电工技术 第三章 正弦交流电路 本章主要介绍正弦交流电路的一些基本概念，提出适应于分析正弦稳态电路的相量法，并应用相量法分析简单的正弦稳态电路，介绍正弦交流电路的功率及提高功率因数的意义和方法，重点讨论正弦交流电路的分析及计算。

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1 电工技术 第三章 正弦交流电路 本章主要介绍正弦交流电路的一些基本概念，提出适应于分析正弦稳态电路的相量法，并应用相量法分析简单的正弦稳态电路，介绍正弦交流电路的功率及提高功率因数的意义和方法，重点讨论正弦交流电路的分析及计算。

2 3.1 正弦交流电的基本概念 电工技术 3.1.1 认识正弦交流电
电流或电压的大小和方向随时间按正弦规律变化，称为正弦交流电或正弦量，其相关的电路称为正弦交流电路。目前在生产和生活等各方面使用的电能绝大部分为正弦交流电，即使是需要直流电的场合，也往往是将交流电转换成直流电使用，所以各用电负载组成的电路基本上都是正弦交流电路。白炽灯、开关、电源和导线组成一个正弦交流电路；电风扇内部的电动机以及各元件和电源组成一个交流电路；一个家庭的各种用电设备组合成一个比较复杂的交流电路，甚至一个企业、一个地区的用电负荷也可以看作是一个交流电路。 在电工技术中，大小和方向随时间不变化的电压、电流称为直流电，如图3-1（a）所示。大小和方向随时间变化的电压、电流称为交流电。正弦交流电是周期交流电的基本形式如图3-1（b）所示。大小和方向随时间不按正弦规律变化的交流电，统称为非正弦交流电，如图3-1（c）所示，非正弦的周期波形可以分解为无穷多个频率为整数倍的正弦波。

3 电工技术 （a） （b） （c） 图3-1直流电和交流电波形图 为了区别交流电和直流电，直流电的物理量用大写字母表示，如E、I、U等。交流电的物理量用小写字母表示，如e、i、u等。直流电路中的一些基本定律和分析方法虽然也适用于正弦交流电路，但由于正弦交流电路中的电压、电流和电动势都是正弦量，因此其计算方法与直流电路又有很大的区别。

4 电工技术 3.1.2 正弦量的三要素 正弦交流电流的波形如图3-2所示，其表达式为： （3-1） 图3-2 单相正弦交流电流波形图

5 电工技术 i为正弦交流电流的瞬时值，它随时间不断地变化。 Im为电流的最大值，也称幅值。Im、Em分别表示正弦电流、正弦电动势的最大值。
但在实际应用中，常用有效值表明正弦交流量的大小，交流测量仪表所指示的读数、交流电气设备铭牌上的额定值都是指有效值。 其书写符号用大写字母表示，如U、I、E，有效值和最大值的关系为： （3-2） （3-3） （3-4）

6 电工技术 对于生产和生活中使用的工频交流电，其电压的有效值为220V，我国的家用电器使用的电压都为这个数值。
ω为正弦交流电的角频率，它表示正弦交流电单位时间变化的角度，是衡量交流电变化快慢的物理量，工频交流电的ω=314 rad/S（弧度/秒）。 但实际应用中常用周期T和频率f表明交流电变化的快慢。 周期T表示交流电变化一个周期需要的时间；频率f表示交流电单位时间内变化的次数。 周期T和频率f与角频率之间的关系为： （3-5） （3-6）

7 电工技术 我国电力系统使用的交流电为工频交流电，周期T=0.02S，f=50HZ，美国为60HZ。因为正弦交流电的频率远远高于人的眼睛能够感觉到的频率，所以，对于日光灯等用电设备，我们感觉不出其亮度的变化。 为正弦交流电的初相角，它确定t=0时交流量的大小，通常在| | 的主值范围内取值。 有效值、频率、初相称为正弦量的三要素。正弦量的三要素是正弦量之间进行比较和区分的依据。 [例3.1] 某正弦电压的最大值Um=310V，初相 ；某正弦电流的最大值 ，初相 。它们的频率均为50HZ。试分别写出电压和电流的瞬时值表达式？

