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學童的小數概念研究 劉曼麗 國立屏東教育大學
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小數概念?
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小數基本概念分析圖
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圖像 教具模型 符號 真實情境 語言 Lesh的表徵轉換模式(1987)
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小數表徵 (1-1) 請畫出4.3個蔥油餅 (1-2) 一盒雞蛋有10顆，請畫出4.3盒雞蛋
(1-3) 一袋糖果有20顆，請畫出4.3袋糖果
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小數乘法概念 (4-1) 如果1公斤的糖果60元，天線寶寶買了3公斤，請問他要付多少元?
(4-2) 如果1公斤的糖果60元，天線寶寶買了0.3公斤，請問他要付多少元?
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小數除法概念 (5-1) 如果3公斤的糖果60元，天線寶寶買了1公斤，請問他要付多少元?
(5-2) 如果0.3公斤的糖果60元，天線寶寶買了1公斤，請問他要付多少元?
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小數乘除計算 (3-1) 0.18 × 1.5 = ? (3-2) 6.13 ÷ 0.3 = ( )……( ) 商算到小數第一位，並求餘數
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小數和整數的比較（改自Resnick et al . , 1989） 小數 整數
＋ (類似) － (不同) A. 各數碼所在之位（column） 1.從左到右，位值遞減 2.每一位其值都是右邊的10倍 3.「0」表示空位 4.一個數的最右邊增加0時，其 值不變 5.從小數點往右，越遠其值遠小 A.各數碼所在之位（column） 4.一個數的最左邊增加0時，其 5.從小數點往左，越遠其值遠大 ＋ － B. 位名（column names） 1.從十分位開始 2.位名順序是從左到右（十分位， 百分位，…）；而讀的順序也是從左到右（十分位，百分位，…） 1.從個位開始 2.位名順序是從右到左（個 位，十位，百位，…）；而讀的順序卻是從左到右（…，百位，十位，個位） C. 讀的規則（reading rules） 簡讀（位名不需讀出） 正讀（位名需讀出）
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小數和分數的比較（改自Resnick et al . , 1989） 小數 分數
＋ (類似) － (不同) A. 小數數值（decimal values） 1.表示0與1之間的一個值 2.整體被分成越多等分，每一分的數值就越小 3.在0與1之間有無限個小數存在 A. 分數數值（fraction values） 3.在0與1之間有無限個分數存在 ＋ B. 小數符號（decimal notation） 1.一個單位被等分成多少等分是隱 含在位數中 2.佔多少等分是由小數點後的部分顯示 3.整體被分成10的冪次方等分，才能以小數表示 B. 分數符號（fraction notation） 1.一個單位被等分成多少等分是由分母顯示 2.佔多少等分是由分子顯示 3.整體分成任何等分，都能以分數表示 －
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小數概念關係圖
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國小學童的小數概念
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國科會研究計畫 國小學童小數與小數運算概念之調查研究（NSC90-2521-S- 153-003）
樣本：四年級898人、五年級962人、六年級990人 （全國分層隨機取樣而來） 研究工具：A卷（G45）、B卷（G6） 資料收集：筆試、訪談 九年一貫數學領域分數與小數能力指標的詮釋: 子計畫三－小數（NSC S ） 樣本：三年級291人、四年級352人、五年級764人、六年級543人 （由北部、中部、南部的城鄉學校中選取而來） 研究工具：A卷（G34）、B卷（G5）、C卷（G6） 資料收集：筆試
