所示，等效阻抗 . 等效电路如图(c)所示
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同理，=2rad/s时的相量模型如图(b)所示，求得等效阻抗为
等效电路如图(e)，相应的时域等效电路为一个0.5Ω的电阻与1/3F电容的串联。
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例10 试求等效阻抗和相应的等效电路。 解：相量模型如图(b)。设在端口加电流源，用相量形式KVL方程求电压相量 等效阻抗为 其等效电路如图(c)所示。
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3 分析RLC串联电路 相量模型如图(b)所示。等效阻抗 其中：
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当X=XL-XC>0时，Z>0，电压超前于电流，电路呈感性，等效为R串联电感； 当X=XL-XC <0时，Z<0，电流超前于电压，电路呈容性，等效为R串联电容； 当X=XL-XC =0时，Z=0，电压与电流同相，电路呈电阻性，等效为R。
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电压三角形如下： 感性XL>XC 容性XL<XC Z
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例11 u(t)=10cos2tV。试求i(t), uR(t), uL(t), uC(t)。
解：相量模型如图(b)所示。等效阻抗 相量电流
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RLC元件上的电压相量 时间表达式
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各电压电流的相量图如图(c)所示。端口电压u(t)的相位超前于端口电流相位i(t)45°，该RLC串联网络的端口特性等效于一个电阻与电感的串联，即具有电感性。
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4 分析GCL并联电路 相量模型如图(b)所示。等效导纳
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当B=BC-BL>0时，Y>0，电流超前于电压，电路呈容性，等效为G并联电容 ； 当B=BC-BL <0时，Y<0，电压超前于电流，电路呈感性，等效为G并联电感； 当B=BC-BL =0时，Y=0，电压与电流同相，电路呈电阻性，等效为G 。
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电流三角形如下： 容性BC>BL 感性BC<BL Y
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例12 求:u(t),iR(t),iL(t),iC(t)。已知:
解 相量模型如图(b)。等效导纳： 求相量电压：
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电流相量 时间表达式
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相量图如图(c)所示。从中看出各电压电流的相量关系，例如端口电流的相位超前于端口电压相位36
相量图如图(c)所示。从中看出各电压电流的相量关系，例如端口电流的相位超前于端口电压相位36.9°，RLC并联单口网络的端口特性等效于一个电阻与电容的并联，该单口网络具有电容性
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7－5 正弦稳态的相量分析 相量法分析正弦稳态的主要步骤： 一 画电路的相量模型 1，将时域模型中各正弦量用相应的相量表示在电路图上。
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2，时域模型中RLC元件的参数，用相应的阻抗(或导纳)表示。
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二 根据KCL、KVL和元件VCR相量形式，及一般分析方法列电路方程，求解响应的相量表达式。
三 写出相应的时间表达式。
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正弦稳态电路分析方法 相量形式的基尔霍夫定律和欧姆定律与电阻电路中同一定律的形式完全相同，其差别仅在于电压电流用相应的相量替换，电阻和电导用阻抗和导纳替换。因此，分析电阻电路的方法完全可以用到正弦稳态电路的分析中来。如：等效变换，各种一般分析法和网络定理等。
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例13 用网孔法、节点法和戴维南定理求i2(t)。已知：
+ uS - i3 i1 i2 3i3 3H 0.5F 2 1 3 解：相量模型如图(b)所示，
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1、网孔分析 设网孔电流如右图，直接列出网孔方程 代入 得方程 解得
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2、节点分析 列出节点电压方程 代入 解得
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3 戴维南定理求 (1)由图(c)电路求端口的开路电压。列回路方程： 解得
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(2) 加流求压法，求图(d)输出阻抗Zo。
由(1)、(2)得 代入式(3)得 由图(e)得
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例14 已知图(a)中， 求图(b)中 时， 无源 2 2‘ 1‘ 1 + - 无源 2 2‘ 1‘ 1 + - (b) (a) 解：利用迭加定理、线性、互易定理
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由互易形式二，得： 无源 2 2‘ 1‘ 1 + - (c) 由线性，得图(b) 中 单独作用时 ： 由叠加得图(b) 中 和 共同作用时 ：
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例15 试求电流i1(t)。已知： 解：相量模型如图(b)所示，其中
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法1： 支路分析 列图(b)相量模型的KCL和KVL方程 解得： 时间表达式
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法2：网孔分析 设网孔电流如图(b)所示列出网孔电流方程 解得 时间表达式
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法3：节点分析 用导纳参数的相量模型如图所示，其中 参考节点如图，直接列出节点电压方程 解得
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法4：叠加定理 两个独立电源单独作用的电路如下图 分别求电流相量，然后相加得电流相量
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法5：戴维南定理 先求连接电感的网络的戴维南等效电路 (1) 断开电感支路得图(a)电路，求端口开路电压
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(2) 将图(a)电路中独立电源置零，得图(b)电路，求单口网络的输出阻抗
得图(c)电路，求电流
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例16 试求图(a)所示单口网络在=1rad/s和=2rad/s时的等效导纳。
解：由图(b)和(d)相量模型可得等效导纳
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例17 求图(a)的戴维南和诺顿等效电路。 解：开路电压: 将电流源置零，加流求压法求输出阻抗 短路电流： 戴维南和诺顿等效电路如图(b)和(c)。
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作业14：p219 7-2 7-4 7-5(3) 7-6(2)(4) 7-7
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作业15：P. 220 7-10 7-11 7-12 7-13
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P. 220 7-15(a) 7-16 7-17 7-19 (画相量图即可) 7-22(a) 7-23
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