8 电工技术 解：由 电压的瞬时值表达式为 电流的瞬时值表达式为

9 电工技术 3.1.3 正弦量的相位差 线性电路中，如果全部激励都是同一频率的正弦量，则电路中的响应一定是同一频率的正弦量。因此，在正弦交流电路中常常遇到同频率的正弦量，设任意两个同频率的正弦量 两个同频率正弦量的相位之差称为相位差，用表示，相位差的取值范围通常是：| | 。它反映了这两个正弦量“步调”上的关系。

10 电工技术 图3-3 同频率正弦量的相位差

11 电工技术 若 =0，即 = ，表明u与i同相。如图3-3（a）
若 ＞0，即 ＞ ，这表明u的相位超前于i，或i的相位滞后于u.。如图3-3 (b) 若 ，这表明u与i反相。如图3-3（c） 若 ，这表明u与i正交。如图3-3（d） 例如已知电动势 ， 频率f=50HZ， 。则e与i之间的相位差 ，即电动势e比电流i超前 。

12 电工技术 3.1.4 正弦量的有效值 在工程技术中用瞬时值或波形图表示周期电压、电流常常是不方便的，需要用一个特定值表征周期电压、电流，这就是有效值，它是按能量等效的概念定义的。以电流为例：设两个相同电阻R，分别通入电流i和直流电流I，在一周期时间内，交流电流i和直流电流I流过同一电阻R，所产生的热量相同，那么这个直流电流的量值I就称为交流电流i的有效值。根据有效值的定义有： 则推导出 ＝ （3-7） 类似地，正弦电压有效值与振幅间的关系为 （3-8） 正弦量的有效值用大写英文字母I、U、E表示,分别等于各自最大值的 倍。

13 电工技术 [例3.2] 设电路中电流 ，已知接在电路中 的安培表读数为1.3A，求t=0时i的瞬时值。
[例3.2] 设电路中电流 ，已知接在电路中 的安培表读数为1.3A，求t=0时i的瞬时值。 解：已知电流有效值I=1.3A，故最大值 A t=0时，电流的瞬时值 在工程上，一般所说的正弦电压、电流的大小都是指有效值。例如交流测量仪表所指示的读数、交流电气设备铭牌上的额定值都是指有效值。但并非在一切场合都用有效值来表征正弦量的大小。例如，在确定各种交流电气设备的耐压值时，就应按电压的最大值来考虑。

14 3.2 正弦交流电的相量表示 电工技术 3.2.1 复数及其运算 假设A为复数，则 A=a+jb （3-10）
其中a为复数A的实部，b为复数A的虚部，式（3-2）为复数A的直角坐标形式（代数形式） 图3-4复数在复平面的表示方法 复数A还可用复平面上的有向线段来表示，如图3-4所示，其中|A|表示复数A的模， 为复数A的辐角。

15 （3-11） 电工技术 式中 ， （3-12） 由欧拉公式 （3-13） 式（3-11）可进一步写为 （3-14） 或者 （3-15）
式中 ， （3-12） 由欧拉公式 （3-13） 式（3-11）可进一步写为 （3-14） 或者 （3-15） 因此，复数存在代数式、三角式、指数式和极坐标式四种表示形式，其中代数式常用于复数的加减运算，极坐标式常用于复数的乘除运算。

16 电工技术 3.2.2 相量 所谓相量，是表示正弦量的复数。那么，复数为什么能表示正弦量呢？
在线性电路中，如果激励是正弦量，则电路中各支路的电压和电流的稳态响应将是同频率正弦量。如果电路有多个激励都是同一频率的正弦量，根据叠加定律，电路全部稳态响应也将是同一频率的正弦量。因此,计算电路的稳态响应,可归结为计算各响应的幅值(或有效值)和初相。也就是说，在正弦稳态电路分析计算中，求解正弦量的三要素可简化为求解两要素，即幅值(或有效值)和初相。而复数也有两要素，即模和辐角，其与正弦量的两要素有一一对应的关系。 依据欧拉公式可知 （3-16）