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學童對純小數的理解
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試題1： 表示一張白紙，小明想要塗黑0.2張白紙，請先從 ㄅ、ㄆ、ㄇ、ㄈ四種圖中選出一種適當的圖，再塗黑0.2張白紙。
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1.學生選擇ㄅ、ㄆ、ㄇ或ㄈ圖後，塗其中的2張紙或四張圖中皆塗2張紙→將0.2的意義視為2個單位
答題結果： 1.學生選擇ㄅ、ㄆ、ㄇ或ㄈ圖後，塗其中的2張紙或四張圖中皆塗2張紙→將0.2的意義視為2個單位 年級 ㄅ圖 塗2張 ㄆ圖 ㄇ圖 ㄈ圖 ㄅㄆㄇㄈ圖皆塗2張 合計 三 18.2 4.5 0.7 2.4 26.5 四 15.9 0.9 0.0 18.6 2.學生選擇ㄆ、ㄇ圖或ㄈ圖後，塗其中的2小格 →將0.2的意義視為從一個單位中取出2等分，若能考量需將此單位作十等分割，便會答對。 年級 ㄆ圖 塗2格 ㄇ圖 合計 ㄈ圖 三 8.9 2.4 11.3 *38.5 四 13.6 9.9 23.5 *39.2
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4.學生選擇ㄆ圖後塗1格→將0.2的意義視為2等分中的一分
3.學生同時在ㄅ圖塗2分（指2張），也在ㄆ、ㄇ和ㄈ圖塗2分（指2格） →將0.2的意義視為2等分，即認為不論是分成幾等分，只要取其中的2等分就是0.2 年級 ㄅ塗2張 ㄆㄇㄈ皆塗2格 三 5.2 四 8.0 4.學生選擇ㄆ圖後塗1格→將0.2的意義視為2等分中的一分 年級 ㄆ圖 塗1格 三 0.7 四 5.1
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試題2： 表示一盒雞蛋，裡面有10顆，下圖有10盒雞蛋。媽媽用了0.8盒雞蛋，請將媽媽用的雞蛋塗黑：
試題2： 表示一盒雞蛋，裡面有10顆，下圖有10盒雞蛋。媽媽用了0.8盒雞蛋，請將媽媽用的雞蛋塗黑： 答題結果： 年級 8顆 8盒 18顆 其他錯誤答案 空白 三 *71.1 19.2 0.3 5.8 3.4 四 *89.5 8.0 0.0 1.1 1.4
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試題3： 表示一袋糖果，裡面有20顆，下圖有10袋糖果。小新吃了0.3袋糖果，請將小新吃的糖果塗黑：
試題3： 表示一袋糖果，裡面有20顆，下圖有10袋糖果。小新吃了0.3袋糖果，請將小新吃的糖果塗黑： 答題結果： 年級 6顆 3顆 3袋 6袋 13顆 其他錯誤答案 空白 三 *10.3 55.3 21.0 0.3 1.0 4.8 7.2 四 *4.8 82.1 7.7 0.0 0.6 2.3 2.6
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學童對帶小數的理解
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先畫4個蔥油餅，再畫1個蔥油餅，將它等分成3份，取其中的1份。
２（ ） 表示一個蔥油餅，請問4.3個蔥油餅要怎樣表示？ 先畫4個蔥油餅，再畫1個蔥油餅，將它等分成3份，取其中的1份。 (5.6%、8.5%、10.9%) 畫出4個蔥油餅，取其中的3個。 (8.6%、7.6%、5.2%) 先畫4個蔥油餅後，點上小數點，再畫3個蔥油餅 (10.9%、7.7%、3.8%) 將一個蔥油餅等分成4份，取其中的3份。 (12.5%、9.8%、7.8%) 先畫4個蔥油餅，再畫1個蔥油餅，將它等分成10份，取其中的3份。 (55.1%、62.3%、68.4%) 以上都不對，我覺得應該畫成： (0.7%、0.3%、0.4%)
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（6.8 % 、3.1 % 、2.2 % ） （35.9 % 、37.1 % 、32.5 % ） （4.6 % 、3.6 % 、2.0 % ） （45.0 % 、50.3 % 、59.4 % ） （4.7% 、3.3 % 、1.6 % ） （1.0 % 、0.3 % 、0.1 % ）
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‧ 3（ ）一盒雞蛋 有10顆，請問5.4盒雞蛋要怎樣表示？ 將一盒雞蛋分成5等份，取其中的4份。 取5盒雞蛋和4顆雞蛋。
