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主要内容 § 3.1 多维随机变量及联合分布 联合分布函里数 联合分布律 联合概率密度 § 3.2 二维随机变量的边缘分布

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2 主要内容 § 3.1 多维随机变量及联合分布 联合分布函里数 联合分布律 联合概率密度 § 3.2 二维随机变量的边缘分布
第3章 多维随机变量及其分布 主要内容 § 3.1 多维随机变量及联合分布 联合分布函里数 联合分布律 联合概率密度 § 3.2 二维随机变量的边缘分布 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度 § 3.4 随机变量的相互独立性

3 §3.4 随机变量的相互独立性 【定义3.9】 设n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数为F(x1,x2,…,xn), 为Xi的边缘分布函数,如果对任意n个实数x1,x2,…,xn,有 (3.1) 则称X1,X2,…,Xn相互独立.

4 对离散型随机变量的情形,如果对于任意n个取值x1,x2,…,xn,有
§3.4 随机变量的相互独立性 等价定义 对离散型随机变量的情形,如果对于任意n个取值x1,x2,…,xn,有 (3.2) 则X1,X2,…,Xn相互独立. 对连续型随机变量,如果下式几乎处处成立 (3.3) "几乎处处成立”是指除去测度为零的点集外处处成立.

5 2) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为
§3.4 随机变量的相互独立性 特别地,二维的情形 2) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为

6 在平面上几乎处处成立。 特别地,二维的情形 在平面上几乎处处成立:允许在平面上存在面积为零的集合,在其上等式 不成立.
§3.4 随机变量的相互独立性 特别地,二维的情形 在平面上几乎处处成立。 在平面上几乎处处成立:允许在平面上存在面积为零的集合,在其上等式 不成立.

7 若X与Y相互独立,求参数a,b,c的值. 解:首先写出两个边缘分布律
§3.4 随机变量的相互独立性 【例3-16】设随机变量X和Y的联合分布律为 若X与Y相互独立,求参数a,b,c的值. 解:首先写出两个边缘分布律 Y X y1 y2 y3 x1 a 1/9 c x2 b 1/3 Y X y1 y2 y3 pi. x1 a 1/9 c a+c+1/9 x2 b 1/3 b+4/9 p.j a+1/9 b+1/9 c+1/3 a+b+c+5/9=1

8 【例3-16】若X与Y相互独立,求参数a,b,c的值. 解:
§3.4 随机变量的相互独立性 【例3-16】若X与Y相互独立,求参数a,b,c的值. 解: 利用X与Y相互独立的条件,由 即 解之得 再由 即 将 代入得 最后利用 得 Y X y1 y2 y3 pi. x1 a 1/9 c a+c+1/9 x2 b 1/3 b+4/9 p.j a+1/9 b+1/9 c+1/3 a+b+c+5/9=1

9 【例3-17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为1/2的0-1分布,定义随机变量
§3.4 随机变量的相互独立性 【例3-17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为1/2的0-1分布,定义随机变量 求(X,Z)的分布律,并问X与Z是否独立? 解:由X与Y的分布律 及独立性得到下表: X 1 Y pi 0.5 pj

10 【例3-17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为1/2的0-1分布,定义随机变量
§3.4 随机变量的相互独立性 X 1 Y pi 0.5 pj 【例3-17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为1/2的0-1分布,定义随机变量 求(X,Z)的分布律,并问X与Z是否独立? 解:由X与Y的分布律及独立性得到 pij (X,Y) Z (X, Z) 0.25 0.25 0.25 0.25 (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) 1 1 (0,1) (0,0) (1,0) (1,1)

11 【例3-17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为1/2的0-1分布,定义随机变量
§3.4 随机变量的相互独立性 【例3-17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为1/2的0-1分布,定义随机变量 求(X,Z)的分布律,并问X与Z是否独立? 解:(X, Z)的分布律及边缘分布律为 由于Pij=Pi.P.j ,i,j=1,2,所以X与Z相互独立。 pij 0.25 (X,Y) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) Z 1 (X,Z) Z X 1 pi. 0.25 p.j 0.5 0.5 0.5 0.5 1

12 【例3-18】某电子仪器由两部件构成,以X和Y分别表示 两部件的寿命(单位:千小时),已知X和Y的联合分布 函数为
§3.4 随机变量的相互独立性 【例3-18】某电子仪器由两部件构成,以X和Y分别表示 两部件的寿命(单位:千小时),已知X和Y的联合分布 函数为 问X与Y是否独立? 解一:关于X,Y的边缘分布函数为

13 对任意的x, y,均有F(x,y)=FX(x)FY(y),故X, Y相互独立
§3.4 随机变量的相互独立性 【例3-18】 问X与Y是否独立? 解一:关于X,Y的边缘分布函数为 对任意的x, y,均有F(x,y)=FX(x)FY(y),故X, Y相互独立

14 §3.4 随机变量的相互独立性 【例3-18】 问X与Y是否独立? 解二:由分布函数与概率密度的关系知

15 对任意的x, y,均有f(x,y)=fX(x)fY(y),故X, Y相互独立
§3.4 随机变量的相互独立性 【例3-18】 问X与Y是否独立? 解二: 同理, 对任意的x, y,均有f(x,y)=fX(x)fY(y),故X, Y相互独立

16 【例3-19】设(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y相互独立 的充要条件是=0.
§3.4 随机变量的相互独立性 【例3-19】设(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y相互独立 的充要条件是=0. 证: 二维正态分布的概率密度为 若=0,由例3.11知

17 【例3-19】设(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y相互独立 的充要条件是=0.
§3.4 随机变量的相互独立性 【例3-19】设(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y相互独立 的充要条件是=0. 证: 二维正态分布的概率密度为 反之,若X与Y独立,则对所有的x, y,有 令 ,可得=0.

18 §3.4 随机变量的相互独立性 【课堂练习1】

19 §3.4 随机变量的相互独立性 (1)由分布律的性质知

20 §3.4 随机变量的相互独立性 (2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有 特别有

21 某种保险丝的寿命X 服从参数为3的指数分布。
§3.4 随机变量的相互独立性 某种保险丝的寿命X 服从参数为3的指数分布。 (1)有两只这种保险丝,其寿命分别为 ,设 相互独立,求 的联合概率密度. (2)在(1)中,一只是原装的,另一只是备用的,备用的 只在原装的熔断时自动投入工作,于是两只保险丝 的总寿命为 ,求总寿命不超过1的概率。 【课堂练习2 】

22 §3.4 随机变量的相互独立性 解:(1) X1概率密度为 X2概率密度为 因两只保险丝的寿命 相互独立,故 的联合概率密度为

23 §3.4 随机变量的相互独立性 (2)

24 ★ 小结 1.二维随机变量相互独立的充要条件

25 ★ 小结 2) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 在平面上几乎处处成立。

26 习题三 (A) (P82) 三、解答题 13,15


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