17 电工技术 从式可以看出，复指数函数的虚部正好是正弦函数，即 （3-17）
上式中，“Im”表示复指数取虚部；该式把复数和正弦函数相联系，为用复数表示正弦函数找到了途径。 设正弦函数为 （3-18） 可以写为 （3-19） 是以正弦量的最大值为模，以初相为辐角的一个复常数，这个复常数定义为正弦量的最大值相量，记为 （3-20）

18 电工技术 式（3-20）是一个复常数，它的模正好是正弦量的最大值，辐角是正弦量的初相，这正是所需要的正弦量的两个要素。这样一个能表示正弦量的复数称为相量，用大写字母上加一点来表示。按有效值定义的相量称为有效值相量，其与最大值相量的关系为 （3-21） 任何一个正弦量通过式（3-19）这种变换都可写出对应相量。实际应用中，可以直接根据正弦量写出与之对应的相量，反之，根据相量及角频率可以写出相应的正弦量表达式。 上述与正弦量对应的复指数函数 在复平面上可用旋转相量来表示。其中最大值相量 称为旋转相量的复振幅， ，它是一个模为1，辐角为 的复数，随时间变化而以角频率 不断逆时针旋转的因子，故 称为旋转相量。

19 电工技术 如图（3-5）所示，旋转相量 任一瞬时在虚轴上的投影，就是该正弦量u在该瞬时的数值。
图3-5正弦量与旋转相量 [例3.3] 已知电压相量 和电流相量 ，f=50Hz，求其所表示的正弦电压u和电流i。

20 电工技术 解：题中 相量的模为有效值，则其幅值为 角频率 故
解：题中 相量的模为有效值，则其幅值为 角频率 故 值得注意的是：正弦量是随时间t变化的实数，而相量是不随时间变化的复常数，两者是对应关系而不是相等关系。

21 电工技术 3.2.3 相量图 作为一个复数，相量可以在复平面上用有向线段表示，有向线段的长度表示正弦量的有效值，有向线段与实轴的夹角表示正弦量的初相。此图称为相量图，如图所示，图3-6中画出了表示电流、和电压相量的相量图。在相量图上能够清晰地看出各同频率正弦量的大小和相位关系。相量图在正弦交流电路分析中很有用处，常常用它表示交流电路中各电量之间的关系，还可以通过它进行各相量的运算。相量在相量图上做加减运算的方法类似于复数在复平面上的加减运算。 图3-6 相量图

22 电工技术 [例3-4] 用相量图表示正弦交流电流 A。
解：选定相量长度为 ，与水平方向夹角为 ，以314rad/s的角速度逆时针旋转，可得相量图，如图3-7所示。 图3-7

23 电工技术 [例3.5] 正弦电压 ， ；试求u1 +u2与u1-u2。 解：（1）根据正弦电压瞬时值，依次画出 与 的相量，如图3-8所示。
解：（1）根据正弦电压瞬时值，依次画出 与 的相量，如图3-8所示。 图3-8 （2）按平行四边形法则求合成相量 ，

24 电工技术 由图上可看出 超前 ，且Um=311 落后 ，且 =311 所以
落后 ，且 =311 所以 由此可见，相量图可以直观地显示各相量之间地关系，并可用来辅助电路地分析计算。在相量图上，除了按比例反映各相量的模以外，最重要的是根据各相量的相位相对地确定各相量在图上地位置。

25 电工技术 3.3 正弦交流电路中的 电阻、电感和电容 最简单的交流电路是由电阻、电感、电容单个电路元件组成的，这些电路元件仅由R、L、C三个参数中的一个来表征其特性，故称这种电路为单一参数电路元件的交流电路。在单一频率的正弦稳态电路中，这些元件的电压、电流都是同频率的正弦量。复杂的交流电路可以认为是由单一参数电路元件组合而成的。为了借助“相量”分析正弦稳态电路，下面分别讨论R、L、C元件VCR的相量形式。