3（ ）一盒雞蛋 有10顆，請問5.4盒雞蛋要怎樣表示？ 將一盒雞蛋分成5等份，取其中的4份。 1 (8.5%、7.1%、4.7%) 取5盒雞蛋和4顆雞蛋。 2 (69.9%、77.5%、84.9%) 取5盒雞蛋，點上小數點，再取4盒雞蛋。 (8.1%、5.0%、3.9%) 4 ‧ 5顆雞蛋，取其中的4顆。 (4.2%、3.3%、1.1%) 5盒雞蛋，取其中的4盒。 (5.6%、5.2%、3.4%) 以上都不對，我覺得應該畫成： (0.9%、0.2%、0.5%)
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５（ ）一袋糖果 有20顆，請問5.3袋糖果要怎樣表示？
５（ ）一袋糖果 有20顆，請問5.3袋糖果要怎樣表示？ 5袋糖果，取其中的3袋。 （6.0% 、6.8 % 、5.2 % ） 取5袋糖果和3顆糖果。 （65.4 % 、63.2 % 、57.2 % ） 5顆糖果，取其中的3顆。 （3.2% 、2.3 % 、1.9 % ） 取5袋糖果和6顆糖果。 （6.3 % 、14.1 % 、27.8 % ） 取5袋糖果，點上小數點，再取3袋糖果。 （8.8 % 、5.3 % 、2.8 % ） . 將一袋糖果分成5份，取其中的3份。 （6.9% 、5.1 % 、2.2 % ） 以上都不對，我覺得應該畫成： （0.1 % 、0.6 % 、0.4 % ）
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９（ ）一盒星星巧克力 有100顆，請問5.01盒巧克力 要怎樣表示？ 畫出5盒巧克力，點上小數點，再畫出1盒巧克力。
９（ ）一盒星星巧克力 有100顆，請問5.01盒巧克力 要怎樣表示？ 畫出5盒巧克力，點上小數點，再畫出1盒巧克力。 (5.3%、5.9%、3.1%) 畫出5顆巧克力，取其中的1顆。 (1.8%、2.4%、1.3%) 將一盒巧克力分成5等份,取其中的1份。 3 (7.6%、4.3%、2.3%) 畫出5盒巧克力，取其中的1盒。 (5.7%、3.0%、3.4%) 畫出5盒巧克力和1顆巧克力。 (75.5%、77.5%、83.6%) 以上都不對，我覺得應該畫成： (0.6%、1.8%、1.7%)
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４（ ）一包巧克力 有200顆，請問4.02包要怎樣表示？ 畫出4包巧克力和4顆巧克力。 畫出4包巧克力，點上小數點，再畫出2包巧克力。
４（ ）一包巧克力 有200顆，請問4.02包要怎樣表示？ 畫出4包巧克力和4顆巧克力。 (6.7%、12.8%、19.0%) ‧ ‧‧‧ 畫出4包巧克力，點上小數點，再畫出2包巧克力。 (6.5%、5.7%、3.9%) 畫出4包巧克力和2顆巧克力。 (68.4%、65.5%、64.3%) ‧ ‧ 畫出4顆巧克力，取其中的2顆。 (2.8%、1.5%、1.8%) ‧ ‧ ‧ ‧ 將一包巧克力分成4份，取其中的2份。 (8.5%、4.1%、3.4%) 畫出4包巧克力，取其中的2包。 (2.7%、4.4%、2.8%) 以上都不對，我覺得應該畫成： (0.3%、0.3%、0.5%)
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圖像表徵答錯想法 1. a.b →a個.b個 (離散量、連續量) 2. a.b →a個和b小個(離散量)
4. a.b →a個和n等份中的b份(離散量、連續量) 5. a.b →a等份中的b份 (離散量、連續量)
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學童對小數與分數互換的理解
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小數與分數的雙向連結 （37.3%、49.2%、57.1%） （4.3 % 、24.5 % 、51.1 % ）
主要錯誤為（43.2、35.0、22.2） （4.3 % 、24.5 % 、51.1 % ） 主要錯誤為（69.6 、48.4 、26.2 ）
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答錯想法 4 5 7 9 從表面直接轉換： 4B615（M，9.7 ， 5.4） R：為什麼選7/9呢？
S：因為我是把前面的數字放在下面，後面的數字放在上面。 R：為什麼呢？ S：那個小數點就是（指7/9）中間的這一條線。 R：小數點就是分數的這一條線？ S：嗯。然後…嗯…就分開9和7，一邊是9，一邊是7。 R：那4/5用小數怎麼表示? S：跟剛才一樣。把中間的這一條線變成點，就是5.4了。 9 7 5 4
