高等数学 （习题课上、下） 重庆交通学院 冯春.

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1 高等数学 （习题课上、下） 重庆交通学院 冯春

2 目 录 习题课（一） 综合练习题 习题课（二） 详细讲解内容： 1、多元函数微分法及其应用 2、重积分 3、曲线积分 曲面积分 5、微分方程
目 录 习题课（一） 综合练习题 习题课（二） 详细讲解内容： 1、多元函数微分法及其应用 2、重积分 3、曲线积分 曲面积分 5、微分方程 4、无穷级数

3 习题课（一） 一、 ， ， 是同一函数 的原函数吗？ 习题 : 1．求极限

4 解： 由夹逼定理 2．已知函数 存在，求： 原式= 3. 求

5 设y = ln(1+x) , △x=0.02 , 求dy的值 dy = dx = = 0.01 有理函数的分解： （1） 将分母进行因式分解 Q(x) = 为质因式 （2） 分解成简单分式之和 个数： 简单分式： 分子次数恰好比分母次数少一次

6 四种类型简单分式： 例： 1) 2)

7 3) 4) 四种简单分式的积分： ( k ≠ 1 )

8 ∵ ∴ 视具体情况而定 有理函数分解的技巧： 例： （1） 令 x = tant 原式

9 （2） （3） （4）

10 原式 = 二、三角函数有理式的积分 令 用万能公式

11 习题课（二）多元函数微分学 重点： 1、 2、

12 梯度的方向是 的方向 P44 11、 求 令 得： 练习一 一、是非判断题 1、 若函数 在点 处可微，则 在 处沿任何方向的方；

13 2、若 在D同存在二阶偏导数则在D内必有 向导数必有在 3、 已知 F是任意可微函数，则 分析： 1、可微 可导 有偏导数； 2、相等的条件是连续； 3、 二、选择题 D 1、 A、1 B、0 C、 D、不存在 2、设 在点 处存在偏导数， 则 =___ D A、0 B、 C、 D、

14 3、设 ，则： =__ D A、 B、 C、-1 D、1 分析： 1、 2、 三、计算 1、设 有连续的一阶偏导数，又函数 分别由下列两式确定： ，求 2、设 ，其中 由方程： 确定，求 3、设 ，求

15 4、求函数 在点 A(1,0,1)处沿点 A指向点B(3,-2,2)的方向导数。 5、在椭圆 上求一点， 使其到直线 的距离最短。 6、求曲面 平行于平面 的 切平面方程。 1、 2、

16 3、令 ∴ ， 4、 5、目标函数 约束条件： 构造 目标函数+ 约束条件 6、

17 8:M(x,y,z)为空间中一点,求原点到M的距离沿向径 方向的方向导数 9:已知 ,求
练习 一 1: 若z= ,则 2: 若u=xyz,则Pradu(0,2,2)= 3: 若z= ,其中 可导,则 4: 点(0,0)是二元函数z= 的 (多选) A 连续点 B 间断点 C 驻点 D 极大点 E 极小点 5: 若f(x+y,xy)=1/x+1/y,则 6:设z= ,其中f可导,则 7:已知z= ,u= ,v= ,求dz 8:M(x,y,z)为空间中一点,求原点到M的距离沿向径 方向的方向导数 9:已知 ,求 z

18 10: 若f(x)可微且f(0)=0,而D (t>0)求 11: 练习 二 1: 设 ,求 在点(2,2) 2: 设u(x,y)= (y>0) ,试求n使得 3: 求z= 在闭区域 内的最大(小)值 4: 改变积分顺序 5: 若D= 则 6: 有光滑曲线L所围成的区域D的面积可以表示为 7: 设 则 对错

19 8: 若f(x,y)在有界闭区域D上连续,且f(x,y)<0,则二重积分
在几何上表示的曲面z=f(x,y)为顶,平面区域D为底的曲顶柱体体积.对错 9: 化为极坐标系下的二次积分 10: 求 以表示的曲面的面积 11: P318,3 P349,6 12: 若 在x=e处收敛.问在x=2.x= 处是否收敛 练习三 1: 设 则 2: 函数 在(1,1,0)点的梯度与向量 ={1,-1,3}垂直,则a= 3: 设u=f(xz,x+y)有二阶连续偏导数,则 4: 若u=xyz, ,则 5: 6:改变积分顺序

20 第八章 多元函数微分法及其应用 1: 定义域的求法及表示 2: 多元函数的极限 A: 求法:利用一元函数的重要极限公式以及一些初等变换运算,如根式有理化等 一 多元函数的基本概念. 练习: 求 1) ) B:证明多元函数极限不存在的方法 二重极限 存在，得出极限不存在 例： 3：多元函数的连续性： 注意：连续性与一元多元的关系 二：偏导数： 1：概念： 设f(x,y)= 求证：f(x,y)在点（0，0）处不连续