26 电工技术 3.3.1 纯电阻电路 图3-8所示为仅有电阻参数的交流电路。图3-8（a）中标出了电流、电压的参考方向。
(a)电路图 (b)相量模型 (c)相量图 图3-8电阻中正弦电流和电压的关系

27 电工技术 设 ， 根据欧姆定律 （3-22） 即 （3-23） 由此可知，通过电阻中的电流i与它的端电压u是同频率、同相位的两个正弦量。可得电阻电路的相量模型及电压电流相量图，如图3-8（b）（c）所示。 由式（3-23）得到其相量关系式为 （3-24） 式（3-24）是电阻电路中欧姆定律的相量形式。它既表达了电压与电流有效值之间的关系为U＝RI，又表明电压u与电流i同相位。

28 电工技术 3.3.2 纯电感电路 图3-9所示为仅有电感参数的交流电路。图3-9（a）中标出了电流、电压的参考方向。
(a)电路图 (b)相量模型 (c)相量图 图3-9 电感中正弦电流和电压的关系

29 电工技术 电感元件时域形式的电压电流关系式为 （3-25） 设 ， 代入式（2-25），则 （3-26） 即 （3-27）
设 ， 代入式（2-25），则 （3-26） 即 （3-27） 由式（3-27）可得到其相量关系式为 （3-28） 由此得到，电感电路的相量模型及电压电流相量图，如图3-9（b）（c）所示。

30 电工技术 结论： （1）电感元件电压电流大小关系为 （2）电感元件电压电流相位关系为 即电压相量超前于电流相量
式中 ，XL称为电感电抗，简称感抗，单位是欧姆（Ω），与频率成正比，所以电感元件对高频电流有较大的阻力，对低频电流阻力较小。在直流电路中，电容元件相当于短路。在实际工作中常常利用电感元件的这一特性，例如在无线设备中的高频扼流圈和在滤波电路中的电感线圈。

31 电工技术 3.3.3 电容电路 图3-10所示为仅有电感参数的交流电路。图3-10（a）中标出了电流、电压的参考方向。
(a)电路图 (b)相量模型 (c)相量图 图3-10电容中正弦电流和电压的关系

32 电工技术 电容元件时域形式的电压电流关系式为 （3-29） 令 ， ，将其代入式（3-29）中，则 （3-30） 即 （3-31）
令 ， ，将其代入式（3-29）中，则 （3-30） 即 （3-31） （3-32） 由此得到，电容电路的相量模型及电压电流相量图，如图3-10（b）（c）所示。

33 电工技术 结论： （1）电容元件电压电流大小关系为 （2）电感元件电压电流相位关系为 即电流相量超前于电压相量
下面讨论 的含义。 反映了电容对正弦电流的阻碍作用，因此将其称为电容电抗，简称容抗，用XC表示。容抗XC的单位是欧姆（Ω），大小由ω和C决定，与频率成反比。电容元件对低频电流阻碍作用小，对高频电流阻碍作用小。电子线路中的旁路电容就是利用电容的这一特性。在直流电路中，电容元件相当于开路。

34 电工技术 [例3.6] 已知一线圈的电感L=1H，电阻略去不计，现把它接到220V工频电源上。试求（1）感抗；（2）通过线圈的电流并画出相量图。 解：（1）先计算电感的感抗 （2）令电压的初相为零 则 A （3）相量图如图3-11所示，可见 电流的相位滞后电压相位 。为 了简便，相量图未画复平面的实 轴和虚轴。今后，画相量图均可 按此画法。 图3-11电感的电压电流相量图

35 电工技术 3.3.4 KCL和KVL的相量形式 上面讨论了正弦交流电路中单一参数电路元件（R、L、C）的伏安关系的相量形式，下面讨论正弦交流电路中基尔霍夫定律的相量形式。 （1）KCL的相量形式 在正弦交流电路中，对于任意时刻的任意节点，KCL的表达式为： 根据相量运算的规则，有： （3-33） 式（3-33）称为KCL的相量形式。它可以表述为：在正弦交流电路中，对于任意时刻的任意节点，流入或流出该节点的各支路电流相量的代数和恒等于零。

