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第二节 微积分基本定理 一、积分上限函数及其导数 二、积分上限函数求导法则 三、微积分基本公式.

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1 第二节 微积分基本定理 一、积分上限函数及其导数 二、积分上限函数求导法则 三、微积分基本公式

2 一、积分上限函数及其导数 1.积分上限函数 设 在区间 上连续, 且 ,则 存在,如积分上限 在 上任意变动,那么对于每一取定的 值,
1.积分上限函数 设 在区间 上连续, 且 ,则 存在,如积分上限 在 上任意变动,那么对于每一取定的 值, 均有唯一的数 与之对应,所以 是一个定义在 上的关于 的函数,记为

3 称 为积分上限函数. 2.积分上限函数的几何意义 积分上限函数 在几何上表示为右端线可以变动的曲边 梯形的面积

4 3.性质 (1)定理1 若 在 上连续,则积分 上限函数 在 上具有导 数,且它的导数

5 即:

6 (2)定理2 若函数 在 上连续,则积 分上限函数 是 在区间 上的一个原函数. 另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系, 从而可能用原函数来计算定积分. 此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数,

7 二、积分上限函数求导法则 1.法则1 若 在 上连续, 是 上的某一定点,则 ,有

8 2.法则2 若函数 在闭区间 上连续, 是 上的某一定点,函数 可微, 且 ,则有 证 令 , ,

9 3.法则3 若函数 在区间 上连续, , ,且 与 都可微,则有

10

11 4.例题 例1  求 解 由法则1得

12 例2  求 解 由法则2得 例3  求 解 由法则3得

13 例4  求 解 这是一个 型未定式,可利用洛必达法 则计算,分子为

14 由法则2得 因此

15 三、微积分基本公式 1.定理3 若函数 是连续函数 在区 间 上的一个原函数,则 该公式叫微积分基本公式,也叫牛顿-莱布 尼茨公式.

16 ( 为常数). 令 , 令 ,

17 2.说明 (1)微积分基本公式使用的条件是,被积函数 在积分区间 上必须连续,若不满足 条件,不能使用公式. (2)微积分基本公式揭示了定积分与原函数之 间的关系, 是它的任一原函数在 上的增量,也是函数 在 处的函 数值.

18 (3)为方便起见,记 ,

19 3.例题 例5 求 例6 求

20 例7 设 ,求

21

22 求 ,在 上的表达式. 例8 设 , 解 当 时,

23 当 时,

24 所以,

25 例9 求

26 由例7,例8,例9可见,若被积函数在积分区 间上存在有限个第一类间断点,或在积分区间 上分段表示,或带有绝对值,应利用定积分在 积分区间的可加性分段积分,以保证被积函数 在各积分区间上的连续性或非负性.


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