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答錯想法 4 5 7 9 認為整數部分是指全體，要放在分母；不足一是指部分，要放在分子： 4C624（L，9.7 ， 5.4） 4 5
R：那 呢？ S：五份取四份就是5.4杯。 R：為什麼五份取四份就是5.4？為什麼不是4.5？ S：全部有五份，就要寫這裡（指5）。五份裡面取四份就 不到一，所以要寫在這裡（指4）。 R：為什麼不到一要寫在這裡（指4）？ S：這裡是小數，就是不到一的部分。 9 7 5 4 5 4
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答錯想法 答錯想法 7 4 9 10 5 能從分母為10的觀點連結分數與小數，但遇到分母非10的分數時，只能回到從表面有的數字來拼湊答案。
6D427（H，9.7 ， 5.4） R：你為什麼選呢？ S：因為它（指9.7）有九，九是整數，然後這邊的點七就是 十分之七。 S：對！ R：那這一題你選的是5.4，為什麼覺得是是5.4？ S：因為是五份裡面的四份，就是5.4。 R：為什麼五份裡面的四份，就是5.4？ S：我用猜的，因為這個（指5.4）有5和4，比較像。 10 7 9 5 4
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學童對小數符號的理解
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小數符號的辨識 （55.0、55.8、50.2） 主要錯誤選項為2….0226（23.6、23.0、24.5）
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答錯想法 以「只要有點就是小數，且點可以不限一個」 做為辨識條件。
4C628（M，勾選27.17、18.40、500.00、2….0226 為小數） R：為什麼2….0226是小數？ S：因為它也有點，只要有點就是小數。
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３（ ）發票上的「18.40」是小數嗎？ 小數應該比1小，所以18.40不是小數。 因為「18.40」的18比40小，所以它不是小數。
(5%、2.2%、2.2%) ３（ ）發票上的「18.40」是小數嗎？ 小數應該比1小，所以18.40不是小數。 因為「18.40」的18比40小，所以它不是小數。 只有「 . 」才是小數，18.40不是小數。 只有「 .40 」才是小數，18.40不是小數。 是，它是小數。 (77.4%、83.3%、87.1%) (3.2%、4.7%、3.1%) (6.3%、4.5%、2.9%) (4.8%、3.2%、2.9%)
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小數的寫法和讀法 （76.2、81.6、80.1） 主要錯誤為（14.4、12.2、14.1）
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２（ ）發票上的「18.40元」應該怎麼唸呢？ 一千八百四十元 一八點四零元 一八點四十元 十八點四零元 十八點四十元
２（ ）發票上的「18.40元」應該怎麼唸呢？ 一千八百四十元 (15.4%、10.4%、6.6%) 一八點四零元 一八點四十元 十八點四零元 十八點四十元 (21.5%、24.6%、13.5%) (11.1%、7.6%、7.8%) (24.7%、32.7%、41.2%) (25.2%、22.9%、29.0%)
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小數的位名 （34.7、47.8、40.5） 主要錯誤答案為： 四 五 六 7.0 9.3 16.9
40
小數的位值 （36.7、56.4、73.7） 主要錯誤選項為： 四 五 六 9.9 10.4 2.7
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學童對小數比大小的理解
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５（ ）阿雅說「18.40元」比「18.4元」少，你覺得她說對了嗎？