36 电工技术 （2）KVL的相量形式 在正弦交流电路中，对于任意时刻的任意回路，KVL的表达式为： 根据相量运算的规则，有： （3-34）
相量图解析法是分析和求解正弦交流电路稳态响应的一种有效工具，应用相量法可以把正弦量的微分和积分运算变为相量的代数运算，从而使正弦稳态电路的分析和计算简化。通常把电路元件上具有相同的电流或电压相量选为参考相量，根据KCL和KVL定理进行各相量运算。对于串联电路分析计算，应选取支路电流相量为参考相量，对于并联电路分析计算，应选取并联支路电压相量为参考相量。

37 电工技术 [例3.7] 如图3-12（a）所示电路中, 已知电流表A1、A2都是10 A, 求电路中电流表A的读数。 图3-12

38 电工技术 解法一: 用相量解析法。设端电压 选定电流的参考方向如图3-12 (a)所示, 则 电流表A的读数为 。

39 电工技术 解法二: 用相量图求解。设端电压 ，选其为参考相量 则根据R、L元件的VCR特性，可以依次画出并联支路电流相量 ，
解法二: 用相量图求解。设端电压 ，选其为参考相量 则根据R、L元件的VCR特性，可以依次画出并联支路电流相量 ， ,画出电路的电压相量图如图3-12（b）所示 则 所以电流表A的读数为 显然，

40 [例3.8] 如图3-13（a）所示电路中， 电压表V1、V2的读数都是50V，试分别求各电路中V表的读数。
电工技术 [例3.8] 如图3-13（a）所示电路中， 电压表V1、V2的读数都是50V，试分别求各电路中V表的读数。 图3-13

41 电工技术 解：用相量图解析法。设支路电流 ，选其为参考相量 则根据R、L元件的VCR特性，可以依次画出元件电压相量 ，
解：用相量图解析法。设支路电流 ，选其为参考相量 则根据R、L元件的VCR特性，可以依次画出元件电压相量 ， , 画出电路的电压相量图如图3-13（b）所示 则 所以电压表V的读数为 显然，

42 电工技术 3.4 电阻、电感、电容的串联及阻抗 3.4.1 阻抗 (a)无源二端网络 (b)等效电路图 图3-14

43 电工技术 图3-14（a）所示的无源二端网络，其端口电压相量与电流相量之比定义为该网络的阻抗Z，即 （3-35）
＝ （3-36） 根据阻抗的定义，可知电阻、电感、电容的阻抗分别为： （3-37）

44 电工技术 3.4.2 阻抗法分析RLC串联电路 电阻、电感、电容元件（简称RLC）串联交流电路如图3-15所示。当电路在正弦电压u(t)的激励下，各元件上有正弦电流i(t)通过，电流与各电压的参考方向如图中所示。由于电路中的电流及电压都是同频率的正弦量。因而它们在电路中可以用相量表示，而电感和电容可以用感抗和容抗表示，如图3-15（b）所示。 图3-15

45 电工技术 下面用相量法分析RLC串联电路。 （1）电压与电流的关系 根据KVL电压定律可列出 用相量表示同频率正弦量的代数运算，故得
已知： 、 、 在分析正弦交流电路时，通常把元件上具有相同的电流或电压相量称为公共相量。为了分析方便，一般将公共相量选为参考相量。此处由于是串联电路，通过R、L、C元件中的正弦电流 相同，故选电流 为参考相量，即 。 则有 （3-38）

