第五章　定积分及其应用.

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1 第五章　定积分及其应用

2 本章主要内容 §5.1 定积分的概念 §5.2 定积分的性质 §5.3 微积分基本公式 §5.4 定积分的换元积分法与分部积分法
§ 定积分的概念 § 定积分的性质 § 微积分基本公式 § 定积分的换元积分法与分部积分法 § 反常积分 § 定积分在几何上的应用 ＊§ 定积分在物理及其他方面的应用

3 学习目标 理解定积分的概念和定积分的性质及其几何意义； 理解微积分基本定理，了解积分上限函数及其性质，掌握牛顿—莱布尼茨公式；
熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法； 了解反常积分及其收敛发散的概念； 掌握用定积分表达一些几何量与物理量的方法，会用定积分求解平面图形的面积问题，了解元素法，并能用其求解有关几何、物理等问题。

4 §5.1定积分的概念 例 1 求曲边梯形的面积 曲边梯形的概念.

5 （1）分割. 用分点 第i个小曲边梯形的面积

6 （2）近似代替. 用以 为宽， 为高的小矩形的面积 近似代替相应的小曲边梯形的面积 ，即 （3）求和. （4）取极限.

7 例2 求变速直线运动的路程. 设某物体作直线运动,已知速度v=v (t)是时间区间[a, b]上的t连续函数，且 ,求物体在这段时间内所走的路程． （1）分割.用分点

8 （2）近似代替. （3）求和. （4）取极限.

9 二、定积分的定义 定义1 设f (x)是定义在区间[a, b]上的有界函数,用分点 把区间[a, b]分成n个小区间 第i个小区间的长度记为 积分和式

10 存在,且此极限值与对区间[a, b]的分法以及对点 取法无关,则称这个极限值为函数f (x)在[a, b]上的定积分(简称积分),

11 1、定积分表达式 积分上限 积分下限 被积函数 积分变量 被积表达式 积分区间

12 2、定理 定理1 设函数f (x)在区间[a, b]上连续,则f (x)在[a, b]上可积． 定理2 设函数f (x)在区间[a, b]上只有有限个第一类间断点,则f (x)在[a, b]上可积．

13 3、注意 （1）积分值只与被积函数和积分区间有关,与积分变量用什么字母表示无关. （2）在定积分的定义中,我们假定a < b,即积分下限小于积分上限. 如果a > b ,规定 当a = b时,规定 如果f (x)在[a, b]上的定积分存在,称f (x)在[a, b]上可积.

14 4、应用 例3 根据定积分的定义,求 解 函数 在区间[0,1]上连续,把区间[0,1]n等分 分点为 小区间的长度

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16 三、定积分的几何意义

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18 几何意义： 曲线y=f (x)与直线x=a, x=b, y=0所围成的曲边梯形面积的代数和．

19 例4　用定积分表示各图形阴影部分的面积，并根据定积分的几何意义求出其值.

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21 §5.2 定积分的性质 1．定积分的简单性质 假定函数f (x), g (x)在所讨论的区间上都是可积的．
§5.2 定积分的性质 1．定积分的简单性质 假定函数f (x), g (x)在所讨论的区间上都是可积的． 性质1　两个函数代数和的定积分等于各个函数定积分的代数和，即 证

22 性质2　被积函数中的常数因子可以提到积分号外面,即
证 性质3 (定积分的可加性) 对于任意三个数a, b, c,总有

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25 性质4（保号性）如果在区间上[a, b]上 证 (极限的保号性 )

26 推论（比较性质） 如果在区间[a, b]上 性质5（估值性质）设M和m分别是f (x)在区间[a, b]上的最大值和最小值，则 证 (性质5)

27 性质6（积分中值定理）如果函数f (x)在闭区间[a, b]上连续，则在区间[a, b]上至少存在一点 ，使得
证 (性质5)

28 f (x)在[a, b]上的平均值

29 2. 积分中值定理的几何解释： 由曲线y=f (x),直线x=a, x=b, y=0,所围成的曲边梯形的面积,等于以区间[a, b]为底、以该区间上某一点处的函数值 为高的矩形的面积 .

30 §5.3 微积分基本公式 1．积分上限的函数及其导数 考察定积分 记作 积分上限函数

31 几何意义: 表示阴影部分的面积．

32 定理1 若函数f (x)在区间[a, b]上连续，则函数 在区间 [a, b]上可导，且它的导数就是f (x)，即 证 由积分中值定理，有

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34 原函数存在定理 推论 如果函数f (x)在闭区间[a, b]上连续，则函数f (x)在 [a, b]上的原函数一定存在.

