第3.4节 几乎连续函数与积分 第3.5节 微积分基本定理

Presentation on theme: "第3.4节 几乎连续函数与积分 第3.5节 微积分基本定理"— Presentation transcript:

1 第3.4节 几乎连续函数与积分 第3.5节 微积分基本定理
第3.4节 几乎连续函数与积分 第3.5节 微积分基本定理 第三章 测度与积分 北京师范大学数学科学学院 授课教师：刘永平

2 (广义）R-积分与L-积分的关系(二) 基本内容
(1)R-积分与L-积分的关系(部分）； (2)广义R-积分与L-积分关系； (3)第二积分中值公式; (4) 微积分基本定理； (5) 一些例子； (6) 小结.

3 回忆前次课的记号和部分内容 记号：用 表示n维矩形D的一个分法. 以下假定：实函数 f 在矩形上有界.

4 上阶梯函数与下阶梯函数 黎曼大和与小和

5 本次课继续证明： 定理3. 设D是n维矩形. （1）若f 在D上是黎曼可积的，则f 在D上是勒贝格可积的，且其两种类型积分值相同. （2）若 f 是D上的有界函数. 则, f 在D上为黎曼可积函数的充分必要条件是f 在D上几乎处处连续.

6 上次课已经证明了：结论（1）以及结论（2）的必要性部分.
下面证明结论（2）的充分性部分. 即, 若f是D上的几乎处处连续的有界函数，则f是黎曼可积的.为此，只需证：

7 等价地，只需证：对任意的分法列 满足 ，有

8 例子（判断函数是否黎曼可积） 例4.1. 用 表示n维有理点集. 定义函数f(x)= 其中D 为内部不空的方块. 则

9 例4.2. 把开区间(0,1)的全体有理数写成可数集 . 令开集
例4.2. 把开区间(0,1)的全体有理数写成可数集 令开集 (见例3.3). 证明:函数 不是黎曼可积的.

10 例4.3. 黎曼函数是（0,1）上的函数，由下列方式定义：
则f(x)在（0,1）上黎曼可积.

11 例4.4.有界区间上的有界单调函数是黎曼可积的.

12 广义R-积分与L-积分的关系 定理4. 设 f 是一个n维开区域G上的广义R-可积的函数. 则 f 在G上为L可积的充分必要条件是f 为G上广义绝对R-可积的函数.

13 为叙述简便，仅就一元的一个情况证明. 假定函数 f 定义在区间 上且在 的任何有限子区间上黎曼可积.

14 如果极限 存在且有限，则称f 在 上广义黎曼可积. 如果|f | 在这个区间也广义黎曼可积, 则称称f 在 上广义绝对黎曼可积.
一个特殊情形的广义R积分定义 如果极限 存在且有限，则称f 在 上广义黎曼可积. 如果|f | 在这个区间也广义黎曼可积, 则称称f 在 上广义绝对黎曼可积.

15 反例： 例4.5. 函数f 有如下方式定义： 则，f 在R上广义R可积，但它不是L可积.

16 微积分基本定理 原函数定义：若f 定义在[a,b]上，且存在F，使得 则称F是f 在[a,b]上的一个原函数. 定理：设函数 若f 在[a,b]上有原函数F，则

17 小结 (1) 当D为矩形时，则 且 (2) 当G为开集时， 则G上的广义绝对可积函数类是 的子集. (3) 当 时，若f 还是D上R-可积或G上广义绝对R-可积函数时，f的积分计算可转化为后两类积分的计算.

18 (4) 如一个L-可积函数f与一个R-可积函数（或广义绝对R可积函数）g几乎处处相等时， f的积分性质可以转化为g的类似性质处理

19 习题3.4. 2, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12. 习题3.5. 3, 5, 6, 8, 9.