46 电工技术 （2）电压三角形和阻抗三角形 由式（3-38）得 （3-39）
复阻抗模 ，显然|Z|、R、(XL-XC)三者之间的关系也可构成一个直角三角形，称为阻抗三角形，如图3-16（a）所示。 为了便于分析，假定XL>XC，，相量图中电压相量 组成相量直角三角形，称为电压三角形，如图3-16（b）所示。 显然，电压三角形是阻抗三角形各边乘以 而得，所以这两个三角形是相似三角形。但要注意，电压三角形的各边都是相量，即为相量三角形，而阻抗三角形的各边不是相量。电压与电流的相位差 就是复阻抗的阻抗角。

47 电工技术 (a)阻抗三角形 (b)电压三角形 图3-16

48 电工技术 （3）电路的性质 图3-17 RLC串联电路的性质判断

49 电工技术 XL＞XC时，则UL＞UC，此时 ＞0，表明电流 比电压 滞后 角，电感的作用大于电容的作用，称这种电路为电感性电路，相量图如图3-17（a）所示。 XL＜XC时，UL＜UC，此时 ＜0，表明电流 比电压 超前 角，电容的作用大于电感的作用，故称这种电路为电容性电路, 相量图如图3-17（b）所示。 时，则 ，此时 ，表明电流 与电压 同相位，电感的作用和电容的作用互相抵消，故称这种电路为电阻性电路，也称谐振电路，相量图如图3-17（c）所示。这时电路中的阻抗等于电阻值， ；外加电压 与电阻上的电压 相等， 。 实际应用中的一个电动机电路或一个日光灯电路可以看作是电阻元件和电感元件串联而成的电路模型，为R、L串联电路。

50 电工技术 如图3-18所示。分析计算R、L串联电路时，可以将它看作是R、L、C串联电路的特殊情况进行处理，将与电容相关的量去掉（令 ， ）即可。 图3-18 R、L串联电路

51 电工技术 因此，其相量图为： 电压的大小和初相角分别为： ， （3-40） 电路阻抗为： （3-41）
图3-19 R、L串联电路相量图 电压的大小和初相角分别为： ， （3-40） 电路阻抗为： （3-41） 采用同样的方法可以分析R、C串联电路和L、C串联电路。

52 电工技术 解： ， 以为参考相量，作相量图如图3-20（b）所示。
[例3.9] 用电感降压来调速的电风扇的等效电路如图3-20 (a)所示, 已知R=190Ω, XL1=260Ω, 电源电压U=220V, f=50Hz, 要使U2=180V, 问串联的电感LX应为多少？ 图3-20 解： ， 以为参考相量，作相量图如图3-20（b）所示。

53 电工技术 则支路电流为 电阻电压为 电感电压为 由相量图 计算得 则

54 电工技术 [例3.10] 已知某继电器的电阻为2KΩ，电感为43.3H。接在380V的工频交流电源上。试过线圈的电流及电流与外加电压的相位差。 解：这是RL串联电路，可看成是 的RLC串联电路 电路的感抗 阻抗角 电路的复阻抗 以外加电压 为参考相量，即令 则 通过线圈的电流是27.7mA，电流落后电压81.63o的相位角。

55 3.5 电阻、电感、电容的并联及导纳 电工技术 3.5.1 导纳
图3-14所示的无源二端网络，其端口电流相量与电压相量之比定义为该网络的导纳Y，即 （3-42） 导纳Y是一个复数，也称为复导纳，可表示为： ＝ （3-43） 其中，实数G为阻抗的电阻分量，B为阻抗的电抗分量，它们的单位都是西门子（S），|Y|称为导纳模， 称为导纳角。 由导纳的定义可知，导纳为阻抗的倒数，即 （3-44） 电阻、电感、电容的阻抗分别为： （3-45）

56 电工技术 3.5.2 导纳法分析RLC并联电路 电阻、电感、电容元件（简称RLC）并联交流电路如图3-21所示。当电路在正弦电压u(t)的激励下，各元件上有正弦电流i(t)通过，电流与各电压的参考方向如图所示。 图3-21

