第四章　函数的积分学 第六节　微积分的基本公式 一、变上限定积分 二、微积分的基本公式.

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1 第四章　函数的积分学 第六节　微积分的基本公式 一、变上限定积分 二、微积分的基本公式

2 一、变上限定积分 如果 x 是区间 [a, b]上任意一点，定积分
表示曲线 y = f (x) 在部分区间 [a, x] 上曲边梯形AaxC 的面积， 当 x 在区间 [a, b] 上变化时, 如图中阴影部分所示的面积. y x y = f (x) a b O A C B 阴影部分的曲边梯形面积也随之变化， 所以变上限定积分 (x) 是上限变量 x 的函数. 记作  (x)， 即 ≤

3 定理 1 　若函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续，
则变上限定积分 在区间 [a, b] 上可导， 并且它的导数等于被积函数， 即

4 由  (x) 的定义得对应的函数  (x) 的量  (x)， 给自变量 x 以增量 x，x + x  [a, b]，
证　按导数定义， 由  (x) 的定义得对应的函数  (x) 的量  (x)， 给自变量 x 以增量 x，x + x  [a, b]， 即  (x) =  (x + x) -  (x) A C b B y = f (x) x y a O (x)  x + x

5 　　根据积分中值定理知道，在 x 与 x + x 之 间至少存在一点 x ，
使  (x) 所以，当x  0 时有 x  x， f (x)  f (x)， 成立. 又因为 f (x) 在区间 [a, b] 上连续， 从而有  (x) 故

6 定理 1 告诉我们， 变上限定积分 是函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的一个原函数， 这就肯定了连续函数的原函数是存在的， 所以，定理 1 也称为原函数存在定理.

7 例 1 求 (x). 解　根据定理 1，得

8 例 2 求 F (x). 解　根据定理 1，得

9 例 3 求 (x). 解  (x)

10 例 4 解

11 二、微积分的基本公式 定理 2 如果函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，
F(x) 是 f (x) 在区间 [a, b] 上任一原函数， 那么

12 又由题设知道 F(x) 也是 f (x) 在 [a, b] 上一个原函数， f (x) 在 [a, b] 上的一个原函数，
证　由定理 1 知道 又由题设知道 F(x) 也是 f (x) 在 [a, b] 上一个原函数， f (x) 在 [a, b] 上的一个原函数， 由原函数的性质得知，同一函数的两个不同原函数只相差一个常数， 即 ≤ ① 把 x = a 代入①式中， 则，常数 C = F(a)， 于是得

13 移项，得 令 x = b 代入上式中， 再把积分变量 t 换成 x， 得 ② 　　为了今后使用该公式方便起见，把 ② 式右端的 这样 ② 式就写成如下形式：

14 例 5 　计算下列定积分. 解

15 例 6 　计算下列定积分. 解

16 例 8 计算 解　把被积函数化简.

17 例 9 ≤ 解