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§5.2 偏导数(Partial derivative)
主要内容 偏导数的定义及其计算法 高阶偏导数
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在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率，它反映了函数在一点处变化的快慢程度。对于二元函数，同样需要研究它的“变化率”，然而，由于有两个自变量，情况就要复杂得多。在xoy平面内，当变点由(x0,y0)沿不同方向变化时，函数f(x,y)的变化快慢一般说来是不相同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿各个不同方向的变化率，本书中我们只限于讨论(x,y)沿平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时f(x,y)的变化率，一方面是由于它们比较简单而又应用广泛，另一方面还因为它们是研究其它方向变化率的基础，实际上在一定条件下，其它方向的变化率都可以由这两个特殊的变化率来确定，这方面的内容已超出本书的范围，不再具体讨论。
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一.偏导数的概念 1.偏导数的定义 定义 设函数 在点 某邻域内有定义， 当固定 而 在 处有增量 时，函数的增量 则称此极限值为函数 在点
处对 的偏导数.记作: 若极限 存在，
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或 即
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的偏导数定义为: 在点 处对 类似,函数 也记作
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结论 是一元函数 在点 处的导数, 是一元函数 在点 处的导数,
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若函数 在区域D内每一点 处对 的偏导数都存在, 对 的偏导(函)数. 偏导数就是 的函数,称为函数 记作： 类似定义函数 对 的偏导数. 记作:
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对二元函数求关于某一个自变量的偏导数时,只需视其它变量为常量,根据一元函数的求导公式和求导法则,求导即可。同理可定义多元函数的偏导数
视 y 为常量， 对 x 求导. 视 x 为常量， 对 y 求导. 说明 对二元函数求关于某一个自变量的偏导数时,只需视其它变量为常量,根据一元函数的求导公式和求导法则,求导即可。同理可定义多元函数的偏导数
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偏导数的概念可以推广到二元以上函数
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2.二元函数偏导数的几何意义: 是一元函数 在点 处的导数, 由一元函数导数的几何意义知 在几何上表示空间曲线 在点 处的切线对 轴的斜率.
x y z M o 2.二元函数偏导数的几何意义: 是一元函数 在点 处的导数, 由一元函数导数的几何意义知 在几何上表示空间曲线 在点 处的切线对 轴的斜率.
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类似, 在几何上表示空间曲线 在点 处的切线对 轴的斜率. x y z M o
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二、偏导数的计算 由偏导数的定义知，偏导数实质上就是把一个自变量固定，而将二元函数z=f(x,y)看成是另一个自变量的一元函数的导数，因此一元函数的求导方法完全适用于求二元函数的偏导数。只要记住对一个自变量求导时，把另一个自变量暂时看成常量就行了。
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例1 求 的偏导数. 解
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例2 求 的偏导数. 解 例3 求 处的偏导数. 在点 解
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例4 已知 求: 解 把y=1代入 得 所以有 把x=2代入 得
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练一练 令y=0(不是暂时视为常量，y就是常量) ，得 解 再关于变量x求导数，得 所以
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例5 设 求 解
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例6 求 的偏导数. 解
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例7 求函数 在原点处的偏导数. 解 不存在． 在原点处不连续.
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1）求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。
注意 1）求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。 2）
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3）偏导数存在 连续。这与一元函数理论有本质区别。
但函数在该点处并不连续.
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三、高阶偏导数 设函数 在区域D 内有偏导数 若这两个函数的偏导数存在， 称其为函数 的二阶偏导数
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混合偏导数 类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数， 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数.
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例8 设 解
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例9 设 求它的所有二阶偏导数 解
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上面例中二阶偏导数（混合偏导数）都是相等的。是否二阶混合偏导数都是相等的？
下面定理回答了这个问题：
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定理 设函数 在区域D内连续，并且存在一阶偏导数和二阶混合偏导数 如果在点 处，这两个混合偏导数连续， 则必有
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例10 验证函数 满足方程 证
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例11 证明函数 满足方程 (拉普拉斯方程) 证
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由自变量的对称性知
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思考题
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四、小结 (P223) 1、偏导数的概念、几何意义、计算 2、高阶导数的概念及计算
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五、作业 P 练习5.2 T2；T3;T4(1) P260~263 习题五 相关练习自选完成
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