４（ ）發票上的「500.00元」和「500元」有一樣多嗎？ 一樣多。 500.00元就是50000元，應該比500元多。 以上都不對，我覺得答案是 1 (58.9%、80.4%、87.2%) (8.5%、0%、0%) (28.5%、12.7%、8.4%) ５（ ）阿雅說「18.40元」比「18.4元」少，你覺得她說對了嗎？ 不對，18.40元就是1840元，18.4元就是184元， 所以18.40元應該比18.4元多。 不對，因為18.40的「40」，比18.4的「4」大， 所以18.40元比18.4元多。 不對，因為18.40＝18.4，一樣多。 對，因為小數點後面愈多個數字代表分的愈多份 ，所以越小。 以上都不對，我覺得答案是 (14.0%、5.8%、5.1%) (41.3%、64%、74.8%) (7.1%、5.3%、3.5%) (19.4%、14.1%、9.1%) (15.1%、9.0%、5.1%)
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（44.9、73.0、70.1） 主要錯誤為（39.0、14.8、14.5）(整數法則) （11.9、9.1、12.6 ）(分數法則)
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答錯想法 將小數點右邊的數字當作整數來比較 6C513（L，0.536＞0.28＞0.3） R：請問為什麼0.536最長、0.3最短？
S：因為三位數大於二位數，二位數大於一位數。 R：三位數是指哪裡？ S：小數點後面的536啊。 R：二位數呢？ S：28。 R：那一位數呢？ S：就是3呀。
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答錯想法 認為小數點右邊的位數愈多，表示分的愈多份，所以數值會愈小。 6D527（M，0.3＞0.28＞0.536）
R：請問為什麼0.3最長、0.536最短？ S：因為小數點後面愈多位的愈小。 R：為什麼小數點後面愈多位的愈小？ S：嗯…因為愈多位表示分的愈多，所以愈小。
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學童對小數稠密性的理解
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16.（ ） 在5.7和5.8 這兩個數之間有沒有小數？ （沒有 有1個 有9個 有10個 有100個 有很多個， 數不完 ）
16.（ ） 在5.7和5.8 這兩個數之間有沒有小數？ （沒有 有1個 有9個 有10個 有100個 有很多個， 數不完 ） （12.2、40.6、42.6）
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答錯的想法 看到題目所呈現的數線中，未在5.7和5.8間做任何分割，所以認為兩相鄰的數之間沒有任何小數的存在，如： 2B401（M，）
R：第16題5.7和5.8之間還有沒有其他小數？你說沒有。為 什麼不可能？ S：因為5.7和5.8這裡裡面都沒有東西了，所以沒有。
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答錯的想法 認為只有中點（5.75）這一個小數，或是覺得只 有小數點才是小數 4C607（H，）
R：你覺得在5.7和5.8之間有1個小數，那1個？ S：5.75。 6D527（M，） R：在5.7和5.8之間有1個小數，你覺得是哪一個？ S：5跟7中間有一個，5跟8中間也有一個。 R：5跟7中間有哪一個？ S：這裡有小數。 R：那裡有小數？ S：5.7的點。
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答錯的想法 認為5.7和5.8之間可再做分割，卻覺得只有9個或 10個小數 6D607（L，） R：為什麼在5.7和5.8之間有9個小數？
S：5.71到5.79。 6C616（M，） R：為什麼是10個？ S：因為有10個0.01。
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學童對小數運算的理解
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小數加減 題5-1：0.38+12=( ) 題5-2：10.73-0.5=( ) (35.0、61.7、66.8 )
題5-1： =( ) (35.0、61.7、66.8 ) (主要錯誤為靠右對齊：41.3、26.0、25.9) 題5-2： =( ) (57.2、80.2、79.6 ) (主要錯誤為靠右對齊： 15.3、4.5、7.5)
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答錯想法 學生答錯的策略主要是在直式中將被加數（被減數）和加數（減數）靠右對齊，如：
4C409（M，題5-1：0.38＋12、題5-2：10.73－0.5） (41.3、26.0、25.9) (15.3、4.5、7.5)
