§ 5.1 导数 § 5.2 求导法则与导数公式 § 5.3 隐函数与参数方程求导 § 5.4 微分 § 5.5 高阶导数与高阶微分

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1 § 5.1 导数 § 5.2 求导法则与导数公式 § 5.3 隐函数与参数方程求导 § 5.4 微分 § 5.5 高阶导数与高阶微分
第5章 导数与微分 § 导数 § 求导法则与导数公式 § 隐函数与参数方程求导 § 微分 § 高阶导数与高阶微分 学习导读 数学分析课程

2 第5章 导数与微分 导数与微分是微分学的两个重要概念。数学分析主要任务就是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，导数与微分是解决这些问题的普遍的有效的工具。本章将从两个实际问题抽象出导数概念，进而讨论求导法则和公式。在此基础上再给出微分概念。 返回首页 数学分析课程

3 § 5.1 导数 本节课的目的要求: 本节课的主要内容: 1. 掌握导数的定义， 2. 弄清可导与连续的关系,
§ 导数 本节课的目的要求: 1. 掌握导数的定义， 2. 弄清可导与连续的关系, 3. 学会从特殊到一般具体到抽象的哲学数学思想. 本节课的主要内容: 1. 两个实例， 2. 抽象归纳导数的定义, 3. 左、右导数、导函数的定义, 4. 导数的几何与物理意义, 5. 可导与连续的关系， 6. 导数的计算.

4 § 5.1 导数 一. 两个实例 （1）变速直线运动的速度问题 取极限得 瞬时速度

5 § 5.1 导数 (2) 切线问题 切线：割线的极限 割线MN当N沿曲线趋于M,割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线. N T M 播放

6 (2) 切线问题 切线：割线的极限 N T M

7 (2)切线问题 切线：割线的极限 N T M

8 (2) 切线问题 N T N T M M

9 (2).切线问题 切线：割线的极限 T N M

10 (2) 切线问题 切线：割线的极限 T N M

11 2.切线问题 切线：割线的极限 T N M

12 (2) 切线问题 切线：割线的极限 T N M

13 (2) 切线问题 切线：割线的极限 T N M

14 (2).切线问题 切线：割线的极限 T N M

15 (2) 切线问题 切线：割线的极限 T N M

16 § 5.1 导数 (2) 切线问题

17 § 5.1 导数 瞬时速度

18 § 5.1 导数 二、 导数概念 注： 1 导数的定义 数（或微商），表为 设函数 定义在 的邻域， 自变量在 的改变量是 ，相应有函数的
§ 5.1 导数 T N P 二、 导数概念 M ） 1 导数的定义 设函数 定义在 的邻域， 自变量在 的改变量是 ，相应有函数的 改变量 若极限 则称 此极限值称为函数 在 的导数。 函数 在 可导（或存在导数）， 数（或微商），表为 即 否则称函数 在 的不导数。 注：

19 § 5.1 导数 ２ 左、右导数的定义 左导数 右导数 ３ 左、右导数与导数的关系

20 导数的概念 法线方程为： 4 导数的物理意义与几何意义
4 导数的物理意义与几何意义 导数的物理意义是变量的变化“快慢”问题 在数学上就是所谓函数的变化率问题 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 导数的几何意义是切线斜率. 由直线的点斜式方程 可知曲线y=f(x)在点M 处的切线方程为： 法线方程为： T N P M ）

21 § 5.1 导数 5 可导与连续的关系 证明：

22 § 5.1 导数 6 导函数定义

23 § 5.1 导数 三、. 导数的计算 计算导数的步骤 步骤:

24 § 5.1 导数 解 所以

25 § 5.1 导数 解 所以 所以

26 § 5.1 导数 例3 解

27 § 5.1 导数 例4 解

28 本课小结 内容与要求 1. 掌握导数的定义 2. 弄清左右导数与导数的关系,导函数的定义 3. 明确可导与连续的关系
4. 会利用导数的几何意义与物理意义解题 5 会用导数的定义计算

29 § 5.2 求导法则与导数公式 导数的四则运算 定理1

30 § 5.2 求导法则与导数公式 证(1) (2)略.

31 § 5.2 求导法则与导数公式 法则1： 例1 解

32 § 5.2 求导法则与导数公式 定理2 注意: 法则2：

33 § 5.2 求导法则与导数公式 例2 解 定理3

34 § 5.2 求导法则与导数公式 证

35 § 5.2 求导法则与导数公式 注意:

36 § 5.2 求导法则与导数公式 例3 解 同理可得

37 § 5.2 求导法则与导数公式 例4 解 同理可得 例5 分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.

