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第五章 定积分 第一节 定积分的概念 一、问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理 四、几何意义 五、小结 思考题
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一、问题的提出 实例1 (求曲边梯形的面积) a b x y o
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显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积.
用矩形面积近似取代曲边梯形面积 a b x y o a b x y o (四个小矩形) (九个小矩形) 显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积.
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观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 播放
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曲边梯形如图所示,
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曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为
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实例2 (求变速直线运动的路程) 思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值.
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(1)分割 部分路程值 某时刻的速度 (2)求和 (3)取极限 路程的精确值
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二、定积分的定义 定义
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记为 积分和 积分上限 被积表达式 积分变量 被积函数 积分下限
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注意:
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三、存在定理 定理1 定理2
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四、定积分的几何意义 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值
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几何意义:
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例1 利用定义计算定积分 解
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例2 利用定义计算定积分 解
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证明 利用对数的性质得
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极限运算与对数运算换序得
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故
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五、小结 1.定积分的实质:特殊和式的极限. 2.定积分的思想和方法: 分割 化整为零 求和 积零为整 取极限 精确值——定积分
求近似以直(不变)代曲(变) 求和 积零为整 取极限 取极限 精确值——定积分
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思考题 将和式极限: 表示成定积分.
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思考题解答 原式
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练 习 题
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练习题答案
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观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
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观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
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观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
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观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
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观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
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观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
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观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
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观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
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观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
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观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
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观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
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观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
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观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
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观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
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观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
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第二节 定积分的性质、中值定理 一、基本内容 二、小结 思考题
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一、基本内容 对定积分的补充规定: 说明 在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小.
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性质1 证 (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)
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性质2 证
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性质3 补充:不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 则 (定积分对于积分区间具有可加性)
48
性质4 性质5 证
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解 令 于是
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性质5的推论: (1) 证
51
性质5的推论: (2) 证 说明: 可积性是显然的.
52
性质6 证 (此性质可用于估计积分值的大致范围)
53
解
54
解
56
性质7(定积分中值定理) 积分中值公式 证 由闭区间上连续函数的介值定理知
57
使 即 积分中值公式的几何解释:
58
解 由积分中值定理知有 使
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二、小结 1.定积分的性质 (注意估值性质、积分中值定理的应用) 2.典型问题 (1)估计积分值; (2)不计算定积分比较积分大小.
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思考题
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思考题解答 例
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练 习 题
65
练习题答案
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一、基本内容 对定积分的补充规定: 说明 在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小.
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性质1 证 (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)
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性质2 证
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性质3 补充:不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 则 (定积分对于积分区间具有可加性)
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性质4 性质5 证
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解 令 于是
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性质5的推论: (1) 证
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性质5的推论: (2) 证 说明: 可积性是显然的.
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性质6 证 (此性质可用于估计积分值的大致范围)
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解
77
解
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性质7(定积分中值定理) 积分中值公式 证 由闭区间上连续函数的介值定理知
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使 即 积分中值公式的几何解释:
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解 由积分中值定理知有 使
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二、小结 1.定积分的性质 (注意估值性质、积分中值定理的应用) 2.典型问题 (1)估计积分值; (2)不计算定积分比较积分大小.
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思考题
84
思考题解答 例
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练 习 题
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练习题答案
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第三节 微积分基本公式 一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式发 四、小结 思考题
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一、问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为
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二、积分上限函数及其导数 考察定积分 记 积分上限函数
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积分上限函数的性质 证
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由积分中值定理得
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补充 证
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例1 求 分析:这是 型不定式,应用洛必达法则. 解
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证
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证 令
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定理2(原函数存在定理) 定理的重要意义: (1)肯定了连续函数的原函数是存在的. (2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.
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三、牛顿—莱布尼茨公式 定理 3(微积分基本公式) 证
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令 令 牛顿—莱布尼茨公式
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微积分基本公式表明: 求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意
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例4 求 解 原式 例5 设 , 求 解
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例6 求 解 由图形可知
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例7 求 解 解 面积
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四、小结 1.积分上限函数 2.积分上限函数的导数 3.微积分基本公式 牛顿-莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系.
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思考题
108
思考题解答
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练 习 题
115
练习题答案
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第四节 定积分的换元积分法 一、换元公式 二、小结 思考题
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一、换元公式 定理
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证
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应用换元公式时应注意: (1) (2)
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例1 计算 解 令
123
例2 计算 解
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例3 计算 解 原式
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例4 计算 解 令 原式
126
证
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例6 计算 解 原式 偶函数 奇函数 单位圆的面积
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证 (1)设
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(2)设
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二、小结 定积分的换元法 几个特殊积分、定积分的几个等式
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思考题 解 令
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思考题解答 计算中第二步是错误的. 正确解法是
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练 习 题
139
练习题答案
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第五节 定积分的分部积分公式 一、分部积分公式 二、小结 思考题
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一、分部积分公式 定积分的分部积分公式 推导
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例1 计算 解 令 则
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例2 计算 解
144
例3 计算 解
145
例4 设 求 解
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例5 证明定积分公式 为正偶数 为大于1的正奇数 证 设
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积分 关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止
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于是
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二、小结 定积分的分部积分公式 (注意与不定积分分部积分法的区别)
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思考题
152
思考题解答
153
练 习 题
155
练习题答案
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第七节 广义积分 一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 三、小结 思考题
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一、无穷限的广义积分
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例1 计算广义积分 解
162
例2 计算广义积分 解
163
证
164
证
165
二、无界函数的广义积分
167
定义中C为瑕点,以上积分称为瑕积分.
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例5 计算广义积分 解
169
证
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例7 计算广义积分 解 故原广义积分发散.
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例8 计算广义积分 瑕点 解
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三、小结 无穷限的广义积分 无界函数的广义积分(瑕积分) (注意:不能忽略内部的瑕点)
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思考题 积分 的瑕点是哪几点?
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思考题解答 积分 可能的瑕点是 不是瑕点, 的瑕点是
175
练 习 题
178
练习题答案
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