第三节 格林公式及其应用（2） 一、曲线积分与路径无关的定义 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分的求积 四、小结.

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1 第三节 格林公式及其应用（2） 一、曲线积分与路径无关的定义 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分的求积 四、小结

2 一、曲线积分与路径无关的定义 如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内 从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
y x o B A

3 二、曲线积分与路径无关的条件 定理 2 证 充分性 在 G 内任取一条闭曲线 C 。 C 所围的闭区域为 D。

4 证 充分性 在 G 内任取一条闭曲线 C 。 C 所围的闭区域为 D。 G 是单连通的，因此， 于是，在 D 内 应用格林公式，有 即，在 G 内曲线积分 与路径无关。 必要性 用反证法 假设在 G 内存在使 的点 M0，

5 必要性 用反证法 假设在 G 内存在使 的点 M0， 即 不妨设 由于P，Q 具有一阶连续偏导数， 因此在 G 内必有点 M0 的一个小邻域 D′, 在 D′内 应用格林公式，有

6 因此在 G 内必有点 M0 的一个小邻域 D′, 在 D′内
应用格林公式，有 于是， 矛盾。 因此，在 G 内恒有

7 定理 2 有关定理的说明： 两条件缺一不可

8 与路径无关 L

9 解 则 P，Q 在全平面上有 连续的一阶偏导数，且 全平面是单连通域。 因此，积分与路径无关。

10 因此，积分与路径无关。 全平面是单连通域。 取一简单路径：L1 + L2.

11 解 则 P，Q 在全平面上有连续的 一阶偏导数，且 全平面是单连通域。 因此，积分与路径无关。

12 因此，积分与路径无关。 全平面是单连通域。 取一简单路径：L1 + L2.

13 三、二元函数的全微分求积 定理3 证略

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15 例3 验证：在 xoy 面内， 是某个函数 u (x, y) 的全微分，并求出一个这样的函数。 解 这里 且 即， 在整个 xoy 面内恒成立。 因此，在 xoy 面内， 是某个函数 u (x, y) 的全微分。

16 四、小结 与 路 径 无 关 的 四 个 等 价 命 题 条件 等 价 命 题
作业：184页 4，5 (1)，(3)，6 (1)，(3)，(5)