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小數乘法 題5-3：1.8×15=( ) 題5-4：0.18×1.5=( ) (六年級卷) (26.4、56.7、82.5)
題5-3：1.8×15=( ) (26.4、56.7、82.5) (主要為計算錯誤：49.4、27.9、9.6) 題5-4：0.18×1.5=( ) (六年級卷) (六：61.7) (主要錯誤為：積的小數點對齊被乘數的小數點 ：14.5)
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答錯想法 學生答錯的策略主要是將積的小數點對齊被乘數的小數點 ，如： 題5-3：1.8×15 R：你為什麼把小數點放在7和0中間？
S：先不要管小數點，18×15＝270，然後再把1.8的小數點對下來。 R：為什麼要把1.8小數點對下來？ S：因為是1.8有小數點。 題5-3：1.8×15 R：為什麼小數點是在7和0中間。 S：把1.8的小數點對下來。 R：為什麼要把1.8小數點對下來？ S：要對齊1.8的小數點。
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答錯想法 學生答錯的策略主要是將積的小數點對齊被乘數的小數點 ，如： 題5-4：0.18×1.5 R：你為什麼把小數點放在2和7中間。
S：先不要管小數點，18×15＝270，然後再把0.18的小數點對下來。 R：為什麼要把0.18小數點對下來？ S：嗯…我是對齊0.18的小數點。 題5-4：0.18×1.5 R：為什麼小數點在2和7中間。 S：全部的小數點都要對齊才行。
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小數除法 題5-5(六年級卷)：613÷26 =( ) 商算到小數第一位，並求餘數 題5-6(六年級卷)：61.3÷26 =( )
題5-5(六年級卷)：613÷26 =( ) 商算到小數第一位，並求餘數 (29.1) (主要錯誤：商數對但餘數的小數點點錯：34.0) 題5-6(六年級卷)：61.3÷26 =( ) 商算到小數第一位，並求餘數 (33.1) (主要錯誤：商數對但餘數的小數點點錯：24.3)
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答錯想法 未處理餘數的小數點，如： 4C625（M，六年級卷題5-5：613÷26，23.5…20） (34.0)
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加減法文字題 題6-1：螞蟻家族搬食物，第一次搬1.3公斤，第二次搬1.14公斤，請問(a)兩次相差多少公斤？ (b)兩次一共搬了公斤的食物？ 題6-1-a (89.1、93.3、93.1) (空白：6.0、4.3、4.4) 題6-1-b (68.4、85.8、87.4) (主要錯誤為 ：21.5、9.5、6.0)
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答錯想法 以小的數（1.14）減大的數（1.3），如： 例1 （ 2B401 ） （2B509） （6D410）
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乘法文字題 題6-5：如果一瓶牛奶含有0.95公克的鈣質，請問0.3瓶含有多少鈣質？(六年級卷)
(66.8%) (主要錯誤為0.95÷0.3：8.6%)
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答錯想法 受了「除會變小」的影響，所以用錯運算，如：
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除法文字題 題6-2如果0.8公斤的麵粉24元，請問賤兔買一公斤要付多少元？(六年級卷)
(61.7%) (主要錯誤為0.8 × 24：9.6%) 題6-3如果一包麵粉重0.6公斤，請問0.15公斤麵粉是幾包？ (六年級卷) (48.5%) (主要錯誤為0.6 ÷ 0.15：22.8%)
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答錯想法 受「乘會變大」的影響，而用錯運算，如：
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答錯想法 受「被除數要比除數大」的影響，是造成學生答錯的主 要原因，在六年級居然超過二成以上，如：
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答錯想法 雖然答對，但受「被除數要比除數大」和「整數比大小」 的影響，如：