21 2: 偏导数的几何意义 P16 3: 偏导数求法 1）多元复合函数的求导法则。四种情况。 注意：抽象复合函数情况 2）隐函数的求导公式 练习：1）设f(x+y,x-y)=2x( )求 2）设u(x,y)为二元可微函数，已知 则：u(x,y)= 3)设u(x,y)具有二阶连续偏导数，且 ， 其中a,b为函数。则函数 F(t)=u(t,t)的二阶导数 = 4：求全微分dz 如：设 ，其中f(u,v)具有连续偏导，求dz 5:求方向导数的梯度。P57 注意：最大方向导数求法？

22 7: 求 8: 线密度为p=x的光滑曲线弧L对y轴的转动惯量为 9: 若 为球面 的下半部分下侧, 为 在xoy面上的投影区域,则 对错 10: 若 为圆柱体 ,的整个表面外侧, 求 11: 设L是以A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)为顶点的四边形正向边界,则 12: f(x)以4为周期,f(x)= x-1 x+1 则f(x)的傅立叶级数在x=5,x=4分别收敛于 练习 四 1: 见练习三.11 2: 求 其中L为 上从点A(-1,0)到B(1,0)的上半园弧 3: 设 为曲面 被平面z=0,z=3所截部分外侧,求

23 4: 若L是上半椭圆x=acost,y=b取顺时针方向求
5:设L为 =1,则在下述曲线积分中,积分值是零的为 A: B: C: D: E: 6:曲线积分 在整个xoy平面内与路径无关 7:若 为球面 = 的外侧,则 其中Dxy={(x,y) = } 10:球面 =14在点(1,2,3,)处的切平面方程

24 练习五 1: 若 为 外侧,则 2: 设L为从点(1,1)到点(4,2)的直线段,求 3: 设 求u(x,y) 4: 求 ,其中 为平x/2+y/3+z/4=1在第一卦限部分 5: 设z=xf(y/x)+(x-1)ylnx,其中f是任意二次可微函数,求证 : 6: 若 则 A 条件收敛 B绝对收敛 C发散 D敛散性不定 7: 当x= 时,级数 条件收敛 A B C D-1 8: 若a>0,b>0.级数 的收敛半径R= A.a B.b Cmax{a,b} D min{a,b}

25 9: 下列级数中,收敛的有 10:若 收敛,则 11: 将f(x)=1/(5+2x)展开成x+1的幂级数 12: P

26 第九章 重积分 一：二重积分 1：定义与性质。 注意：定义的实际意义 薄片的质量=密度*面积 2：计算方法------化为二次积分 （一）直角坐标：涉及“积分顺序” 不同定积分顺序的方法： 例题：改换积分顺序P104,5,6 1) 2) 3) (二）极坐标： 1）只有一些积分顺序。先r后 2）当被积分函数或积分区域中含有 时 3）注意：rdr 例：化为极坐标 1）： ）

27 3：应用 1）平面薄片的质量M= P104.7 2)求立体的体积： 顶：作被积函数 底：Dxy 作积分区域 V= P104.8, P 3)曲面的面积：设 ：z=f(x,y) 则 A= 例：均匀分布的上半球面 ： z= 求该上半球面 的质量 4）平面薄片的重心，转动惯量 公式计算 P126,124 二：三重积分 1：定义域性质 2：计算方法----化为三次积分 （一）直角坐标： 1）在xoy平面的投影区域 2）z确定方法：用一条平行于z轴的直线由下向上穿过 3）dv=dxdydz

28 (二）极坐标： 1 dv= 2）注意积分顺序 （三）球坐标： 1）dv= 2)注意：积分顺序 3）r的确定方法 注意：区别柱坐标和极坐标中的r 例：1。计算 其中 z =-1 围成 2。 其中 所围成 3：应用 （一）立体的体积 （二）物体的质量，重心，转动惯量 P138 例：设一曲面壳 上任一点M(x,y,z)处的面密度（x,y,z）求 关于xoy面的转动惯量

29 第十章 曲线积分 曲面积分 曲线积分 1：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） 第二类曲线积分 （对坐标的曲线积分） 1）定义 2）性质 3）二者之间的区别联系 注意：两类曲线积分定义的实际意义 1）曲线形构件的质量：P154.M= 2)变力沿曲线所作的功：P 则 2：第一类曲线积分的计算方法：-----化为定积分 L: A: x=g(t) y=h(t) B: y=y(x) C: x=x(y) =