38 § 5.2 求导法则与导数公式 解

39 § 5.2 求导法则与导数公式 反函数求导法则 定理4

40 § 5.2 求导法则与导数公式

41 § 5.2 求导法则与导数公式 例6 解 同理可得

42 § 5.2 求导法则与导数公式 例7 解 同理可得

43 § 5.2 求导法则与导数公式 例8 解 特别地

44 § 5.2 求导法则与导数公式 复合函数求导法则 定理5

45 § 5.2 求导法则与导数公式

46 § 5.2 求导法则与导数公式

47 § 5.2 求导法则与导数公式 例9 解 注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以 这样写：

48 § 5.2 求导法则与导数公式 例10 解 练习：

49 § 5.2 求导法则与导数公式 例11 求 的导数。 解： 设 由 得

50 § 5.2 求导法则与导数公式 y'= [(3x+2)5]' =5(3x+2)4(3x+2)' =5(3x+2)4(3+0)
§ 5.2 求导法则与导数公式 熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，由外及里、逐层求导。 例12 求 的导数 y'= [(3x+2)5]' 解： =5(3x+2)4(3x+2)' =5(3x+2)4(3+0) =15(3x+2)4 例13 求 的导数 y'=[(cosx)2]' 解： =2cosx (cosx) ' =2cosx (-sinx)

51 § 5.2 求导法则与导数公式 y'={[sin(x3)]2}' =2sin(x3) [sin(x3)]'
§ 5.2 求导法则与导数公式 例14 求 的导数 y'={[sin(x3)]2}' =2sin(x3) [sin(x3)]' 解： =2sin(x3) cos(x3) (x3)' =2sin(x3) cos(x3) 3x2 =6x2sin(x3) cos(x3) 例15 求 的导数 y'={ln[sin(4x)]}' 解： = [sin(4x)] ' = cos(4x)(4x) ' = cos(4x)

52 § 5.2 求导法则与导数公式 例16 求 的导数 解：

53 § 5.2 求导法则与导数公式 初等函数导数 常数和基本初等函数的导数公式

54 § 5.2 求导法则与导数公式 函数的和、差、积、商的求导法则 设 ) ( ), x v u = 可导，则 （ 1 ） ¢ , 2 c cu
§ 5.2 求导法则与导数公式 函数的和、差、积、商的求导法则 设 ) ( ), x v u = 可导，则 （ 1 ） , 2 c cu 3 uv + 4 - . ( 是常数)

55 § 5.2 求导法则与导数公式 复合函数的求导法则 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.

56 §5.3隐函数与参数方程求导法则 隐函数求导法则 定义

57 §5.3隐函数与参数方程求导法则

58 §5.3隐函数与参数方程求导法则

59 §5.3隐函数与参数方程求导法则

60 §5.3隐函数与参数方程求导法则

61 §5.3隐函数与参数方程求导法则 参数方程求导法则

62 §5.3隐函数与参数方程求导法则

63 §5.3隐函数与参数方程求导法则

64 §5.4 微分 微分概念 1、定义：

65 §5.4 微分 2、几何意义(如图) T N P M ）

66 §5.4 微分 定理1：

67 §5.4 微分

68 §5.4 微分 微分的运算法则和公式 先计算函数的导数, 再 乘以自变量的微分. 1 基本初等函数的微分公式

69 §5.4 微分 2 函数和、差、积、商的微分法则

70 §5.4 微分 结论： 微分形式的不变性

71 §5.4 微分 微分在近似计算中的应用

72 §5.4 微分

73 §5.5 高阶导数与高阶微分 高阶导数 定义：

74 §5.5 高阶导数与高阶微分 二阶和二阶以上的导数，统称为高阶导数。 高阶导数的具体求法：
§5.5 高阶导数与高阶微分 二阶和二阶以上的导数，统称为高阶导数。 高阶导数的具体求法： 计算函数的n阶导数就是按求导法则和导数公式，逐渐进行下去。

75 §5.5 高阶导数与高阶微分 例2 解

76 §5.5 高阶导数与高阶微分 例3 解 同理可得

77 §5.5 高阶导数与高阶微分 莱布尼茨公式

78 §5.5 高阶导数与高阶微分

79 §5.5 高阶导数与高阶微分 例4 解

80 §5.5 高阶导数与高阶微分 高阶导数的运算法则 公式（3）称为莱布尼兹公式

81 §5.5 高阶导数与高阶微分 几个初等函数的高阶导数

82 §5.5 高阶导数与高阶微分 例5 解

83 §5.5 高阶导数与高阶微分 高阶微分 定义：

84 §5.5 高阶导数与高阶微分

85 §5.5 高阶导数与高阶微分

86 完