57 电工技术 各并联支路导纳为 （3-46） 由式（3-46）则各并联支路电流为 （3-47）

58 电工技术 由KCL得 （3-48） 其中G为电阻支路的“电导”；BL为电感支路的“感纳”；BC为电容支路的“容纳”。B=BC-BL称为“电纳”, 利用电纳也可判断电路的性质:： (1) B>0, 即BC>BL。这时IL<IC, 总电流越前于端电压, 电路呈电容性。 (2) B<0, 即BC<BL。这时IL>IC, 总电流滞后于端电压, 电路呈电感性。 (3) B=0, 即BC=BL。这时IL=IC, 总电流与端电压同相, 电路呈电阻性。 实际应用中，电感性负载与电容并联是最常见的并联电路，如图3-22所示。

59 电工技术 图3-22 电感性负载与电容并联电路 令 ， 以端电压为参考相量，画出各物理量的相量图，如图3-23所示。

60 电工技术 图3-23 电感性负载与电容并联电路相量图

61 电工技术 由图可知： （3-49） （3-50） （3-51） 则电阻和电感两端正电压的表达式为： （3-52） （3-53）

62 电工技术 [例3.11] 如图所示RLC并联电路中。已知R=5Ω，L=5μH，C=0.4μF，电压有效值U=10V，ω=314rad/s，求总电流i，并说明电路的性质。 解： 由题意得 各并联支路电流 总电流 则 因为电流的相位超前电压，所以电路呈容性。

63 电工技术 解： ，则 [例3.12] 已知图3-24所示电路中 UR= UL= 10V，R= 10 ，XC= 10 ，求 IS 。 A
解： ，则 A 电流源电流为 A 所以 A

64 3.6 正弦交流电路中的功率 电工技术 正弦稳态电路的分析中，除计算电流和电压之外，功率的计算具有重要意义。 3.6.1 瞬时功率
瞬时功率 正弦交流电路的负载一般可等效为一无源二端网络，如图3-25所示。 图3-25无源二端网络 其端电压、电流都是随时间变化的正弦量，瞬时功率指电压、电流瞬时值的乘积，用小写字母p表示。

65 电工技术 （3-54） 令： ， 则 （3-55） 由式（3-55）可知：瞬时功率有两个分量，第一个为恒定量，第二个为正弦量，其频率是电压或电流频率的两倍。 瞬时功率还可以改写为 （3-56） 式（3-56）中第一项始终大于或等于零，它是瞬时功率中不可逆的部分；第二项是瞬时功率中可逆的部分，其值正负交替，这说明能量在外施电源与二端网络之间来回交换。

66 电工技术 3.6.2 有功功率 瞬时功率是随时间变化，无实用意义。通常所说的交流电路的功率是指瞬时功率在一个周期内的平均功率，称为有功功率，用大写字母P表示。 无源二端网络的有功功率为 （3-57） 有功功率的单位为瓦（W），代表电路实际消耗的功率， 称为电路的功率因数，用 表示。 （3-58）

67 电工技术 因此， 也称为功率因数角，其数值和阻抗角相等。纯电阻元件、纯电感元件、纯电容元件的功率因数角 分别为：0、 和 。 对于纯电阻元件
因此， 也称为功率因数角，其数值和阻抗角相等。纯电阻元件、纯电感元件、纯电容元件的功率因数角 分别为：0、 和 。 对于纯电阻元件 对于纯电容元件和纯电感元件，其 ，因此有功功率为零，说明电感元件和电容元件在电路中不消耗功率。 根据能量守恒原理，无源二端网络所吸收的总有功功率应为各支路吸收的有功功率之和，而各支路只有电阻元件的有功不等于零，故无源二端网络的有功是网络中各电阻元件吸收的有功的总和。

68 电工技术 3.6.3 无功功率 无源二端网络的无功功率为 （3-59）
无功功率指能量交换的最大速率，也就是瞬时功率可逆部分的最大值。无功功率用大写字母Q表示，无功功率的单位为乏（Var）。 由上式可知，对于感性电路（ ；对于容性电路（ ；所以习惯上把电感看作“消耗无功”，而把电容看作“产生无功”。 对单一电阻、电感、电容元件的无功功率分别为：