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36 2．微积分基本公式 设函数f (x)在[a, b]上连续，且F (x)是f (x)在[a, b]上的一个原函数，则 定理2 证

37 牛顿—莱布尼兹公式 (微积分基本公式)

38 例5　计算 解

39 例7 一个小球从某高处由静止开始自由下落，由于重力的作用，t秒后小球的速度为v=gt，试求在时间区间[0，4]上小球下落的距离。
解 设ts时小球下落的距离为s=s(t),则有 =v v,由N-L公式可知，在时间区间 上小球下落的距离s(4)就是函数v=gt在上的定积分，即 =8g =

40 §5.4 定积分的换元积分法与分部积分法 1．定积的换元积分法 定理1 设函数f (x)在[a, b]上连续，令 定积分的换元公式 证
§5.4 定积分的换元积分法与分部积分法 1．定积的换元积分法 定理1 设函数f (x)在[a, b]上连续，令 定积分的换元公式 证 　设F (x)是f (x)的一个原函数，则

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45 定积分的换元公式也可以反过来用.

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48 此例两种解法

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50 例7　设f (x)在[a, b]上连续，试证明： （1）若f (x)在[a, b]上为偶函数，则 （2）若f (x)在[a, b]上为奇函数，则 证

51 （1）若f (x)为偶函数，则f (－x)=f (x)．

52 几何解释： 偶函数 奇函数

53 定理2 设函数u=u (x)与v=v (x)在区间[a, b]上有连续的导数,则 分部积分公式 证

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58 §5.5 反常积分 1．无限区间上的反常积分 引例 在区间[1,b]上的曲边梯形的面积为 “开口曲边梯形”的面积 开口曲边梯形

59 定义1 上的反常积分或广义积分，记作 如果上述极限不存在，则称反常积分

60 注意

61 如果f (x)的原函数为F (x)，则

62 例4　讨论反常积分 解

63 *2. 无界函数的广义积分 引例: “开口曲边梯形”的面积

64 定义2 在区间[a, b]上的反常积分，记作 如果上述极限不存在，则称反常积分 点x=a称为函数f (x)的瑕点，反常积分也称为瑕积分.

65 注意

66 §5.6 定积分在几何上的应用 1．平面图形的面积 （1）由连续曲线y=f (x)与直线x=a, x=b, y=0所围成的平面图形的面积．

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69 （2）由曲线y=f (x), y=g (x)与直线x=a, x=b所围成的平面图形的面积．

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71 （3）由曲线 与直线y=c, y=d, x=0所围成的平面图形的面积.

72 （4）由曲线 与直线y=c, y=d所围成的平面图形的面积.

73 例1 求由抛物线

74 例2 求由抛物线 解 y 两抛物线的交点为(－1,1)和(1,1). o x

75 例3 解 y o x

76 特别，当a=b=r时，得圆的面积公式：

77 例4 解

78 2．旋转体的体积 面积元素 元素法

79 用元素法来求旋转体的体积 过点作垂直于x轴的平面,其面积为 体积元素

80 例6 求椭圆 绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积． 解 球体体积 旋转椭球体

81 例7 如下图所示的一个高8cm,上底半径为5cm,下底半径为3cm的圆台形工件,在中央钻一个半径为2cm的孔,如果该工件是铁制的,求它的重量.

82 解 铁的密度

83 *3．平面曲线的弧长 设函数f (x)在[a, b]上具有一阶连续导数，计算曲线f (x)上从a到b的曲线弧的弧长．

84 §5.7 定积分在物理及其他方面的应用 1．变力沿直线所作的功 功元素

85 例1 已知弹簧每拉长0.01m要用5N的力，求把弹簧拉长0.1m所作的功．
解 当x=0.01m时,F=5N, 所以k=500(N/m). (平衡点 )

86 例2 把一个带电量为+q的点电荷放在r轴上坐标原点O处,它产生一个电场．电场中距离原点O为r的地方有一个单位正电荷．当这个单位正电荷在电场中从点a处沿r轴移动到点b( a<b)处时，计算电场力F对它所作的功． 解 (k为常数)

87 例3 修建一座大桥的桥墩时先要下围囹,并要抽尽其中的水以便施工．已知围囹(看作圆柱体)的直径为20m,水深为27m,围囹高出水面3m,求抽尽围囹中的水所作的功．
解

88 2．液体的静压力 高度 密度 面积

89 ﹡3.平均值与均方根