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小數的教學
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（一）一位純小數的教學 1.教師可提供多元情境幫助學生建立一位純小數十等分的內涵，並以非十等分的圖形對照來凸顯十等分的必要性。 這是一張紙： 請選出有顏色的部分為0.1張紙的圖。可以複選喔！ ㄆ ㄇ ㄈ ㄅ
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2.教師可呈現十個大單位且每個大單位內含十個小單位的情境迫使學生能區別被十等分的單位量為十個大單位還是一個大單位。
表示一串彩珠，請回答下面問題。 1.小萍將她的彩珠排列如下，其中有3串是紅色的，請將紅色的彩珠塗上顏色： 2.小誠有下圖這麼多串彩珠，其中有0.3串是藍色的，請將藍色的彩珠塗上顏色：
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3.教師可利用拉鏈讓學生表徵出一位純小數的數量來培養學生對一位純小數的量感。
塗紅色的地方代表1條拉鍊的長。請做出0.1條拉鍊、0.2條拉鍊、0.3條拉鍊…0.9條拉鍊
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（二）一位帶小數的教學 1.教師可透過圖形表徵的例子強調小數點分隔整數與非整數部分的功用，讓學生明顯感受小數點兩邊所代表的數量大小與大小單位間的關係。 請用披薩圖片作出4.3個披薩。 哪個部分是表示4.3個披薩中的4？哪個部分是表示4.3個披薩中的3？ 小數點有分隔「披薩的個數」與「不到一個披薩的個數」之功能。 一片披薩與一個披薩有什麼關係呢？
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2.教師可利用尚未等分的具體物，讓學生實際動手做小數，用以凸顯十等分的必要性與小數點兩邊的數所表示的數量大小；亦可讓學生疊合與對照做好的具體物與單位量的大小以培養其小數量感。〈為方便十等分可給學生長5公分寬2公分的紙〉 請做出0.6張紙 剪下0.6張紙，將之與1張紙疊合，藉以感覺小數數量大小。 請做出1.6張紙 比較1.6張紙與1張紙、2張紙的大小，藉以感覺小數所表示的數量大小。
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診斷教學
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診斷教學三步驟 診斷迷思概念： 教學過程中，教師要能隨時診斷出學生容易犯的迷思概念。 製造認知衝突：
診斷出學生的迷思概念後，教師應設法製造認知衝突，讓學生能察覺自己的錯誤。 調整認知： 學生察覺自己的錯誤後，教師應提供適切的教學活動協助學生建立正確概念。
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診斷教學的教學流程圖
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製造認知衝突策略 註：Qi：教師的佈題，Ai：學生的答案，R：參考值，R’：表徵。Q1：佈題，Q2：關鍵性問話，用以製造學生的認知衝突。
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「5.3 ＝ 」 失敗！ 5 5.3 5 0.3 佈題： 5.3化成分數，是多少？ 診斷迷思概念： 透過小白板的作答，診斷學生的迷思概念。
「5.3 ＝ 」 佈題： 5.3化成分數，是多少？ 診斷迷思概念： 透過小白板的作答，診斷學生的迷思概念。 5.3 製造認知衝突： 表徵法 失敗！ 引入參考值 與1做比較 調整認知： 5 0.3 先利用多單位記數系統， 5 5.3 再連結純小數與分數的關係
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忽略單位小數0.1的內容物個數， 將0.a視為a小個
佈題： 一包貼紙裡面有20張小貼紙，0.3包貼紙有幾張小貼紙？ 診斷迷思概念： 透過提問，診斷學生的迷思概念。 製造認知衝突： 1包有20張小貼紙，0.3包有幾張？3張。 1包有10張小貼紙，0.3包有幾張？3張。 二對一法 調整認知： 透過等分割概念
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敬請指教
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