69 电工技术 。 电路中的电感、电容等储能元件不消耗有功功率，它们只与电源进行能量交换。根据能量守恒原理，无源二端网络的无功是网络中各储能元件无功功率的总和。 必须指出，“无功”的含义是交换，而不是消耗，不能把“无功”误解为无用。在生产实践中，无功功率占有很重要的地位，例如，具有电感的变压器、电动机等，都是靠电磁转换进行工作的，如果没有无功功率的存在，这些设备是不能工作的。

70 电工技术 3.6.4 视在功率 无源二端网络的端口电压有效值与电流有效值的乘积称为电路的视在功率，它表示电气设备的额定容量，用大写字母S表示，视在功率的单位为伏安（V•A）。 （3-60） 有功功率P、无功功率Q、 视在功率S在数值上满足直角 三角形关系，称功率三角形， 如图3-26所示。 图3-26 功率三角形

71 电工技术 一般电气设备，如交流发电机、变压器等是按照额定电压和额定电流设计的，把额定电压UN和额定电流IN的乘积，即额定视在功率用来表示电气设备的额定容量，它说明该电气设备允许提供的最大有功功率。在工作时，实际提供多少有功功率还要由电路的功率因数决定。

72 电工技术 3.7 功率因数的提高 在一定的电压和电流的情况下，电路获得的有功功率取决于电压和电流的有效值及功率因数的大小，而的大小只决定于负载本身的性质。工程上常用的很多负载都是电感性的，例如交流异步电动机、交流电焊机、感性加热炉以及日光灯等都属于电感性负载，它们的功率因数都是比较低的。 3.7.1 功率因数低对电路的不良影响 （1）功率因数低使电源的容量得不到充分利用。 电路中的有功功率

73 电工技术 若电源的额定电压为UN，额定电流为IN，额定容量为SN。则额定输出功率 可见，额定输出功率的大小取决于负载的性质即功率因数 的大小。 例如：供电电源 ，能带1000盏额定功率20W的白炽灯（ ）；若负载改为额定功率为20W的荧光灯（ ），就只能带400盏。可见，功率因数低使电源的供电潜力未得到充分发挥，电源的容量未得到充分利用。 （2）功率因数低使供电线路上的功率损耗增加。 在电源电压一定的情况下，相同功率的负载，功率因数越低电流越大，而供电线路上有一定电阻值，故电流愈大，功率损耗愈大。 例220V，20W， 的白炽灯电流为0.09A； 而220V，20W， 的荧光灯电流为0.23A； 显然荧光灯上的电流大于白炽灯上的电流，荧光灯线路上的功率损耗要增加。

74 电工技术 3.7.2 提高功率因数的方法 提高功率因数的方法除了提高用电设备本身的功率因数，例如正确选用异步电动机的容量，减少轻载和空载外，主要采用在感性负载两端并联电容器的方法对无功功率进行补偿。 图3-28 感性负载并联电容器提高功率因数

75 电工技术 电路如图3-28（a）所示，设负载的端电压为 ，在未并联电容前，感性负载中的电流 ，功率因数为 （3-62）
当并联电容后， 不变，而电容支路有电流 （3-63） 故线路电流 （3-64）

76 电工技术 相量图如图3-28（b）所示。从相量图上可看出，感性负载的两端并联适当的电容，可使电压与电流的相位差 减小，功率因数提高，同时线路电流I1由减小为I。这时部分能量互换发生在感性负载与电容之间，因而使电源设备的容量得到充分利用，线路上的能耗和压降减小。 对于感性负载，只要并联恰当的电容器就可以提高功率因数。但要强调的是，在并联电容器后，感性负载本身功率因数并没有提高，所提高的是包括电容器在内的整个电路的功率因数。从理论上讲，将负载的 提高到1为最好，但无此必要，一般通过电容器补偿提高到0.9左右就可以了。因为 达到0.9以后再提高，经济效益的增加并不十分显著，但所需电容器的电容量增大，反而增加了设备投资。