第5章 定积分及其应用 基本要求 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法

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1 第5章 定积分及其应用 基本要求 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法
经济数学 第5章　定积分及其应用 第5章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.4 广义积分 5.5　定积分的应用 基本要求

2 经济数学 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 定积分的换元积分法 定积分的分部积分法 主要内容

3 设函数 在 上连续，令 ，且满足 经济数学 5.3.1 定积分的换元积分法 定理5·4 (1)
5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 定理5·4 　　设函数　　　在　　　上连续，令　　 　 ，且满足　 (1) (2) 当 从 变化到 时， 单调地从 变化到 ； (3) 在 上连续． 则 上式称为定积分的换元公式 ．

4 经济数学 5.3.1 定积分的换元积分法 计算 例10 解： 令 ,且当 时， ， ,则 , ．所以 当 时，
5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 例10 计算 解： 令 ,则 , ,且当 时，　　 ， ．所以 当 时，

5 经济数学 5.3.1 定积分的换元积分法 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 *例11 计算 解： 。所以 令 ,则 , 且当 时，
5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 *例11 计算 解： 。所以 令 ,则 　, 且当 时， 当 时，

6 经济数学 5.3.1 定积分的换元积分法 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 例12 设 在 上连续，试证明： 上为偶函数，则 (1)若
5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 例12 设 在 上连续，试证明： 上为偶函数，则 (1)若 在 (2)若 在 上为奇函数，则

7 经济数学 5.3.1 定积分的换元积分法 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 证明: 因为 令 ,则 , 在 中 当 。于是 当 时，
5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 证明: 因为 令 ,则 , 在 　　　中 当 。于是 当 时， 时，　　；

8 经济数学 5.3.1 定积分的换元积分法 证明: 为偶函数，则 (1)若 。于是 所以 为奇函数，则 (2)若 。于是 所以
5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 证明: (1)若 为偶函数，则 。于是 所以 (2)若 为奇函数，则 。于是 所以

9 经济数学 5.3.1 定积分的换元积分法 例12的几何解释 ： (1)偶函数的图像关于y轴对称 (2)奇函数的图像关于原点对称
5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 例12的几何解释 ： (1)偶函数的图像关于y轴对称 (2)奇函数的图像关于原点对称

10 利用这个结果，奇、偶函数在对称区间上的积分计算可以得到
经济数学 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 　　利用这个结果，奇、偶函数在对称区间上的积分计算可以得到 简化，甚至不经计算即可得到结果. 例13 计算定积分　　　　　． 解: (1) 因为被积函数 　　 是奇函数, 关于原点对称．所以 且积分区间

11 经济数学 5.3.1 定积分的换元积分法 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 例14 计算定积分 ． 解: 被积函数 是偶函数，
5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 例14 计算定积分　　　　　　　 　　 ． 解: 被积函数 是偶函数， 是奇函数， 且积分区间 关于 是非偶非偶函数， 原点对称．所以

12 设函数 与 在 上有连续的导数，则 经济数学 5.3.2 定积分的分部积分法 定理5·5 或简写成 上述公式称为定积分的分部积分公式.
5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.2 定积分的分部积分法 定理5·5 　　设函数　 与　 　在　　 上有连续的导数，则 或简写成 上述公式称为定积分的分部积分公式.

13 经济数学 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.2 定积分的分部积分法 例15 计算 解: 例16 计算 解:

14 经济数学 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.2 定积分的分部积分法 例17 计算 解:

15 经济数学 课堂练习 ： 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 1．求定积分 ． （答案： ） 2．求定积分 ． （答案： ）
5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 课堂练习 ： 1．求定积分 　 　　　　． （答案： ） 2．求定积分　 　　　　　． （答案： ） 3．求定积分　　　　　　 　　　 . （答案： 　　 ） 4．求定积分　　　　　 . （答案： ）

16 经济数学 小结 1．定积分的换元积分法 ． 2．对称区间上定积分的计算方法． 3．定积分的分部积分法 ．
5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 小结 1．定积分的换元积分法 ． 2．对称区间上定积分的计算方法． 3．定积分的分部积分法 ．

17 经济数学 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 作业 习题5