30 注意：1）下限一定小于上限 2）圆的方程一般是用参数方程 例：计算 L: y=x,x轴在第一象限内所围扇形的整个边界 3：第二类曲线积分的计算方法-----化为定积分 注意：积分限由起点到终点，不论大小 例; 1.计算 其中L 1)y= 上从（0，0）到B(1,1) 的一段弧 2)x= 3)有向折线OAB: A(1,0),B(0,1) 2,设有一质量为M的质点受重力作用在铅直平面上沿某一光滑曲线弧从点A移动到点B，求重力所作的功 4：格林公式：P172 条件：特别注意条件是否满足P184,3 结论：

31 应用： （一）求闭区域面积 （二）求第二类曲线积分（注意：封闭曲线 （三）曲线积分与路径无关的条件 因子简化曲线积分的计算 P184,5.(3).(4) (四）二元函数全微分求积 。 P179 例:设 ： = 逆时针方向，计算 1/ （a,b,m,n常数） 曲面积分 1:第一类曲面积分（对面积积分曲面积分），第二类（对坐标）曲面积分 一：定义 二：性质 三：两者之间的区分与联系 2：计算方法——化为二重积分 A:

32 B: 考虑侧的方向 注意：对第二类曲面积分 尽量用高斯公式计算 3：高斯公式 条件： 封闭+P,Q,R在 的一阶连续偏导 是 的外侧 特征： 注意：一： 封闭 二： 是 的外侧 例 其中f(u)具有连续导数 :z= z= Z= 所围成立体表面外侧，求：I 4：用曲面积分表示通量的方法与计算 P212 设矢量A（x,y,z)=P(x,y,z) +Q +R 则 表示通过 指向侧的通量

33 例：设 是 z=1所围成立体表面外侧，用曲面积分表示矢量 = 穿 指定侧的通量，并计算通量
例：P203 4

34 第 十一章 无穷级数 一：数项级数 1：收敛的定义及性质 2：正项级数的三种判定方法 1）比较判别法 极限形式 2）比值判别法 3）根植判别法 注意：1）比较判别法的极限形式 2）比较尺度： 等比级数 P-----级数 调和级数 3）比值判别法的特殊应用 P P 例4 3：交错级数的某部后的判别法 4：数项级数的绝对收敛与条件收敛的有关结论及判定方法

35 例1 判定 的敛散性,若收敛是条件收敛还是绝对收敛
例2 当常数p满足什末条件时， 条件收敛 例3 ： P (5) 二：幂级数 1：幂级数收敛区间的求法 1）求R 标准 缺项 写 2）讨论 的收敛性 2：关于和函数 1）性质 2）应用：如求 的和 3）求法：利用已知幂级数的原函数 3：函数f(x)展开成幂级数 1）f(x)展开成 的幂级数 （泰勒级数） 2）f(x)展开成x的幂级数 （麦克劳林级数）

36 注意： 1）熟记 ，sinx ,cosx, ln(1+x),1/(1-x) 的幂级数展开式 2）注意展开式成立的条件 3）采用：间接展开法 练习： 1：求下列幂级数的收敛区间 1） ） ） 2：求下列幂级数在其收敛区间内的和函数 1） ） ） ） 3：求数项级数 的和 4：将下列函数展开成x的幂级数 1） ） ） ) y=arctgx 5: 将 展开成x-1的幂级数

37 三：傅立叶级数 1：f(x)展开成傅立叶级数的条件 P297 周期为 的函数不一定可以展开成傅立叶级数 2：在间断点处，傅立叶级数收敛于 计算该值时，注意f(x)的周期性的应用 P300 例：1）设f(x)= x ,则其以 为周期的傅立叶级数，在 处收敛于 2）设f(x)为周期为2，且f(x)= 则f(x)的以2为周期的傅立叶级数在x=1处收敛于 3：将f(x)展开成正弦级数，余弦级数的条件及方法

38 第十二章 微分方程 一 ：一阶微分方程 1：可分离变量 dy/dx=f(x)g(y) 2: 齐次方程 dy/dx=p(y/x) 3: 一阶线性 dy/dx+P(x)y=Q(x) y= Or: dx/dy+P(y)x=Q(y) x= 4: 伯努力方程：dy/dx+P(x)y=Q(x) 5: 全微分方程：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 当 时，u(x,y)= 例1：求曲线方程，这曲线通过原点，且它在点(x,y)处的切线的斜率等于2x+y 例2：设曲线积分 在右半平面内与路径无关，其中f(x)可导，且f(1)=1,求f(x)

39 二：二阶微分方程 1： 令 则 2： 令 则 3：二阶常系数齐次线性： 4：二阶常系数非齐次线性： 例1：求下列方程的特解 1） 2） 3） 例2：设函数h(x)连续，且满足 求h(x)