等差級數 數學第四冊1-2單元 任課教師：陳月媚.

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1 等差級數 數學第四冊1-2單元 任課教師：陳月媚

2 目 錄 數學王子「高斯」的小故事 何謂等差級數 併圖學等差級數 數鈕釦個數 求1+2+3+4+………+100之和 等差級數公式的導出過程
目 錄 數學王子「高斯」的小故事 何謂等差級數 併圖學等差級數 數鈕釦個數 求 ………+100之和 等差級數公式的導出過程 等差級數公式和範例 結束

3 高斯－「數學王子」

4 數學家、物理學家和天文學家 德國大數學家高斯 ( Carl Friedrich Gauss ) 是德國最偉大，最傑出的科學家，如果單純以他的數學成就來說，很少在一門數學的分支裡沒有用到他的一些研究成果。

5 高斯的祖父是農民，父親除了從事園藝的工作外，也當過各色各樣的雜工，如護堤員、建築工等等。父親由於貧窮，本身沒有受過什麼教育。
貧寒家庭出身 　 　高斯的祖父是農民，父親除了從事園藝的工作外，也當過各色各樣的雜工，如護堤員、建築工等等。父親由於貧窮，本身沒有受過什麼教育。 　母親在三十四歲時才結婚，三十五歲生下了高斯。她是一名石匠的女兒，有一個很聰明的弟弟，他手巧心靈是當地出名的織綢能手，高斯的這位舅舅，對小高斯很照顧，有機會就教育他，把他所知道的一些知識傳授給他。而父親可以說是一名”大老粗”，認為只有力氣能掙錢，學問對窮人是沒有用的。

6 　　他還不到三歲的時候，有一天他觀看父親在計算受他管轄的工人們的周薪。父親在喃喃的計數，最後長嘆的一聲表示總算把錢算出來。
　　父親唸出錢數，準備寫下時，身邊傳來微小的聲音：「爸爸！算錯了，錢應該是這樣.....。」 　　父親驚異地再算一次，果然小高斯講的數是正確的，奇特的地方是沒有人教過高斯怎麼樣計算，而小高斯平日靠觀察，在大人不 知不覺時，他自己學會了計算。

7 另外一個著名的故事亦可以說明高斯很小時就有很快的計算能力。當他還在小學讀書時，有一天，算術老師要求全班同學算出以下的算式： 1+2+3+4+
　　另外一個著名的故事亦可以說明高斯很小時就有很快的計算能力。當他還在小學讀書時，有一天，算術老師要求全班同學算出以下的算式： = ? 在老師把問題講完不久，高斯就在他的小石板上端端正正地寫下答案5050，而其他孩子算到頭昏腦脹，還是算不出來。最後只有高斯的答案是正確無誤。

8 何謂等差級數 級數：將一個數列的各項依次用“＋”號連接，稱為一個級數。 如：1+1+2+3+5+8+13
　如： 等差級數：將一個等差數列的每項依次用“＋”號連接，稱為一個等差級數。 　如：

9 拼圖學等差級數 兩個階梯拼成8×9的矩形 8 8 9 8 8 8

10 求 的和 A圖 B圖 將A圖拼到B圖上使成一個長方形

11 如何計算呢? 拼成長方形後小正方形個數有多少? S= 3+4+5+6+7+8+9+10 +) S=10+9+8+7+6+5+4+3

12  3+4+5+6+7+8+9+10 =(3+10)+(4+9)+(5+8)+(6+7) =13×4=52 第四行 第三行 第二行 第一行
第八行 第七行 第六行 第五行 第四行 第三行 第二行 第一行  =(3+10)+(4+9)+(5+8)+(6+7) =13×4=52 第八行 第七行 第六行 第五行

13  3+4+5+6+7+8+9=(3+9)+(4+8)+(5+7)+6 =12×3+12× =42 第四行 第五行 第六行 第七行 第一行
第二行 第三行 第四行 第五行 第六行 第七行 =(3+9)+(4+8)+(5+7)+6 =12×3+12× =42 第一行 第二行 第三行 第四行

14 數鈕釦個數 立正對齊排好 如何計算呢? S= +)S= 2S=7×6 S=21

15 12 10 S = 2＋4＋6＋8+10 如何計算呢? S + S =(2+10)5 S =(2+10)5÷2 S = 30

16 求 S= ……… =？ 100 101 S + S = (1+100)×100 S = (1+100)×100÷2 S = 5050

17 求 之和 =6×6=62 ……+99=502 ……+(2n-1)=n2

18 等差級數公式導出過程: S = a1 + a2 + a3 + +an-1+ an
)S = an +an-1+ an a2 + a1 2S =(a1+an)+(a1+an)+… +(a1+an)+(a1+an) 2S = (a1+an)n S = (a1+an) n 公式一 共有n項

19 將ａn＝ａ1+（ｎ－1）d 代入 = 2a1+(n－1）d  n 2 公式一：S = (a1+an) n 2
S = a1+ａ1+(n－1）d   n2 = 2a1+(n－1）d  n 2 　　　　 公式二

20 等差級數公式 公式一： 公式二：

21 範例一：求 ….+43的和 解:1.先求項數(a1=3 , an=43 , d=4) an=a1+(n-1) ×d 43=3+(n-1) ×4 40=(n-1) ×4 , n=11　 2.代入公式一 , Sn= Sｎ= ＝235

22 範例二：求 …. 至第8項的和 解:a1=5 , d=4 ,n=8 代入公式二 , Sn= Sn= =152

23 The End